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特殊的平行四边形的解法

发布时间:2013-11-17 10:57:47  

特殊的平行四边形的解法

三.解答题

1.(2009年湖北十堰市)如图①,四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F.

(1) 求证:DE-BF = EF.

(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系, 并说明理由.

(3) 若点G为CB延长线上一点,其余条件不变.请你在图②中画出图形,写出此时DE、BF、EF之间的数量关系(不需要证明).

【关键词】正方形的性质与判定、多边形相似

【答案】(1) 证明:

∵ 四边形ABCD 是正方形, BF⊥AG , DE⊥AG

∴ DA=AB, ∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90°

∴ ∠BAF = ∠ADE

∴ △ABF ≌ △DAE

∴ BF = AE , AF = DE

∴ DE-BF = AF-AE = EF

(2)EF = 2FG 理由如下:

∵ AB⊥BC , BF⊥AG , AB =2 BG

∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG

∴ABAFBF???2 BFBFFG

∴ AF = 2BF , BF = 2 FG

由(1)知, AE = BF,∴ EF = BF = 2 FG

(3) 如图

DE + BF = EF

说明:第(2)问不先下结论,只要解答正确,给满分.若只有正确结论,. D

2.(2009年山东青岛市)已知:如图,在ABCD中,AE是BC

边上的高,将△ABE沿BC方向平移,使点E与点C重合,

B 得△GFC. C E F (1)求证:BE?DG;

(2)若?B?60°,当AB与BC

满足什么数量关系时,四边形

ABFG是菱形?证明你的结论.

1 ?

【答案】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB?CD.

∵AE是BC边上的高,且CG是由AE沿BC方向平移而成.

∴CG⊥AD.

∴?AEB??CGD?90°.

∵AE?CG,

∴Rt△ABE≌Rt△CDG.

∴BE?DG.

3AB时,四边形ABFC是菱形. 2

∵AB∥GF,AG∥BF,

∴四边形ABFG是平行四边形.

∵Rt△ABE中,?B?60°,

∴?BAE?30°, 1∴BE?AB. 2

3∵BE?CF,BC?AB, 2

1∴EF?AB. 2

∴AB?BF.

∴四边形ABFG是菱形. (2)当BC?

3.(2009 年佛山市)如图,在正方形ABCD中,CE?DF.若CE?10cm,求DF的长.

A D

E

B

F C

【关键词】正方形知识的综合应用

【答案】解(略).

注:证明△BCE≌△CDF,给5分;根据三角形全等得DF?10,给1分.5.(2009年佳木斯)如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E.

(1)试找出一个与△AED全等的三角形,并加以证明.

(2)若AB=8,DE=3,P为线段AC上的任意一点,PG⊥AE于G,PH⊥EC于H,试求PG+PH的值,并说明理由. 2

【关键词】矩形的性质,全等三角形的判定

【答案】(1)△AED≌△CEB′

证明:∵四边形ABCD是矩形,

∴BC=B′C=AD,∠B=∠B′=∠D

又∠B′EC=∠DEA

∴△AED≌△CEB′

(2)延长HP交AB于M,则PM⊥AB

∵∠1=∠2,PG⊥AB′

∴PM=PG

∵CD∥AB

∴∠2=∠3

∴∠1=∠3

∴AE=CH=8-3=5

在Rt△ADE中,DE=3

AD=5?3=4

∵PH+PM=AD

∴PG+PH=AD=4. 11.(2009年广西梧州)如图,△ABC中,AC的垂直平分线MN交AB于 22

A

MN

点D,交AC于点O,CE∥AB交MN于E,连结AE、CD.

(1)求证:AD=CE;

(2)填空:四边形ADCE的形状是

【关键词】垂直平分线、全等三角形、菱形判定

【答案】

(1)证明:∵MN是AC的垂直平分线

∴OA=OC ∠AOD=∠EOC=90°

∵CE∥AB

∴∠DAO=∠ECO

∴△ADO≌△CEO

∴AD=CE

(2)四边形ADCE是菱形.

12. (2009年宜宾)已知:如图,四边形ABCD是菱形,过AB的中点E作AC的垂线EF,

3

交AD于点M,交CD的延长线于点F.

(1)求证:AM=DM;

(2)若DF=2,求菱形ABCD的周长.

B

FD第21题图C

【关键词】菱形的性质,全等三角形的判定

【答案】(1)略证:∵四边形ABCD是菱形,

∴AB∥CD,AB=AD. ∵AC⊥EF,

∴AM=AE. ∵AE=11AB, ∴AM=AD. 22

∴AM=DM.

(2)提示:证明△AME≌△DMF.DF=AE=2.菱形ABCD的周长为16.

16.(2009年娄底)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,连结AD,在AD的延长线上取一点E,连结BE,CE.

(1)求证:△ABE≌△ACE

(2)当AE与AD满足什么数量关系时,四边形ABEC是

菱形?并说明理由.

