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技巧之四——证不等

发布时间:2013-11-17 08:56:13  

技巧之四——证不等

一、方法1、直接或间接应用有关的不等的定理。

常用的不等定理:

① 三角形中边与边、角与角、边与角之间的不等关系。 ② 圆中弦、弧、弦心距之间的不等关系。

③ 射影间的不等关系。

例1 AD是△ABC的角平分线,已知AB﹥AC,求证:BD﹥CD。

ABBD证明:∵AD是角平分线 ∴ACCD

∵AB﹥AC ∴BD>DC

例2、△ABC中,AB﹥AC,D是BC上任一点。求证:AB﹥AD。

证明:∵∠ADB﹥∠C ∠C﹥∠B

∴∠ADB﹥∠B

∴AB﹥AD

此题也可以用射影定理证明

作AO⊥BC于O,分两种情况:

① 若B、D在O的同旁 ∵OB﹥OD ∴AB﹥AD

,, ② 若B、D在O的两旁 ∵OC﹥OD AB﹥AC ∴AB﹥AD

例3 △ABC中,AB﹥AC。AD是中线,E

是AD上任一点。求证:∠ECB﹥∠EBC

证明:在△ABD和△ACD中

BD=CD AD=AD AB﹥AC∴∠1﹥∠2

在△EBD和△ECD中

BD=CD ED=ED ∠1﹥∠2 ∴BE﹥CE ∴∠ECB﹥∠EBC

11例4 △ABC中,AB<2 AC。求证:∠C<2 ∠B

点拨:证倍分不等式,与证倍分等式方法相同。

1证明:延长CB至D,使BD=AB,连接AD 则∠D=2 ∠ABC

AB+DB=2AB﹥AD

∵AC﹥2AB

∴AC﹥AD

1∴∠D<∠C ∴∠C<2∠B

作业:

1、四边形ABCD中,AD最长,BC最短。求证:∠B﹥∠D

2、△ABC中,AB=AC,D是BC延长线上一点,E是AB上一点。DE交AC于F。求证:AE<AF。

3、梯形ABCD中,AD∥BC。AC、BD交于O。已知OB>OC,求证:OD>OA。

4、证明定理:三角形两边的和大于第三边上中线的2倍。

二、方法2:应用计算法——纯代数法——证明不等。当要证明的不等式包含的量较多时,适宜用此法。

例5 AD、BE、CF是△ABC的中线。求证:①AD+BE+CF<AB+BC+AC;

3②AD+BE+CF>(AB+BC+AC) 4

证明:①AD+BE+CF<AB+BC+AC

根据三角形两边之和大于另一边中线的2倍这一定理,得

AB+AC>2AD ①

AB+BC>2BE ②

BC+AC>2CF ③

①+②+③ 2(AB+BC+AC) >2(AD+BE+EF) 即AD+BE+CF<AB+BC+AC

3②AD+BE+CF>(AB+BC+AC) 4

222设重心为G则AG= AD BG= CF 333

AG+BG>AB BG+CG>BC CG+AG>AB

222222 AD+>AB + CF>BC +>AC 3333332∴ (2AD+2BE+2CF) >AB+BC+CG 3

3即AD+BE+CF>(AB+BC+AC) 4

三、方法3:变加法为减法。

当具备下述三个条件时,适合应用此法。

① 不等式两边都是两项和

② 不等式一边有一量大于另一边某一量

③ 条件中有垂直的因素

例6 △ABC中,AB﹥AC,BE、CF是高。求证:AB+CF>AC+BE 证明:在AB上截AM=AC 则

BM=AB-AC

作MN⊥AC于N 则△AMN≌△ACF

∴MN=CF

过M作MG⊥BE于G 则MGEN是矩形。∴GE=MN=CF BM>BG ∴AB+CF=AC+CF+BM AC+BE=AC+GE+BG ∴AB+CF>AC+BE 作业:

5、求证:四边形两对角线的和大于周长的一半而小于周长。

6、CD是Rt△ABC斜边AB上的高。求证:AB+CD﹥AC+BC。

17、O是△ABC内一点求证:①OB+OC<AB+AC;②2(BC+AC+AB) <OA+OB+OC;③OA+OB+OC<AB+AC+BC

四、方法4:通过移位证不等。

当不等式所包含的量比较分散或虽集中但在原位置不易证明时,特通过移位使他们集中起来或建立起新的联系进行证明。

移位的方法通常采取①平移②翻折③旋转④另作等。

①平移:当移动一条线段或角能和另一线段或角组成三角形时,考虑采用平移。——平移是利用平行四边形的性质。

②翻折:当图形某一部分可以确定一条对称轴时,考虑采用翻折。——翻折是利用轴对称图形的性质。

③旋转:当图形中有共用一个端点的两条相等线段时,将图形的

某一部分绕公共端点旋转一定角度时,使另外两端点重合。若欲证二者能够建立新的联系时考虑采用旋转。——旋转便于利用全等三角形的性质。

④另作:另作是和平移相结合,利用不等量的传递。当在原位置不易证明,而且又不易于实行上述三种移位时,考虑另作。

例7 梯形ABCD中,AD∥BC,∠B>∠C。求证:CD>AB。 证明:过D作DE∥AB交BC于E

则 AB=DE ∠DEC=∠B

∵∠B>∠C ∴∠DEC>∠C

∴DC>DE ∴CD>AB

例8 △ABC中,AB>AC。BE、CF是中线。求证:BE>CF。 分析:想办法把BE和CF通过移位

放到一个三角形内作比较是本题的证

明思路。

证明:作FD∥EB交CB的延长线于D,连接FE。则FDBE是平行四边形 FD=BE FE=DB。作FG∥AC交BC于G 则FG=EC FE=GC DB=GC

在△BFG中,BF>FG ∴BH>GH(对边大的射影也大) ∴DH>CH △DFC中,DH>CH ∴DF>FC(射影大的对边也大) 即BE>CF 例9 △ABC中,AB>AC。AD是角平分线。求证:BD>CD

