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从梯子的倾斜程度谈起(二)锐角三角函数——正弦与余弦

发布时间:2013-11-15 13:52:19  

第一章 直角三角形的边角关系
第一节 从梯子的倾斜程度谈起(二)

回顾与思考

正切
?直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数--正切函数 ?在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个 定值,那么这个角的值也随之确定. ?在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比 ?叫做∠A的正切,记作tanA,即

tanA=

?A的对边 ?A的邻边

B
∠A的对边

斜边


A ∠A的邻边

C

想一想

?如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻边 的比便随之确定.此时,其它边之间的比值也确定吗?

?结论: ?在Rt△ABC中,如果锐角A确定, 那么∠A的对边与斜边的比、邻 边与斜边的比也随之确定.

B 斜边 ┌ ∠A的邻边 C

∠A的对边
A

想一想

正弦与余弦

?在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦, 记作sinA,即

sinA=

?A的对边 ?A的斜边

?在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦 ,记作cosA,即

cosA=

?A的邻边 ?A的斜边

B
斜边
∠A的对边

?锐角A的正弦、余弦、 正切都是∠A的三角函数. A


∠A的邻边

C

想一想

?结论:梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关: ?sinA越大,梯子越陡;cosA越小,梯子越陡. ?如图,梯子的倾 斜程度与sinA和 cosA有关吗?

例题欣赏

?例2 如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6. ?求:BC的长. ?解:在Rt△ABC中,
BC BC ? sin A ? ? ? 0.6, AC 200 ?BC ? 200 ? 0.6 ? 120 .
200 C

?老师期望:

A

┌ B

请你求出cosA,tanA,sinC,cosC和tanC 的值.你敢应战吗?

做一做

?如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10,cos A ? ?求:AB,sinB.
AC 10 12 解 : cos A ? ? ? ? . AB AB 13 10 ?13 65 ? AB ? ? . 12 6 AC 10 12 ? sin B ? ? ? . AB 65 13 6
B ┐ C

12 . 13

10

A

?老师期望:

注意到这里cosA=sinB,其中 有没有什么内在的关系?

随堂练习

?1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6. ?求: sinB,cosB,tanB.
?老师提示:过点A作AD垂直于BC于D. B

A

5
┌ 6D B ┐ C

5

4 0,BC=20, sin A ? . ?2.在Rt△ABC中,∠C=90 5

C

?求:△ABC的周长.

A

随堂练习 C

?3.如图, ∠C=90°,CD⊥AB.
s in B ?
( ( ) )

?

( (

) )

?

( (

) )

.

A

┌ D

B

?4.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值. ?老师提示: ?模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得 .

随堂练习

相信自己
A D

5.在梯形ABCD中 AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18 ?求:sinB,cosB,tanB.

┌ B E

┌ F

C

?老师提示: ?梯形的高是梯形的常用辅助线,借助它可以转 化为直角三角形.

小结
?

拓展

回味无穷

定义中应该注意的几个问题:

? 1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是 锐角(注意数形结合,构造直角三角形). ? 2.sinA,cosA,tanA各是一个完整的符号,分别表示 ∠A的正弦、余弦和正切,记号中习惯省去“∠”; ? 3.s

inA,cosA,tanA分别是一个比值.注意比的顺序, 且sinA,cosA,tanA均大于0,无单位. ? 4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与 直角三角形的边长无关. ? 5.角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函 数值相等,则这两个锐角相等.

小结
?

拓展

回味无穷
B 斜边

回顾,反思,深化
?A的对边 ?A的邻边

1.锐角三角函数定义:

tanA=

∠A的对边
A ┌ ∠A的邻边 C

sinA= 斜边
cosA= 斜边

?A的对边

?A的邻边

请思考:在Rt△ABC中, sinA和cosB有什么关系?

布置作业
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