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中考数学

发布时间:2013-11-18 10:37:55  

第十一讲

平面图形的面积

一、知识要点和基本方法

1.平面图形:图形上所有的点都在同一平面内的图形叫做平图形.

2.平面图形的面积:平面图形所占的平面部分的大小,叫做面图形的面积.

3.常见的几种规则图形及其面积计算公式有:

(1)三角形.

三角形定义:由三条线段围成的图形叫做三角形(如图11).

图11-1

三角形分类:

按内角的大小分:

锐角三角形(三个角都是锐角),

直角三角形(有一个角是直角),

钝角三角形(有一个角是钝角).

按边分:

不等边三角形,

底边和腰不相等的等腰三角形,

等边三角形.

1 三角形面积公式:S=ah, 2

其中h表示三角形中一条底边a上的高(如图 11-2);

图11-2 图11-3 图11-4

11当三角形为直角三角形时,S?ab?ch(如图 11-3); 22

11当三角形为等腰直角三角形时,S?a2?b2(如图 11-3). 22

(2)四边形.

图11-5是各种四边形的从属关系与分类表.

图11-5

四边形面积公式:

1)正方形:S?a2.

2)长方形:S?ab.

3)平行四边形:S?ah.

14)梯形:S?(a?b)h. 2

(3)圆(如图11-6)与扇形(如图11-7).

图11-6 图11-7

面积公式:

1??1)圆:S??r2?或S??d2,d为圆的直径? 4??

n?n表示扇形圆心角的度数? 360

4.一般的平面图形是不规则的,但多数是由上述这些基本图形拼合组成的.因而这些平面图形面积的计算方法,是先将这些不规则图形进行分割拼补,并转化成规则图形的和、差关系,再由这些规则图形面积及其和差关系来求出这些不规则图形的面积.

二、例题精讲

例1 边长分别为3厘米与5厘米的两个正方形拼在一起(如图11-8).求阴影部分的面积.

分析 阴影部分面积可转化为两个正方形面积之和减去两个三角形面积之2)扇形:S??r2?

和.

图11-8

解 S?S正方形ABFG?S正方形BCDE?S?A

?3?3?5?5?

CG?S?C D 11?3??3?5???5?5 22?9?25?12?12.5?9.5?平方厘米?

例2 图11-9中ABCD是直角梯形.其中AD=12厘米,AB=8厘米,BC=15厘米,且ΔADE、四边形DEBF及ΔCDF的面积相等.三角形EBF(阴影部分)的面积是多少平方厘米?

图11-9

分析 此题可根据已知条件,先求出FC和AE的长,再求得BF=15=FC,BE=8=AE,就可计算出ΔEBF的面积了.

解 先求出S?ADE?S?CDF?(12?15)?8?2?3?36(平方厘米).于是

BE?8?36, ??21?2(厘米)2

BF?15?3?, 6?2?8(厘米)6

所以S?EBF?2?6?2?6(平方厘米).

例3图11-10中正方形的面积为18.75平方厘米.在正方形内有两条平行于对角线的线段将正方形平均分成面积相等的三份.求图中的平行线段的长.

图11-10 图11-11

分析 从图11-10可知,图中的两条平行线段恰好将正方形分出两个相等的等腰直角三角形(即两块阴影部分).由已知条件,每一块阴影(即一个等腰直角三角形)的面积S可求.但无法求得这个等腰直角三角形的斜边(也就是我们要求的平行线段的长).但用4个这样的等腰直角三角形可以拼成一个正方形(图11-11),而这个正方形的边长恰为我们所要求的平行线段的长,下面只要求出这个正方形的面积就可以了.

解 由题意

1 S?? 18.75?6(平方厘米).253

?4S?4?6.2 S正方形ABCD 5

=25=5×5(平方厘米).

所以,图11-10中两条平行线段的长都为5厘米.

例4 图11-12中长方形的长和宽分别为6厘米和4厘米,两个扇形的半径分别为4厘米和6厘米.求阴影部分的面积.

图11-12

分析 阴影部分的面积可转化为以半径为6厘米(圆心角=90°)的扇形面积中减去其中的“空白部分A”的面积.而“空白部分A”的面积又正好是长方形的面积减去半径为4厘米(圆心角=90°)的扇形面积.(π=3.14)

解 阴影部分的面积

=3.14?62?1?1???6?4?3.14?42?? 4?4?

