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初一奥数

发布时间:2013-11-17 10:57:45  

一、选择题(每题1分,共5分)

以下每个题目里给出的A,B,C,D四个结论中有且仅有一个是正确的.请你在括号填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号.

1.某工厂去年的生产总值比前年增长a%,则前年比去年少的百分数是 ( A )

A.a%. B.(1+a)%. C. D.

2.甲杯中盛有2m毫升红墨水,乙杯中盛有m毫升蓝墨水,从甲杯倒出a毫升到乙杯里,

0<a<m,搅匀后,又从乙杯倒出a毫升到甲杯里,则这时 ( A )

A.甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少.

B.甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多.

C.甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同.

D.甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定.

3.已知数x=100,则( A )

A.x是完全平方数.B.(x-50)是完全平方数.

C.(x-25)是完全平方数.D.(x+50)是完全平方数.

4.观察图1中的数轴:用字母a,b,c依次表示点A,B,C对应的数,则 的大小关系是( C )

A. ; B. < < ; C. < < ; D. < < .

5.x=9,y=-4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解,这个方程的不同的整数解共有 ( )

A.2组. B.6组.C.12组. D.16组.

二、填空题(每题1分,共5分)

1.方程|1990x-1990|=1990的根是______.

2.对于任意有理数x,y,定义一种运算*,规定x*y=ax+by-cxy,其中的a,b,c表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1*2=3,2*3=4,x*m=x(m≠0),则m的数值是______.

3.新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门,他知道每把钥匙只能开其中的一个门,但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙,现在要打开所有关闭着的20个房间,他最多要试开______次.

4.当m=______时,二元二次六项式6x2+mxy-4y2-x+17y-15可以分解为两个关于x,y的二元一次三项式的乘积.

5.三个连续自然数的平方和(填“是”或“不是”或“可能是”)______某个自然数的平方.

三、解答题(写出推理、运算的过程及最后结果.每题5分,共15分)

1.两辆汽车从同一地点同时出发,沿同一方向同速直线行驶,每车最多只能带24桶汽油,途中不能用别的油,每桶油可使一辆车前进60公里,两车都必须返回出发地点,但是可以不同时返回,两车相互可借用对方的油.为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点,另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回?离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里?

2.如图2,纸上画了四个大小一样的圆,圆心分别是A,B,C,D,直线m通过A,B,直线n通过C,D,用S表示一个圆的面积,如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S-1),直线m,n之间被圆盖住的面积是8,阴影部分的面积S1,

S2,S3满足关系式S3= S1= S2,求S.

3.求方程 的正整数解.

初中数学竞赛辅导

2.设a,b,c为实数,且|a|+a=0,|ab|=ab,|c|-c=0,求代数式|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|的值.

3.若m<0,n>0,|m|<|n|,且|x+m|+|x-n|=m+n, 求x的取值范围.

4.设(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x1+a0,试求a0+a2+a4+a6的值.

6.解方程2|x+1|+|x-3|=6.

8.解不等式||x+3|-|x-1||>2.

10.x,y,z均是非负实数,且满足: x+3y+2z=3,3x+3y+z=4, 求u=3x-2y+4z的最大值与最小值.

11.求x4-2x3+x2+2x-1除以x2+x+1的商式和余式.

13.如图1-89所示.AOB是一条直线,OC,OE分别是∠AOD和∠DOB的平分线,∠COD=55°.求∠DOE的补角.

14.如图1-90所示.BE平分∠ABC,∠CBF=∠CFB=55°,∠EDF=70°.求证:BC‖AE.

15.如图1-91所示.在△ABC中,EF⊥AB,CD⊥AB,∠CDG=∠BEF.求证:∠AGD=∠ACB.

17.如图1-93所示.在△ABC中,E为AC的中点,D在BC上,且BD∶DC=1∶2,AD与BE交于F.求△BDF与四边形FDCE的面积之比.

18.如图1-94所示.四边形ABCD两组对边延长相交于K及L,对角线AC‖KL,BD延长线交KL于F.求证:KF=FL.

19.任意改变某三位数数码顺序所得之数与原数之和能否为999?说明理由.

