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14.1.1勾股定理(2课时)

发布时间:2013-11-18 12:45:17  

14.1.1直角三角形
三边的关系
两课时

活动一
?
A

观察左图:
(1)正方形P的面积是 R (2)正方形Q的面积是 (3)正方形R的面积是 1 1 2 平方厘米。 平方厘米。 平方厘米。

P
C Q B

SP+SQ=SR
(图中每一格代表一平方厘米)

上面三个正方形的 面积之间有什么关 系?

Sp=AC2

SQ=BC2

SR=AB2

等腰直角三角形ABC三边长度之 间存在什么关系吗?

AC2+BC2=AB2

想一想
这说明在等腰直角三角形ABC中,两

直角边的平方和等于斜边的平方
那么,在一般的直角三角形中,两直角边 的平方和是否等于斜边的平方呢?

A

P的面 Q的面 R的面 积(单位 积(单位 积(单位 长度) 长度) 长度)

Q
C

R
B

图2 图3

9 9

16 4

25 13

P
图2

A

R

Q
C

P、Q、 R面积 关系

SP+SQ=SR
BC2+AC2=AB2

P
图3

B

直角三 角形三 边关系

(每一小方格表示1平方厘米)

Q

R

P
图1-3

R

Q
P
图1-4

把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积。

Q

R

S正方形R
R

P
图3

1 ? 7 ? 4 ? ? 3? 4 2
2

Q
P
图4

? 25

把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积。

做一做
分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作 出一个直角三角形ABC,测量斜边的长度,然后 验证上述关系对这个直角三角形是否成立。

A
5
13

C

12

B

勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 对于任意的直角三角形,如果它的两条直角边分别为 a、b,斜边为c(最长边),那么一定有:a2+b2=c2 B

a

c ∟ b

几何语言: ∵在Rt△ABC中 ∠C=90°(已知) ∴a2+b2=c2(勾股定理)

C

A

注意: 1.运用前提:已知直角三角形和直角。 2.揭示了直角三角形三条边的关系; 3.运用中要注意直角与斜边的对应关系; 4.三边中最长的边就是斜边。

结论变形
直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方:

c2=a2 + b2 a2=c2 - b2 b2 =c2 -a2

c ? a 2 ? b2
a ? c2 ? b2

c
2

b

b ? c ?a
2

如果知道了直角三角形两边 的长度,那么应用勾股定理 可以求出第三边的长度

a

求下列直角三角形中未知边的长: 8 17 5 12

x

x

解:在直角三角形中, 解:在直角三角形中, 依勾股定理可得: 依勾股定理可得:
82+ X2=172 即:X=√172-82 =15 52+ 122= X2 即:X=√52+122 =13

求出下列直角三角形中未知边的长度。

24
6 8 X 25 x

例题:在直角△ABC中, ∠C=90°,a,b,c分别为
∠A,∠B ,∠C的对边.
(1)若a=3, b=4,求c的长;(2)若a=5, c =12,求b的长

(3)若a:b=3:4,c=15,求a,b的长

练习1:
在Rt△ABC中, ∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c. (1)已知 (2)已知 (3)已知 a=7, a=5, a=b, b=24, c=8, c=6, 求c; 求b; 求a;

如果一个直角三角形的两条边长分别是6 厘米和8厘米,求第三边长。
解: (1)当8为直角边时, 斜边长为:
6 ?8
2 2

? 10

(2)当8

为斜边长时, 另一条直角边为:
8 2 ? 6 2 ? 28

试一试:课本51页练习2题。

复习:在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1) 已知:a=6,b=8,求c;

(2) 已知:a=40,c=41,求b;
(3) 已知:c=13,b=5,求a; (4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.

方法 小结
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边; (2)可用勾股定理建立方程.

