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数学八年级下华东师大版19.4逆命题与逆定理-19.4.3角平分线课件

发布时间:2013-11-16 13:58:22  

驶向成功的 彼岸

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思考

角平分线的这条性 质是怎样得到的呢?

?角平分线的性质是什么



? 用纸剪一个角,把纸片对折,使角的两 边叠合在一起,再把纸片展开,你看到 了什么?

? 角平分线上的点到这个角的两边 的距离相等

开启智慧 ?定理 角平分线上的点到这个角的两边 ? 距离相等.
A

?如图,已知:OC是∠AOB的 平分线,P是OC上任意一点 ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 是D,E. O ?求证:PD=PE(平分线上的 点到这个角的两角边距离 相等).

D
1 2 E B P C

? 证明: 因为PD⊥OA,PE⊥OB(已知),
? 所以 ∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义).
A
D 在△PDO和△PEO中,因为 ∠DOP=∠EOP(已知), ∠PDO=∠PEO(已证), PO=PO(公共边), ∴△PDO≌△PEO (A.A.S)



O

∴PD=PE

1 2 E

P

C

于是就有定理: 角平分线上的点到这个角的 两边的距离相等.

B

问答 :1、如图,在Rt△ABC 中, DE⊥AB,垂足为E, DE与DC 相等吗? 为什么? 答: DE=DC。

BD是∠B 的平分线 , A E D C

∵ BD是∠ABC的平分线 (D在∠ABC的平分线上)B
又∵ DE⊥BA,垂足为E, DC⊥BC,垂足为C, ∴ DE=DC。
思考

做完本题后,你对角平分线,又增加了什么认 识?

角平分线的性质, 为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途径。

例:.如图,E是∠AOB的平分线上一 点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足为C.D 求证: ∠EDC= ∠ECD

?

反过来,到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢?
已知:如图,PD⊥OA,PE⊥OB, 点D、E为垂足,PD=PE. 求证:点P在∠AOB的平分线上.
证明: PD⊥OA,PE⊥OB,点D、E 为垂足, ∴∠PDO= ∠PEO=90度 在Rt △PDO 与Rt △PEO中 O A

D
1 2 E B P

C



PO=PO(公共边) DP=EP(已知)

∴Rt△PDO≌△PDO ∴∠1=∠2 即点P在∠AOB的平分线上

于是就有定理: 到一个角的两边 距离相等的点, 在这个角的平分 线上

例:如图,已知 BD=CD,BF⊥AC,CE⊥AB,求证: 点D在∠BAC的平分线上



练习 ? 课时训练
A

1、 ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB DC=DE ∴___________
角平分线上的点到角的两边的距离相等 (________________________________)
1 2 E D B

2、判断题( ∴ BD (

×)
C

∵ 如图,AD平分∠BAC(已知)

B

= DC



角的平分线上的点到角的 ) 两边的距离相等。

A C

D

3. 如图,在直线l上找出一点P,使得点P到 ∠AOB的两边OA、OB的距离相等.

提示:作 ∠AOB的平分 线,交直线l于P 就是所求的点 (第 1 题)

4、如图,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的
平分线相交于点F, 求证:点F在∠DAE的平分线上.
证明:作FG⊥AE于G.FH⊥AD于H FP⊥CB于P,作射线OF ∵CF平分∠ECB ∴FG=FP(角平分线上的点到角 两边距离相等) 同理可证:FH=FP ∴FG=FH ∴

点F在∠EOD的平分线上(到角两边距 离相等的点在这个角的平分线上)

G

P

H

小结: 1.角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等 2、角平分线的判定定理 到角两边距离相等的点在这个角的角平分线 上 3、角平分线的性质定理为我们证明线段 相等提供新的方法

命题:三角形三个角的平分线相交于一点.

?基本想法是这样的:我们知道,两条直线 相交只有一个交点.要想证明三条直线相交 于一点,只要能证明两条直线的交点在第三 A 条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学习 ND 的内容. P 如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是 B E,F,D. E ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD=PF. ∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到 角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上). ∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.

思 考 分 析

M F C


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