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14.3全等三角形复习

发布时间:2013-11-15 12:56:44  

沪科版八年级数学上册

第十四章

全等三角形

一、知识点复习:
1、全等三角形的概念: 能完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的特征:全等三角形的对应边相等,对应角相等。 3、全等三角形的识别: (1)一般三角形全等的识别: SSS,SAS,ASA,AAS (2)直角三角形全等的识别: 除以上方法外,还有HL

AAA—三角对应相等的两个三角形不一定全等 SSA—两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等

二、全等三角形识别思路复习
如图,已知△ABC和△DCB中,AB=DC,请 补充一个条件 ,使△ABC≌ △DCB。
A D

B

C

思路1:
已知两边

找夹角 找第三边 找直角

∠ ABC=∠DCB (SAS) AC=DB (SSS)

∠ A=∠D=90°(HL)

如图,已知∠C= ∠D,要识别△ABC≌ △ABD, 需要添加的一个条件是 。
C

A

B

思路2:

D

已知一边一角 (边与角相对)

∠CAB=∠DAB (AAS) 找任一角 或者 ∠CBA=∠DBA

如图,已知∠1= ∠2,要识别△ABC≌ △CDA, 需要添加的一个条件是 .
D 2 1 C

A

B

思路3:

已知一边一角(边与角相邻)
AD=CB(SAS)

找夹这个角的另一边

找夹这条边的另一角
找边的对角

∠ACD=∠CAB (ASA)

∠D=∠B (AAS)

如图,已知∠B= ∠E,要识别△ABC≌ △AED, 需要添加的一个条件是 .
A

D

C

E

思路4:

找夹边
已知两角

AB=AE (ASA) AC=AD (AAS) 或 DE=BC

找一角的对边

已知:如图∠B=∠DEF,BC=EF,补充条件……… 求证:ΔABC≌ ΔDEF
AB=DE (1)若要以“SAS”为依据,还缺条件 _____;

小 (2) 若要以“ASA”为依据,还缺条件__ ∠DEF ∠ACB= __;
∠A =∠D 试 (3) 若要以“AAS”为依据,还缺条件______;



AB=DE、AC=DF (4)若要以“SSS” 为依据,还缺条件_____; A

D


= =

B

E

C

F

AC=DF (5)若∠B=∠DEF=90°要以HL为依据,还缺条件 _ _

三、例题选析
例1:如图,D在AB上,E在AC上,且∠B =∠C, 那么补充下列一个条件后,仍无法判定 △ABE≌△ACD的是( B ) A.AD=AE B.∠AEB=∠ADC C.BE=CD D.AB=AC 例2:已知:如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足 分别为D、E,BE、CD相交于O点,∠1=∠2, 图中全等的三角形共有( D ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

例3.如图,PA=PB,PC是△PAB的 角分线,∠A=55°求:∠B的度数 解:∵PC是△ APB的角平分线 ∴∠APC=∠BPC (三角形角平分线意义)

P
A

在 △APC和△BPC 中
PA=PB(已知) _ ? __________ ? ∠AP C= ∠BP C _ ? __________ ? __________ _ ? PC=PC(公共边)

C
第3题

B

∴ ∠A=∠B( 全等三角形对应角相等 ) ∵∠A=55°(已知) ∴ ∠B=∠A=55°(等量代换) △APC ≌ △BPC SAS ) ∴ (

方法点拨:
1、证角(或线段)相等转化为证角 (或线段)所在的三角形全等;

2

、四边形问题转化为三角形问题来解决。

3、两个三角形全等,通常需要3个条件, 其中至少要有1组边对应相等。

例4.已知:如图,AD与BE交于F,AF=BF,∠1=∠2. A 求证:AC=BC E

△AFC △BFC 证明:

F B

2 1

创造 ∵ ∠AFE=∠BFD (对顶角相等) D 全等 (已知) 又∵ ∠1=∠2 ∴∠AFE+∠1=∠BFD+∠2(等式性质) 条件 即 ∠AFC=∠BFC 在△AFC与△BFC中 AF=BF (已知) ∠AFC=∠BFC (已证) 列齐全等条件 CF=CF (公共边) 得出结论 ∴ △AFC≌△BFC (SAS) ∴ AC=BC (全等三角形的对应边相等)

C

例5、如图,已知AB=CD,AD=CB,求证:∠B=∠D 证明:连结AC, D A 在△ABC和△ ADC中
AB=CD(已知) ∵ BC=AD(已知) B AC=CA(公共边) ∴ △ ABC≌ △ CDA(SSS) ∴ ∠B=∠D(全等三角形对应角相等)

C

小结:四边形问题转化为三角形 A 问题解决。
问:此题添加辅助线,若连结BD行吗? 在原有条件下,还能推出什么结论? B

D

答:∠ABC=∠ADC,AB∥CD,AD∥BC

C

例6、已知:∠ACB=∠ADB=900,AC=AD,P是AB 上任意一点,求证:CP=DP 证明:在Rt?ABC和Rt?ABD中 C ∵ AC=AD(已知) AB=AB(公共边) ∴Rt?ABC≌Rt?ABD(HL) P A B ∴∠CAB=∠DAB 在?APC和?APD中 AC=AD(已知) ∵ ∠CAB=∠DAB(已证) D AP=AP(公共边) ∴?APC≌?APD(SAS) ∴CP=DP(全等三角形的对应边相等)
(全等三角形的对应角相等)

一、全等三角形识别思路: 找夹角(SAS) 找夹边(ASA) 1.已知两边 找第三边(SSS) 2.已知两角 找一边的对角(AAS) 找直角(HL) (边与角相对) 找任一角(AAS) 3.已知一边一角

小结:

找夹这个角的另一边(SAS) (边与角相邻) 找夹这条边的另一角(ASA)
找边的对角(AAS)

注意(1)“分别对应相等”是关键; (2)已知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。

二、经过平移、翻折、旋转等变换得到的三角形和原三角形全等。 三、三角形全等是证明线段相等,角相等的重要途径。


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