勾 股 世 界
两千多年前,古希腊有个毕达哥拉斯 学派,他们首先发现了勾股定理,因此在 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 理。为了纪念毕达哥拉斯学派,1955年希 腊曾经发行了一枚纪念邮票。
我国是最早了解勾股定理的 国家之一。早在三千多年前,周 朝数学家商高就提出,将一根直 尺折成一个直角,如果勾等于三, 股等于四,那么弦就等于五,即 “勾三、股四、弦五”,它被记 载于我国古代著名的数学著作 《周髀算经》中。

勾股定理的证明(二)

弦 图
b b c

a

b

c

最早是由1700多年前三 国时期的数学家赵爽为 《周髀算经》作注时给 出的,他用面积法证明 了勾股定理。 你能用面积法证明勾 股定理吗?

a

证明: 1 2 ? S正 ? ab ? 4 ? ?b ? a ? ; S正 ? c 2 2 ? c 2 ? 2ab ? b 2 ? 2ab ? a 2

?c ? b ? a
2 2

2

勾股定理的证明(三) b a c
将上面弦图中的四个三角形 重新拼成右图形式。
你能用两种方法表示这 个小正方形(空白部分) 的面积吗?

1 证明: S空白 ? c ; S空白 ? (a ? b) ? 4 ? ab ? 2 2 2 2
2 2

?c ? a ? b
2 2

? c ? a ? 2ab ? b ? 2ab
2

例题2 : 如图,将长为5.41米的梯子AC斜靠 在墙上,BC长为2.16米,求梯子上端A 到墙的底端B的距离AB.(精确到0.01米) 解 在Rt△ABC中∠ABC=90゜, BC=2.16, CA=5.41, 根据勾股定理得
AB ? AC 2 ? BC 2

AB ?

AC ? BC
2 2

2 2

? 5.41 ? 2.16
≈4.96(米)

例3:如图,为了求出湖两岸的A、B 两点之间的距离, 一个观测者在点C 设桩,使⊿ABC 恰好为直角三角形. 通过测量,得到 AC 长160米,BC 长128米.问从点A穿 过湖到点 B 有多远?
解:在Rt△ABC中,∠B=90° AC=160(米),BC=128(米) 根据勾股定理得

AB ?

AC 2 ? BC 2

? 160 2 ? 128 2
= 96(米) 答:从点A穿过湖到点B有96米.

例4.已知∠ACB=90°,

A D 3 B C 4 2 2 ? AB ? 3 ? 4 ? 5

CD⊥AB,AC=3,BC=4.
求CD的长. 解:∵∠ACB=90°
? AB ?


AC ? BC
2

2

注意:在直角三角形中两直角边的积等于斜边与其高的积。

∠ACB=90°,CD⊥AB, 1 1 ? S ? AC ? BC ? AB ? CD 2 1 2 1 ? ? 3 ? 4 ? ? 5 ? CD ?CD ? 12 2 2 5

例6:如图正三角形ABC的边长为6.(1)求高AD的长; (2)求三角形ABC的面积。
提示:过点A作AD垂直BC于D
A

B

D



C

勾股小常识:勾股数 1、 a2 =c2 +b2 ,满足(a,b,c)=1则a,b,c,为基本勾股数 如:3、4

、5;5、12、 13;7、24、25……; 2、如果a,b,c是一组勾股数,则ka、kb、kc(k为正 整数)也是一组勾股数,如:6、8、10;9、12、 18……; 3、若a,b,c是一组基本的勾股数,则a,b,c不能同时 为奇数或同时为偶数; 4、一组勾股数中必有一个数是5的倍数; 5、2mn,m2 ,m2 为勾股数组,m>n﹥0,m,n一奇 -n2 +n2 一偶;

作业:
1. 一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木板, 则木板的长为 ( ) A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
2.一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长为 ( ) A 2、4、6 B 6、8、10 C 4、6、8 D 8、10、12 . 3.已知:Rt△ABC中,AB=4,AC=3,则BC的长为

4. 在Rt△ABC中, AB=c, BC=a, AC=b, ∠B=90°.

(1) 已知a=6, b=10, 求c;(2) 已知a=24, c=25, 求b.

5.已知∠ACB=90°, CD⊥AB,AC=5,BC=12. 求CD的长.

A D

C

B


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