20.设有一张8行、8列的方格纸,随便把其中32个方格涂上黑色,剩下的32个方格涂上白色.下面对涂了色的方格纸施行“操作”,每次操作是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色.问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸?

23.房间里凳子和椅子若干个,每个凳子有3条腿,每把椅子有4条腿,当它

们全被人坐上后,共有43条腿(包括每个人的两条腿),问房间里有几个人?

24.求不定方程49x-56y+14z=35的整数解.

25.男、女各8人跳集体舞.

(1)如果男女分站两列;

(2)如果男女分站两列,不考虑先后次序,只考虑男女如何结成舞伴. 问各有多少种不同情况?

26.由1,2,3,4,5这5个数字组成的没有重复数字的五位数中,有多少个大于34152?

27.甲火车长92米,乙火车长84米,若相向而行,相遇后经过1.5秒(s)两车错过,若同向而行相遇后经6秒两车错过,求甲乙两火车的速度.

28.甲乙两生产小队共同种菜,种了4天后,由甲队单独完成剩下的,又用2天完成.若甲单独完成比乙单独完成全部任务快3天.求甲乙单独完成各用多少天?

29.一船向相距240海里的某港出发,到达目的地前48海里处,速度每小时减少10海里,到达后所用的全部时间与原速度每小时减少4海里航行全程所用的时间相等,求原来的速度.16

30.某工厂甲乙两个车间,去年计划完成税利750万元,结果甲车间超额15%完成计划,乙车间超额10%完成计划,两车间共同完成税利845万元,求去年这两个车间分别完成税利多少万元?

31.已知甲乙两种商品的原价之和为150元.因市场变化,甲商品降价10%,乙商品提价20%,调价后甲乙两种商品的单价之和比原单价之和降低了1%,求甲乙两种商品原单价各是多少?

32.小红去年暑假在商店买了2把儿童牙刷和3支牙膏,正好把带去的钱用完.已知每支牙膏比每把牙刷多1元,今年暑假她又带同样的钱去该商店买同样的牙刷和牙膏,因为今年的牙刷每把涨到1.68元,牙膏每支涨价30%,小红只好买2把牙刷和2支牙膏,结果找回4角钱.试问去年暑假每把牙刷多少钱?每支牙膏多少钱?

33.某商场如果将进货单价为8元的商品,按每件12元卖出,每天可售出400件,据经验,若每件少卖1元,则每天可多卖出200件,问每件应减价多少元才可获得最好的效益?

34.从A镇到B镇的距离是28千米,今有甲骑自行车用0.4千米/分钟的速度,从A镇出发驶向B镇,25分钟以后,乙骑自行车,用0.6千米/分钟的速度追甲,试问多少分钟后追上甲?

35.现有三种合金:第一种含铜60%,含锰40%;第二种含锰10%,含镍90%;第三种含铜20%,含锰50%,含镍30%.现各取适当重量的这三种合金,组成一块含镍45%的新合金,重量为1千克.

(1)试用新合金中第一种合金的重量表示第二种合金的重量;

(2)求新合金中含第二种合金的重量范围;

(3)求新合金中含锰的重量范围.

|=-a,所以a≤0,又因为|ab|=ab,所以b≤0,因为|c|=c,所以c≥0.所以a+b≤0,c-b≥0,a-c≤0.所以

原式=-b+(a+b)-(c-b)-(a-c)=b.

3.因为m<0,n>0,所以|m|=-m,|n|=n.所以|m|<|n|可变为m+n>0.当x+m≥0时,|x+m|=x+m;当x-n≤0时,|x-n|=n-x.故当-m≤x≤n时,

|x+m|+|x-n|=x+m-x+n=m+n.

4.分别令x=1,x=-1,代入已知等式中,得

a0+a2+a4+a6=-8128.

10.由已知可解出y和z

因为y,z为非负实数,所以有

u=3x-2y+4z

11. 所以商式为x2-3x+3,余式为2x-4

12.小柱的路线是由三条线段组成的折线(如图1-97所示).