【关键词】全等、四边形

【答案】(1)证明:∵AB=AC

点D为BC的中点

∴∠BAE=∠CAE

AE=AE

∴△ABE≌△ACE(SAS)

(2)当AE=2AD(或AD=DE或DE=1AE)时,四边形ABEC是菱形 2

理由如下:

∵AE=2AD,∴AD=DE

又点D为BC中点,∴BD=CD

∴四边形ABEC为平行四形边

∵AB=AC

∴四边形ABEC为菱形

24. (2009年安顺)如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连结BF。

4

(1) 求证:BD=CD;

(2) 如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论。

【关键词】矩形判定

【答案】(1)?AF∥BC,?∠AFE?∠DCE

?E是AD的中点,?AE?DE.

??AFE??DCE???AE?DE??AEF??DEC(3')

??AEF??DEC?

?AF?DC,?AF?BD ?BD?CD

(2)四边形AFBD是矩形

?AB?AC,D是BC的中点?AD?BC ,?∠ADB?90?

?AF?BD,AF∥BC?四边形AFBD是平行四边形

?又∠ADB?90 ?四边形AFBD是矩形.

32.(2009重庆綦江)如图,在矩形ABCD中,E是BC边上的点,AE=BC,DF⊥AE,垂足为F,连接DE.

(1)求证:△ABE≌△DFA;

(2)如果AD?10,AB=6,求sin?EDF的值.

A D

B E C

【关键词】全等三角形,矩形,三角函数

【答案】

(1)证明:在矩形ABCD中,

BC?AD,AD∥BC,?B?90°

??DAF??AEB

?DF?AE,AE?BC

??AFD?90°=?B

AE?AD

?△ABE≌△DFA.

(2)解:由(1)知△ABE≌△DFA

?AB?DF?6

在直角△ADF中, 5

AF???8

?EF?AE?AF?AD?AF?2

在直角△DFE中,

DE???

?sin?EDF?EF??. DE35.(2009年江苏省)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB∥DE,AF∥DC,E、F两点在边BC上,且四边形AEFD是平行四边形.

(1)AD与BC有何等量关系?请说明理由;

(2)当AB?DC时,求证:ABCD是矩形.

?

B C

【关键词】矩形、平行四边形

【答案】(1)解:AD?

理由如下: 1(1分) BC. 3

?AD∥BC,AB∥DE,AF∥DC,

?四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形.

?AD?BE,AD?FC.

又?四边形AEFD是平行四边形,?AD?EF.

?AD?BE?EF?FC.

1?AD?BC. 3

(2)证明:?四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形,

?DE?AB,AF?DC.

?AB?DC,?DE?AF.

又?四边形AEFD是平行四边形,?四边形AEFD是矩形.

38.(2009年衢州)如图,四边形ABCD是矩形,△PBC和△QCD都是等边三角形,且点P在矩形上方,点Q在矩形内.

求证:(1)∠PBA=∠PCQ=30°;(2)PA=PQ.

6

P Q

B

D C

【关键词】矩形的性质与判定

【答案】证明:(1) ∵ 四边形ABCD是矩形,∴ ∠ABC=∠BCD=90°. ∵ △PBC和△QCD是等边三角形,

∴ ∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°,

∴ ∠PBA=∠ABC-∠PBC=30°,

∠PCD= ∠BCD-∠PCB=30°.

∴ ∠PCQ=∠QCD-∠PCD=30°.

∴ ∠PBA=∠PCQ=30°.

(2) ∵ AB=DC=QC,∠PBA=∠PCQ,PB=PC,

∴ △PAB≌△PQC,

∴ PA=PQ.

P

Q B D C

46.(2009年湖州)如图:已知在△ABC中,

AB?AC,D为BC边的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC, 垂足分别为E,F.

(1) 求证:△BED≌△CFD;

(2)若?A?90°,求证:四边形DFAE是正方形.

D C

【关键词】全等三角形的判定,正方形的判定

【答案】

(1)?DE⊥AB,DF⊥AC,

??BED??CFD?90°,

?AB?AC, 7

??B??C,

?D是BC的中点,

?BD?CD,

?△BED≌△CFD.

(2)?DE⊥AB,DF⊥AC,

??AED??AFD?90°,

??A?90°,

?四边形DFAE为矩形.

?△BED≌△CFD,

?DE?DF,

?四边形DFAE为正方形.

57.(2009年黄石市)如图,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,△ABC中,

设MN交?BCA的平分线于点E,交?BCA的外角平分线于点F.

(1)探究:线段OE与OF的数量关系并加以证明;

(2)当点O在边AC上运动时,四边形BCFE会是菱形吗?若是,请证明,若不是,则说明理由;

(3)当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?

A

B E F N C D

【关键词】等腰三角形;菱形的性质与判定;正方形的性质与判定;直角三角形性质

【答案】解:(1)OE?OF.

其证明如下:

∵CE是?ACB的平分线,??1??2.

∵MN∥BC,∴?1??3.

∴?2??3.

∴OE?OC.

同理可证OC?OF.

∴OE?OF.

(2)四边形BCFE不可能是菱形,若BCFE为菱形,则BF⊥EC,而由(1)可知FC⊥EC,在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线.

(3)当点O运动到AC中点时,OE?OF,OA?OC,则四边形AECF为,要使AECF为正方形,必须使EF⊥AC.

∵EF∥BC,∴AC⊥BC,∴△ABC是以?ACB为直角的直角三角形, ∴当点O为AC中点且△ABC是以?ACB为直角的直角三角形时,

四边形AECF是正方形. ?

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