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3.2二次根式的乘除(3)

发布时间:2013-11-18 12:45:14  

学习目标
a a 1.能运用法则 ? (a ? 0, b ? 0)化去 b b 被开方数的分母或分母中的根号.

2. 进一步明确二次根式化简结果中的被开方数 应不含有能开得尽方的因数或因式,也不含有 分母,根式运算的结果中分母不含有根号.

复习提问

1.二次根式除法法则是什么?
a ? b a b
a b

?a ? 0, b ? 0?
a (a ≥0,b > 0) b

2. 二次根式的除法有两种常用方法:
(1)利用公式:
=

(2)把除法先写成分式的形式,再进行分母有理 化运算。

思 考:如何化去

1 3 的被开方数中的分母呢?

1 3

=

1? 3 3? 3

=

3 2 3

=

3 3
2

=

3 3

试一试 :如何化去

2 5的被开方数中的分母呢?

当(a≥0,b>0)时, 结论:
a ? b a? b ? b? b ab ? 2 b ab ab ? 2 b b

这样就可以把被开方数中的分母化去.

想一想: 1 1 如果上面 3 首先化成 3 ,那么该 怎样化去分母中的根号呢?
1 3
=

1 3

=

1? 3 3? 3

=

3 3

结 论 : 当(a≥0,b>0)时,

a b

=

a b

=

a? b b? b

=

ab b

a ? b

a b

?a ? 0, b ? 0?
3

a ? b

a b
2y 3x

?a ? 0, b ? 0?

例1:计算:1? 2 ? 解:

? 2?

1 2 3

? 3?

( x ? 0, y ? 0)

3 3 15 15 15 3? 5 ? ?1? 解法1.. ? 5 ? 5 ? 5 ? 25 ? 5 25 5

3 3? 5 15 解法2.. ? ? 5 5 5? 5

在二次根式的运算中, 最后结果一般要求
(1)分母中不含有二次根式.

? 2?

1 7 7?3 21 2 ? ? ? 3 3 3? 3 3

? 3?

2y

6 xy ? ? 3x 3x 3x ? 3x

2 y ? 3x

(2) 最后结果中的二次根式 要求写成最简的二次根式 的形式.

1.被开方数不含能开得 尽方的因数或因式; 2.被开方数不含分母; 3.分母中不含有根号。

练习一:把下列各式化简(分母有理化):

-4 2 (1) 3 7

(2)

2a a+b

(3) 3 40

2

-4 2 ? 7 -4 2 -4 14 = 解: 1) ( = ; 21 3 7? 7 3 7

2a a+b (2) = = a+b ? a+b a+b a+b
2a
2a a+b

5 20 2 5 (3) = = = = = 60 30 3 40 3 ? 2 10 6 10 ? 10 60

2

2

2 ? 10

注意:要进行根式化简,关键是要搞清楚分 式的分子和分母都乘什么,有时还要先对分 母进行化简。

练习二:
1.在横线上填写适当的数或式子使等式成立。 ( ( ) 8 ? 2 )= 4 1

(2) 5 ? 5 )= 10 2 (

3 2 (3) a-1 ? a- )= a-1 (4) ( 1 = 6
2.把下列各式的分母有理化:

?

3

?

-8 3 (1) 8
3.化简:

3 2 (2) 27

(3)

5a 10a

(4)

2y 2 4 xy

(1)- 19 ÷ 95

1 3 1 (2) 9 ÷ (- 2 ) 48 2 4

m-3 4. 1、等式 = 成立的条件是 m-5 m-5
1、解:要使等式成立,m必须满足 ? m-3 ? 0 ?m?5 ? ? m-5>0

m-3

m>5 成立的条件是 __________ __ 。

5、如图,在Rt△ABC中,∠C=900, ∠A=300,AC=2cm,求斜边AB的长
B

A

C

思考题:
1 2、已知实数a、b满足 4a-b+11+ b-4a-3

=0, 3 a b 1 求 2a ? ( ÷ )的值。 b a b

2、解:要使原式有意义,必须 1 ?4a ? b ? 11 ? 0 ? ? ?a ? , 解得 ? 4 ?1 ? 3 b ? 4a ? 3 ? 0 ?b=12 ? ? 1 ?

?a ? 因为 ? 4 ?b ? 12 ?

2a

a b ? ( ? b a

1 ) b 12 ? 1 4 ? 1 ? ? 12 ? ? ?

1 ? ? 1 =2 ? ? 4 ? ? 4 12 ? ? ? 1 ? ? 2 1 ? ? 2 1 ? ? 2

1 ? 1 ? ? 48 ? ? ? 48 ? 12 ? 1 ? 48 ? 12 48 1 12 ? ? 3 ? 3 2 2

课堂小结:
1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式。 2. 二次根式的除法有两种常用方法: (1)利用公式: a
b = a (a ≥0,b > 0) b

(2)把除法先写成分式的形式,再进行分母有理 化运算。 3. 在进行分母有理化之前,可以先观察把能化简的 二次根式先化简,再考虑如何化去分母中的根号。


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