我们用“对称”的办法将小柱的这条折线的路线转化成两点之间的一段“连线”(它是线段).设甲村关于北山坡(将山坡看成一条直线)的对称点是甲′;乙村关于南山坡的对称点是乙′,连接甲′乙′,设甲′乙′所连得的线段分别与北山坡和南山坡的交点是A,B,则从甲→A→B→乙的路线的选择是最好的选择(即路线最短) 显然,路线甲→A→B→乙的长度恰好等于线段甲′乙′的长度.而从甲村到乙村的其他任何路线,利用上面的对称方法,都可以化成一条连接甲′与乙′之间的折线.它们的长度都大于线段甲′乙′.所以,从甲→A→B→乙的路程最短.

13.如图1-98所示.因为OC,OE分别是∠AOD,∠DOB的角平分线,又 ∠AOD+∠DOB=∠AOB=180°, 所以 ∠COE=90°.

因为 ∠COD=55°, 所以∠DOE=90°-55°=35°.

因此,∠DOE的补角为 180°-35°=145°.

14.如图1-99所示.因为BE平分∠ABC,所以

∠CBF=∠ABF,

又因为 ∠CBF=∠CFB, 所以 ∠ABF=∠CFB.

从而 AB‖CD(内错角相等,两直线平行).

由∠CBF=55°及BE平分∠ABC,所以 ∠ABC=2×55°=110°. ①

由上证知AB‖CD,所以 ∠EDF=∠A=70°, ②

由①,②知 BC‖AE(同侧内角互补,两直线平行).

15.如图1-100所示.EF⊥AB,CD⊥AB,所以 ∠EFB=∠CDB=90°, 所以EF‖CD(同位角相等,两直线平行).所以 ∠BEF=∠BCD(两直线平行,同位角相等).

①又由已知 ∠CDG=∠BEF. ② 由①,② ∠BCD=∠CDG.

所以 BC‖DG(内错角相等,两直线平行).

所以 ∠AGD=∠ACB(两直线平行,同位角相等).

16.在△BCD中,

∠DBC+∠C=90°(因为∠BDC=90°),① 又在△ABC中,∠B=∠C,所以 ∠A+∠B+∠C=∠A+2∠C=180°,

所以 由①,②

17.如图1-101,设DC的中点为G,连接GE.在△ADC中,G,E分别是CD,CA的中点.所以,GE‖AD,即在△BEG中,DF‖GE.从而F是BE中点.连结FG.所以

又 S△EFD=S△BFG-SEFDG=4S△BFD-SEFDG,

所以 S△EFGD=3S△BFD.

设S△BFD=x,则SEFDG=3x.又在△BCE中,G是BC边上的三等分点,所以 S△CEG=S△BCEE,

从而 所以 SEFDC=3x+2x=5x,

所以 S△BFD∶SEFDC=1∶5.

18.如图1-102所示.

由已知AC‖KL,所以S△ACK=S△ACL,所以

即 KF=FL. +b1=9,a+a1=9,于是a+b+c+a1+b1+c1=9+9+9,即2(a十b+c)=27,矛盾!

20.答案是否定的.设横行或竖列上包含k个黑色方格及8-k个白色方格,其中0≤k≤8.当改变方格的颜色时,得到8-k个黑色方格及k个白色方格.因此,操作一次后,黑色方格的数目“增加了”(8-k)-k=8-2k个,即增加了一个偶数.于是无论如何操作,方格纸上黑色方格数目的奇偶性不变.所以,从原有的32个黑色方格(偶数个),经过操作,最后总是偶数个黑色方格,不会得到恰有一个黑色方格的方格纸.

21.大于3的质数p只能具有6k+1,6k+5的形式.若p=6k+1(k≥1),则p+2=3(2k+1)不是质数,所以, p=6k+5(k≥0).于是,p+1=6k+6,所以,6|(p+1).

22.由题设条件知n=75k=3×52×k.欲使n尽可能地小,可设n=2α3β5γ(β≥1,γ≥2),且有 (α+1)(β+1)(γ+1)=75.

于是α+1,β+1,γ+1都是奇数,α,β,γ均为偶数.故取γ=2.这时 (α+1)(β+1)=25.

