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初三数学_有关圆的经典例题

发布时间:2013-11-17 09:50:51  

厚德载物 宇德树人

初三数学 有关圆的经典例题

1.

2. 如图:△ABC的顶点A、B在⊙O上,⊙O的半径为R,⊙O与AC交于D, 在半径为1的⊙O中,弦AB、AC的长分别为3和2,求∠BAC的度数。

?如果点D既是AB的中点,又是AC边的中点,

(1)求证:△ABC是直角三角形;

AD2

(2)求的值 BC

3. 如图,在⊙O中,AB=2CD,那么( )

??A.AB?2CD??C.AB?2CD??B.AB?2CD ??D.AB与2CD的大小关系不确定 4.

如图,四边形ABCD内接于半径为2的⊙O,已知AB?BC?求CD的长。

5. 1AD?1,4

?如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,D为劣弧AC上一点,DE⊥AB

于H,交⊙O于点E,交AC于点F,P为ED的延长线上一点。

1

厚德载物 宇德树人

(1)当△PCF满足什么条件时,PC与⊙O相切,为什么?

?(2)当点D在劣弧AC的什么位置时,才能使AD2?DE·DF,为什么? 6. 如图,四边形ABCD是矩形(AB?1BC),以BC为直径作半圆O,过点 2

D作半圆的切线交AB于E,切点为F,若AE:BE=2:1,求tan∠ADE的值。

分析:AD,ED=EF+FD,要求tan∠ADE,在Rt△AED中,若能求出AE、根据正切的定义就可以得到。而EF=EB,FD=CD,结合矩形的性质,可以得到ED和AE的关系,进一步可求出AE:AD。 解:∵四边形ABCD为矩形,∴BC⊥AB,BC⊥DC

∴AB、DC切⊙O于点B和点C,

∵DE切⊙O于F,∴DF=DC,EF=EB,即DE=DC+EB,

又∵AE:EB=2:1,设BE=x,则AE=2x,DC=AB=3x,

DE=DC+EB=4x,

在Rt△AED中,AE=2x,DE=4x,

∴AD?23x

则tan∠ADE?AE2x3 ??AD2x3

点拨:本题中,通过观察图形,两条切线有公共点,根据切线长定理,得到相等线段。

例7. 已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,且点O2在⊙O1上,

(1)如下图,AD是⊙O2的直径,连结DB并延长交⊙O1于C,求证CO2⊥AD;

2

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(2)如下图,如果AD是⊙O2的一条弦,连结DB并延长交⊙O1于C,那么CO2所在直线是否与AD垂直?证明你的结论。

分析:(1)要证CO2⊥AD,只需证∠CO2D=90°,即需证∠D+∠C=90°,考虑到AD是⊙O2的直径,连结公共弦AB,则∠A=∠C,∠DBA=90°,问题就可以得证。

(2)问题②是一道探索性的问题,好像难以下手,不妨连结AC,直观上看,AC等于CD,到底AC与CD是否相等呢?考虑到O2在⊙O1上,连结AO2、DO2、BO2,可得∠1=∠2,且有△AO2C≌△DO2C,故CA=CD,可得结论CO2⊥AD。

解:(1)证明,连结AB,AD为直径,则∠ABD=90°

∴∠D+∠BAD=90°

又∵∠BAD=∠C,∴∠D+∠C=90°

∴∠CO2D=90°,∴CO2⊥AD

(2)CO2所在直线与AD垂直,

证明:连结O2A、O2B、O2D、AC

在△AO2C与△DO2C中

??∵O2A?O2B,∴AO2?BO2,∴∠1?∠2

∵∠O2BD=∠O2AC,又∠O2BD=∠O2DB,∴∠O2AC=∠O2DB

∵O2C=O2C,∴△AO2C≌△DO2C,∴CA=CD,

∴△CAD为等腰三角形,

∵CO2为顶角平分线,∴CO2⊥AD。

例8. 如下图,已知正三角形ABC的边长为a,分别为A、B、C为圆心, ???a以为半径的圆相切于点O1、O2、O3,求O1O2、O2O3、O3O1围成的图形面 2