证明:以AD为对称轴,将△ABD翻折,∵∠1=∠2 ∴B的对称点B将落在AC的延长线上。连接BD、BC,则△ADB≌△AD B

∠3+∠B<180°∠3+∠DC∠B=180°∴∠B<∠DC B ,,,,,,

△DC B中,∠DC B>∠B

∴DB>DC ∴BD>CD

此题也可以以AD为对称轴将△ADC翻

折,大家可以试一下。

当有角平分线和等腰三角形时,多考虑翻折。

例10 在△ABC中,P是形内一点,AP=AC。求证:BC>BP。 证明:作AD⊥BC,以AD为对称轴取B

的对称点B,连接BC,则PBBC是等腰梯形。

∴∠BPC=∠PCB

,, ,,,,,,,∵∠PCB>∠PCB ∴∠BPC>∠PCB

∴BC>BP

例11 △ABC中,AB=AC,P为形内一点,∠APB>∠APC。求证:PC>PB。

证明:以AC为一边,以A为顶点

在AC的另一边作∠DAC=∠PAB,截

AD=AP,连接CD、PD。则△ADC≌△APB。

∴DC=PB ∠ADC=∠APB ∠1=∠2

∵∠APC>∠APC ∴∠2+∠3>∠1+∠4

∴∠3>∠4 ∴PC>DC ∴PC>PB

例12 △ABC中,AB>AC,BE、CF是角平分线。求证:BE>CF 证明:以C为顶点、CF为一边,在∠ACF内作∠DCF=∠ABE,另一边交AB于D,交BC于N。则∠DCB>∠ABC ∴DB>CD

在DB上截DH=CD,作HG∥BE交CD于G。则△DHG≌△DCF ∴HG=CF 过H作HM∥CD交BE于M,则HG=MN=CF

∵BE>MN ∴BE>CF

作业:

8、P是△ABC的∠A外角平分线上一点。求证:PB+PC>AB+AC。(提示:考虑翻折)

9、求证:四边形一组对边中点的连线小于另一组对边和的一半。(提示:考虑平移)

10、△ABC中,AB>AC。AD是中线。求证:∠BAD<∠CAD。(提示:考虑旋转)

11、△ABC中,AB=AC。P是形内一点,PB>PC。求证:∠APC>∠APB。(提示:考虑旋转)

12、E是△ABC的AB边上一点,F是AC边上一点,BE=CF。求证:EF<CB。(提示:考虑另作)

五、其他方法

1、利用三角形面积:当欲证两线段是两等积三角形的高(或底)时,利用面积相等,底(或高)大时,则高(或底)反而小。

例13 △ABC中,AB>AC,G是重心。求证:G到AB的距离小于到AC的距离。

证明:∵BD=CD

∴S△ABD=S△ACD S△GBD=S△GDC

S△AGB=S△AGC

11即·MG= AC·GN 22

∵AB>AC ∴GM<GN

2、传递

例14 △ABC中,AB>AC。BE、CF是角平分线。求证:BE>CF。 证明:过F、B、C三点作圆交BE于D,连

接DC,则∠1=∠2 ∴∠DCB>∠FBC ∴BD>CF

∵BE>BD ∴BE>CF

例15 △ABC中,AB=AC。D是形外一点,

且DB+DC=AB+AC。DB交AC于O。求证:OA>OD

证明:∵∠ABC>∠DBC ∠DCB>∠ACB

∠ABC=∠ACB ∴∠DCB>∠DBC

1 ∴DB>DC ∴DB>2

1 ∴DB (AB+AC)(由已知条件代换) 2

∴DB>AC(得出这个结论是本题的关键)

在DB上截DE=AC,则DB=BE+DE=BE+AC

∴AB+AC=(BE+AC)+DC ∴AB=BE+DC 即CD=AB-BE 连接AE 则AE+BE>AB ∴AE>AB-BE ∴AE>CD 在△ADE和△CDA中,AD=DA AC=DE AE>CD

∴∠1>∠2 ∴OA>OD

作业:

13、△ABC中,AD是中线,∠BAC<90°。求证:∠BAD<∠B。

14、△ABC中,∠BAC>∠ABC,G是垂心。求证:BG>AG。

115、△ABC中,AD是角平分线。求证:AD (AB+AC)。 2

16、△ABC中,AB>AC。D是角平分线AE上任一点。求证:AB-AC>DB-DC。

17、O是△ABC的外心,O,是内心。若AB>BC>AC。求证:∠O,>∠OB O,,也大于∠OC O,。

OA

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