=28.2 .?611

. =16.82(平方厘米)

例5 如图11-13.正方形的面积是32平方厘米,求图中阴影部分的周长与面积.(π=3.14)

图11-13

分析 图中阴影部分的面积,就是一个以正方形对角线为半径的90°扇形面1积与以对角线为半径的圆面积,分别减去它们重部分的面积的差之和.我们还2

可以把正方形看成是两个等腰的直角三角形,它的底边是正方形的对角线,高为1对角线,这两个等腰直角三角形的面积之和是32平方厘米,那么可先求出对2

角线的长,问题即可迎刃而解.

解 由于 32 × 2=64=8 × 8,所以图11-13中正方形对角形的长为8厘米.因此,阴影部分的周长为

18?3.14+?16?3.14+8?2 4

=25.12+12.56+16=53.68(平方厘米)

因为大扇形内,正方形左边国内的空白部分,与正方形右边圆内的阴影部分是对称图形,故有S阴影=S扇形?S正方形.于是得 1=82?3.14??324阴影部分的面积

=18.24?平方厘米?.

例6 如图 11-14三角形 AOB是等腰直角三角形,AO=AB=10厘米,半圆 ADB的直径为AB,以 O为圆心的扇形OAC的半径为AO=10厘米,求图中阴影部分面积.(保留π)

图11-14

分析 阴影部分面积可看成是以AB为直径的半圆的面积加上以O为圆心,AO为半径的扇形 OAC的面积减去直角三角形OAB的面积.

解 以AB为直径的半圆的面积

25 =??52?2??(面积单位). 2

以O为圆心人O为半径的扇形OAC的面积是:

4525 ??102?. ??(面积单位)3602

等要直角△OAB的面积是

10×10÷2=50(面积单位).

所以整个阴影部分面积是

2525????50?2?5??22(面积单位). ?2

练习题

A组

1.求图11-15中每个小图形的阴影部分的面积.

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

112.如图11-16,在△ABC中,AD=AB,BE=EF=FC,CG=CA,求阴影部分33

面积占△ABC的面积的几分之几?

图11-16 图11-17

3.如图11-17,平行四边形ABCD是一花池,边长分别为60米和30米,甲乙同时从A点出发,逆时针沿平行四边形边行走,甲每分钟走50米,乙每分钟走20米,出发5分钟后甲走到E点,乙走到F点,连接AE、AF,求四边形AECF与平行四边形ABCD的面积之比.

4.图11-18中三个同心圆的半径分别为1厘米、2厘米、3厘米.求图中阴影部分的面积与非阴影部分面积的比.

图11-18 图11-19

5.图11-19中,正方形ABCD的边长为10厘米,过它的四个顶点作一个大圆,过它的各边中点作一个小圆.再过两组对边中点作直线.求图中各块阴影部分的面积总和.(??3.14)

6.如图11-20,求阴影部分面积.

图11-20

B组

7. 求图11-21中每个图中阴影部分的面积.

(1)

(2)

(3) (4)

(5) (6)

(7)

8.图11-22是两个相交的圆,其中阴影部分的面积是大圆面积的

3面积的,小圆的半径是5厘米.问大圆的半径是多少厘米?

54,是小圆15

图11-22

9.图11-23是三个圆心相同的半圆.它们 的直径分别为1、3、5.被线段分

割成8块.如果每块字母代表这一块的面积,并且相同的字母代表相同的面积.求A:B等于多少?

图11-23

10.如图11-24所示,长方形的长为5,宽为2,求阴影部分面积.

图11-24 图1-25

11.如图11-25所示,小圆直径是5厘米恰是大扇形的半径,求阴 影部分面积.(??3.14)

测 试 题

1.如图11-26,△ABC和△DEF都是等腰直角三角形,AB=8厘米,DE=6厘米,

求阴影部分面积.

2.如图11-27,四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AE=5厘米,AB=10厘米,FC=12

厘米,DC=15厘米,求阴影部分面积.

图11-26 图11-27

3.求图11-28中阴影部分面积.

图11-28

54.如图11-29,半圆S1的面积是14.13平方厘米,圆 S2的面积是19了平方8

厘米.那么长方形(阴影部分)的面积是多少平方厘米?

图 11-29 图11-30

5.如图11-30,一个大正方形的边被四等分,共分成十六个小正方形.图A是

一个圆,图B是由三个半圆围成的图形.那么图A与图B的面积之间的关系是什么?

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