积S。(图中阴影部分)

3

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分析:阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。

解:S△ABC32?a2?a2?a,3S扇?3×·()?4628

∴S阴32?a223??2?a??a 488

此题可变式为如下图所示,⊙A、⊙B、⊙C两两不相交,且它们的半径都 a为,求图中三个扇形(阴影部分)

的面积之和。 2

分析:因三个扇形的半径相等,把三个扇形拼成一个扇形来求,因为∠A+∠B+∠C=180°, 因而三个扇形拼起来正好是一个半圆,故所求图形面积为?

8a2,

原题可在上一题基础上进一步变形:⊙A1、⊙A2、⊙A3?⊙An相外离,它们的半径都是1,顺次连结n个圆心得到的n边形A1A2A3?An,求n个扇形的面积之和。

解题思路同上。

解:

一、填空题(10×4=40分)

1. 已知:一个圆的弦切角是50°,那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为___________。 2. 圆内接四边形ABCD中,如果∠A:∠B:∠C=2:3:4,那么∠D=___________度。 3. 若⊙O的半径为3,圆外一点P到圆心O的距离为6,则点P到⊙O的切线长为___________。 4. 如图所示CD是⊙O的直径,AB是弦,CD⊥AB于M,则可得出AM=MB,AC

请你按现有的图形再写出另外两个结论:___________。

4 (n?2)?2 ???BC等多个结论,

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5. ⊙O1与⊙O2的半径分别是3和4,圆心距为43,那么这两圆的公切线的条数是___________。 6. 圆柱的高是13cm,底面圆的直径是6cm,则它的侧面展开图的面积是___________。 7. 已知: 如图所示,有一圆弧形桥拱,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是___________。

8. 若PA是⊙O的切线,A为切点,割线PBC交⊙O于B,若BC=20,PA=10

则PC的长为___________。

3,

?9.如图5,△ABC内接于⊙O,点P是AC上任意一点(不与A、C重合),

?ABC?55,则?POC的取值范围是 .

10.如图,量角器外沿上有A、B两点,它们的读数分别是70°、40°,则

∠1的度数为 .

11.已知??(第9题图)

O O的半径是3,圆心O到直线l的距离是3,则直线l与?O的位置关系是 .

12.如图,已知点E是圆O上的点, B、C分别是劣弧AD的三等分点,

?BOC?46?,则?AED的度数为 .

5

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13.如图,Rt△ABC中?ACB?90?,AC

?4,BC?3.将△ABC绕AC所在的直线f

转一周得到一个旋转体,该旋转体的侧面积? .(?取3.14,结果保留两个有效数字) 14.如图82和1,?o

15.如图,

f B

C

第14题图

?

AB是?

O的直径,AM为弦,?O的切线交AB延长线于

点N

.若ON

?12cm,则?O的半径为 cm.

16.如图,Rt△A?BC?是由Rt△ABC绕B点顺时针旋转而得,且点A,B,C?在同一条直线上,

在Rt△

ABC中,若∠C为 .

17.如图,从圆O外一点P引圆O的两条切线PA切点分别是,PB,上的一个动点(点C与

?90?,BC?2,AB?4,则斜边AB旋转到A?B所扫过的扇形面积

A?

(第17题图)

若PA?8A,B,cm

,ABC是?

A

B

(15题图)

C?

A,B两点不重合),过点C作圆O的切线,分别交PA,PB于点D,E,

则△PED的周长是 .

18、在平面内,⊙O的半径为5cm,点P到圆心O的距离为3cm,则点P与⊙O的位置关系是 . 19.如图8,在Rt△ABC中,?C

将其绕B点顺时针旋转一周,则分别以BA,BC?90?,AC?3.