所以 故(α,β)=(0,24),或(α,β)=(4,4),即n=20?324?52

23.设凳子有x只,椅子有y只,由题意得 3x+4y+2(x+y)=43,

即 5x+6y=43.

所以x=5,y=3是唯一的非负整数解.从而房间里有8个人.

24.原方程可化为

7x-8y+2z=5.

令7x-8y=t,t+2z=5.易见x=7t,y=6t是7x-8y=t的一组整数解.所以它的全部整数解是

而t=1,z=2是t+2z=5的一组整数解.它的全部整数解是

把t的表达式代到x,y的表达式中,得到原方程的全部整数解是

25.(1)第一个位置有8种选择方法,第二个位置只有7种选择方法,…,由乘法原理,男、女各有 8×7×6×5×4×3×2×1=40320

种不同排列.又两列间有一相对位置关系,所以共有2×403202种不同情况.

(2)逐个考虑结对问题.

与男甲结对有8种可能情况,与男乙结对有7种不同情况,…,且两列可对换,所以共有 2×8×7×6×5×4×3×2×1=80640 种不同情况.

26.万位是5的有4×3×2×1=24(个).

万位是4的有 4×3×2×1=24(个).

万位是3,千位只能是5或4,千位是5的有3×2×1=6个,千位是4的有如下4个:

34215,34251,34512,34521.

所以,总共有 24+24+6+4=58

个数大于34152.

27.两车错过所走过的距离为两车长之总和,即 92+84=176(米).

设甲火车速度为x米/秒,乙火车速度为y米/秒.两车相向而行时的速度为x+y;两车同向而行时的速度为x-y,依题意有

解之得

解之得x=9(天),x+3=12(天).

解之得x=16(海里/小时).

经检验,x=16海里/小时为所求之原速.

30.设甲乙两车间去年计划完成税利分别为x万元和y万元.依题意得 解之得

故甲车间超额完成税利

乙车间超额完成税利

所以甲共完成税利400+60=460(万元),乙共完成税利350+35=385(万元).

31.设甲乙两种商品的原单价分别为x元和y元,依题意可得

由②有

0.9x+1.2y=148.5, ③

由①得x=150-y,代入③有

0. 9(150-y)+1.2y=148. 5,

解之得y=45(元),因而,x=105(元).

32.设去年每把牙刷x元,依题意得

2×1.68+2(x+1)(1+30%)=[2x+3(x+1)]-0.4,

即 2×1.68+2×1.3+2×1.3x=5x+2.6,

即 2.4x=2×1.68,

所以 x=1.4(元).

若y为去年每支牙膏价格,则y=1.4+1=2.4(元).

33.原来可获利润4×400=1600元.设每件减价x元,则每件仍可获利(4-x)元,其中0<x<4.由于减价后,每天可卖出(400+200x)件,若设每天获利y元,则 y=(4-x)(400+200x)

=200(4-x)(2+x)

=200(8+2x-x2)

=-200(x2-2x+1)+200+1600

=-200(x-1)2+1800.

所以当x=1时,y最大=1800(元).即每件减价1元时,获利最大,为1800元,此时比原来多卖出200件,因此多获利200元.

34.设乙用x分钟追上甲,则甲到被追上的地点应走了(25+x)分钟,所以甲乙两人走的路程分别是0.4(25+x)千米和0.6x千米.因为两人走的路程相等,所以

0.4(25+x)=0.6x,

解之得x=50分钟.于是

左边=0.4(25+50)=30(千米),

右边= 0.6×50=30(千米),

即乙用50分钟走了30千米才能追上甲.但A,B两镇之间只有28千米.因此,到B镇为止,乙追不上甲.

35.(1)设新合金中,含第一种合金x克(g),第二种合金y克,第三种合金z克,则依题意有

(2)当x=0时,大500克.

(3)新合金中,含锰重量为:

x?40%+y?10%+z?50%=400-0.3x,

y=250,此时,y为最小;当z=0时,y=500为最大,即250≤y≤500,所以在新合金中第二种合金重量y的范围是:最小250克,最

而0≤x≤500,所以新合金中锰的重量范围是:最小250克,最大400克.

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