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二次函数的图像

发布时间:2013-11-17 11:54:16  

26.1.3 二次函数y=a(x-h)2的图象

-4

-2 -2 -4 -6

2

4

抛物线 y ? ? 1 ? x ? 1?2, 线
2 1 2 y ?? x 2

1 2 y ? ? ? x ? 1? 与抛物 2

有什么关系?

可以发现,把抛物线
得到抛物线

1 2 y?? x 2

向左平移1个单位,就
1 2 y?? x 2
1 2 ? ? x . 1? 2

1 2 y ? ? ? x ? 1? 2

;把抛物线
y ??

向右

平移1个单位,就得到抛物线
-4 -2 -2

2

4

1 2 y ? ? ?x ? 1? 2

-4 -6

y??

1 ?x ? 1?2 2

1 y ? ? x2 2

归纳与小结
二次函数y = a﹙x-h﹚2的性质:
(1)开口方向:当a>0时,开口向上;

当a<0时,开口向下; (2)对称轴: 对称轴直线x=h; (3)顶点坐标: 顶点坐标是(h,0)
(4)函数的增减性: 当a>0时, 对称轴左侧(x ﹤ h时)y随x增大而减小,

对称轴右侧(x ≥ h时)y随x增大而增大; 当a<0时, 对称轴左侧y随x增大而增大, 对称轴右侧y随x增大而减小。 (5)最值

? 上下平移时:上加下减(抛物线上移,高度 变高,要使y变大,则需要加;类似的抛物线 下移,高度变低,要使y变小,则需要减。) ? 左右平移时:左加右减(抛物线左移,高度 不变,左移后x变小了,要使y不变,则需要 加;类似的抛物线右移,高度不变,右移后x 变大了,要使y不变,则需要x 减。)

观察二次函数 在同一直角坐标系中的图象,思考这三条抛物线 有什么关系?

1 1 2 1 2 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 y ? ? x , y ? ? x ? 1, 2 2 2

形状相同, 开口方向相同 . 顶点不同,
1 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 2

1 2 y?? x , 2
1 2 y ? ? x ? 1, 2

对称轴不同.

1 1 2 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? 抛物线y ? ? x 怎样移动就可以得到抛物线 2 2

平移方法1:
1 2 1 2 y ? ? x 向下平移 y ? ? x ?1 2 2 1个单位
1 y x

向下平移 y ? ? 1 ( x ? 1) 2 ? 1 2 1个单位

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 1 1 向左平移 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 y ? ? ( x ? 1)2 ? 1 -2 2 -3 2 1个单位 -4 -5 平移方法2: -6 1 2 向左平移 1 -7 y?? x y ? ? ( x ? 1) 2 -8 2 2 1个单位 -9 -10

x=-1

说出平移方式,并指出其顶点与对称轴。
y=ax2 y=ax2 c>0 上移 y=ax2+c c<0 下移

左 加
右 减

y=a(x-h)2

抛物线y ? a ( x ? h) 2 ? k有如下特点: (1)当a ? 0时,开口____;当a ? 0,开口___; x=h (2)对称轴是直线 ____; (3)顶点坐标是 (h,k) ______。

? 说出下列二次 函数的开口方 向、对称轴及顶点坐标 (1) y=2(x+3)2 向上, x= - 3, ( - 3, 0) 2 向下, x= 1, ( 1, 0) (2) y=-3(x -1) 2 向上, x= - 2, ( - 2, 0) (3) y=5(x+2) (4) y= -(x-6)2 向下, x= 6, ( 6, 0) 2 向上, x= 8, ( 8, 0) (5) y=7(x-8)

自测

1.把二次函数y =6(x+3)2的图像,沿y 轴向下平移2 个单位, 向左平移3个单位,得到___________的图像. 2.把二

次函数______的图像,沿x 轴向右平移2个 单位, 沿y 轴向下平移3个单位,得到y =6(x-3)2+5的图像. 3.把二次函数y =6(x-3)2+5的图像,沿x 轴_______ 平移______个单位, 再沿y 轴向______平移_______个单位,图像过原点 .

(1)抛物线y= ?2x2+3的顶点坐标是 是 ,在___

,对称轴

侧,y随着x的增大而 ,它是由抛物线y=

增大;在

侧,y随着x的增大而减小,当x= _____

时,函数y的值最大,最大值是

?2x2线怎样平移得到的__________.
( 2)抛物线 y= x2 的顶点坐标是____,对称轴是 -5 ____,在对称轴的左侧,y随着x的 ;在对称 轴的右侧,y随着x的 ,当x=____时,函数y的 值最___,最小值是 .

4 .对于任何实数h,抛物线 2与抛物线y=x2 y=(x-h) 的方向,大小相同 5 .将抛物线y= -2x2向左平移一 个单位,再向右平移3个单位 2 得抛物线解析式为 y= - 2(x – 2). 6.抛物线y=3(x-8)2最小值为 0 .

例1、下列函数中,哪些是二次函数?若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项. 1 __ (1)y=3(x-1)2 +1 (2)y=x+ x (3)s=3-2t2 (4)y=(x+3)2 x2 1 __ x2 (5)y= -x (6)v=10π r2 说明: 判断一个函数是否是二次函数,看它是否化简成 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数且a≠0)的形式。

例2、已知函数 y= (m+3)x

m2-7

(1)m取什么值时,此函数是二次函数? (2)m取什么值时,此函数是正比例函数? (3)m取什么值时,此函数是反比例函数?

做一做:
1、按下列要求求出二次函数的解析式: (1)已知抛物线y=ax2+c经过点(-3,2)(0,-1),求该抛物 线线的解析式。 (2)形状与y=-2x2+3的图象形状相同,但开口方向不同,顶 点坐标是(0,1)的抛物线解析式。 (3)对称轴是y轴,顶点纵坐标是-3,且经过(1,2)的点的 解析式,

2、在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数 y=ax2+c的图象大致是如图中的( ) y
y
y

y

o

x

o

x

o

x

o

x

A

B

C

D

试一试:

用20米的篱笆围一个矩形的花圃(如图), 设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求:
(1)写出y关于x的函数关系式.
(2)当x=3时,矩形的面积为多少?

解:) y ? x(20 ? 2 x) (1

? ?2 x ? 20 x
2

(o<x<10)
2

(2)当x=3时

y ? ?2 ? 3 ? 20 ? 3 ? 42 m
2

x


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