为半径的圆形成一圆环.则该圆环的面积为 . 20.如图9,点

A,B是?O上两点,AB?10,点P是?O上的动点(P与A,B不重合)连结

AP,PB,过点O分别作OE?AP于点E,OF?PB于点F,则EF? .

B

C

P

三、解答题:

图8

6

图9

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1. 已知:如图所示,⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,过B点作⊙O1的切线交⊙O2于D,连结DA并延长与⊙O1相交于C点,连结BC。过A点作AE∥BC与⊙O2相交于E点,与BD相交于F点。

(1)求证:EF·BC=DE·AC;

(2)若AD=3,AC=1,AF?3,求EF的长。

2. 某单位搞绿化,要在一块图形的空地上种四种颜色的花,为了便于管理和美观,相同颜色的花集中种植,且每种颜色的花所占的面积相同,现征集设计方案,要求设计的图案成轴对称图形或中心对称图形。请在如图所示的圆中画出三种设计方案。(只画示意图,不写作法)。

3. 已知:△ABC是⊙O的内接三角形,BT为⊙O的切线,B为切点,P为直线AB上一点,过点P作BC的平行线交直线BT于点E,交直线AC于点F。

(1)如图所示,当点P在线段AB上时,求证:PA·PB=PE·PF;

(2)当点P为线段BA延长线上一点时,第(1)题的结论还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由;

(3)若AB?42,cos∠EBA?1,求⊙O的半径。 3

4.如图,△ABC是?O的内接三角形,点C是优弧AB上一点(点C不与A,B重合),设

之间的关系,并给予?OAB??,?C??.(1)当??35?时,求?的度数;(2)猜想?与?

证明.

5、(8分)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以BC为直径的半圆O与边AB相

交于点D,切线DE⊥AC,垂足为点E.

求证:(1)△ABC是等边三角形;(2)1AE?CE.

3

7

B O

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6、已知:如图,在Rt△ABC中,?C?90?,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与

A AC,AB分别交于点D,E,且?CBD??A. (1)判断直线BD与?O的位置关系,并证明你的结论; (2)若

7、如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,⊙O为内切圆,E为切点,

(Ⅰ)求?AOD的度数;(Ⅱ)若AO?8cm,DO?6cm,求OE的长. AD:AO?8:5,BC?2,求BD的长. 8、已知Rt△ABC中,有一个圆心角为45?,半径的长等于CA的扇形CEF?ACB?90?,CA?CB,

绕点C旋转,且直线CE,CF分别与直线AB交于点M,N.

(Ⅰ)当扇形CEF绕点C在?ACB的内部旋转时,如图①,求证:MN2?AM2?BN2;

(Ⅱ)当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时,关系式MN2?AM2?BN2是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

9.如图,△ABC内接于?

延长线于点D,

A E N F 图① B M A N F 图② B O,过点A的直线交?O于点P,交BC的AB2?AP?AD.(1)求证:AB?AC;(2)如果

AC的中点,求AD的长. ?ABC?60?,?O的半径为1,且P为?

10.(本题满分10分)已知:如图,在半径为4的⊙O中,AB,CD是两条直径,

M为OB的中点,CM的延长线交⊙O于点E,且EM

>MC.连结DE,DE.

(1) 求证:AM?MB?EM?MC;(2) 求EM的长;

(3)求sin∠EOB的值.

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11.(本题满分10分,第(1)小题满分3分,第(2)小题满分7分)

“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上,导致其中部分图形和数据看不清楚(如图7所示).已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图,它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形,

A是OD与圆O的交点.

D

7

E 图8

H

(1)请你帮助小王在图8中把图形补画完整;

(2)由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚,根据上述信息(图纸中i求r的值.

12.已知,如图,直线MN交?

?1:0.75是坡面CE的坡度),

第12题图

O于A,B两点,AC是直径,AD平分?CAM交?O于D,过

D作DE?MN于E.

(1)求证:DE是?O的切线;

(2)若DE

?6cm,AE?3cm,求?O的半径.

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