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(公开课)垂直于弦的直径

发布时间:2013-11-18 13:40:05  

◆复习
1、如图,在⊙O中,直径CD与弦AB相 交于点E。 ? 、BC 、 ? 、 BD AC ? AD ? (1)图中的劣弧有:____________

? 、? (只写两段) (2)图中的优弧有:___________ ADB ADC
AB、CD (3)图中的弦有:______________ CD (4)图中的直径有:_________ 2、如右图,在Rt△ABC中, ∠C=900,则有勾股定理

AB ? AC ? BC __________________
2 2

2

实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折, 重复几次,你发现了什么?由此你能得到 什么结论? 可以发现:圆是轴对称图形,任何一条直径所 在直线都是它的对称轴. 圆有无数条对称轴.

活动二
如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.

(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?

(2)你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么?
C

(1)是轴对称图形.直径CD所在的直线 是它的对称轴 (2) 线段: AE=BE、OC=OD 弧: ? ? BD 、 ? ? BC AC ? AD ?

·
O E A D

P81
垂直于弦的直径平分弦,并且 平分弦所对的两条弧.

B

活动三

例题(课本P82练习1)

如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O 到AB的距离为3cm,求⊙O的半径. 解:? OE ?

AB

A

4 ?

E

B

1 1 ? AE ? AB ? ? 8 ? 4cm 2 2
在Rt △ AOE 中

O

·

3

AO ? OE ? AE
2 2

2

? AO ? OE 2 ? AE 2 =
答:⊙O的半径为5cm.

3 +4 =5cm

2

2

巩固练习
1、如图,⊙O的半径为5cm,弦AB长为6cm,求 圆心O到AB的距离。

5 3

? E

模仿下面例题完成巩固练习
1、如图,⊙O的半径为5cm, 弦AB长为6cm,求圆心O到AB 的距离。

5 3

? E

解:?OE ? AB

例题:如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB 的距离为3cm,求⊙O的半径.

1 1 ? AE ? AB ? ? 8 ? 4cm 2 2
在Rt △ AOE 中

A

4 ?

E

B

AO 2 ? OE 2 ? AE 2
? AO ? OE 2 ? AE 2 = 32 +42 =5cm 答:⊙O的半径为5cm.

O

·

3

巩固练习

圆心到弦的距离叫做弦心距。 1:如图,⊙O的半径为5cm,弦AB长为6cm,求 圆心O到AB的距离。

解:过点O作OE⊥AB于点E,
连接OA ∵ OE⊥AB,垂足为E
∴ AE ? BE ? 1 AB ? 1 ? 6 ? 3 cm 2 2 在Rt△AOE中
5 3 ? E

∴ OE 2 ? OA2 ? AE 2 ∴ OE ? OA2 ? AE 2 ? 52 ? 32 ? 4 cm ∴圆心O到AB的距离为4cm

C

垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.

·
O E A D B

∵ CD是直径
数 学 语 言



CD⊥AB,垂足为E AE=BE
? ? BD AD ? ? ? BC AC ?

活动三

例题(课本P82练习1)

如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O 到AB的距离为3cm,求⊙O的半径. 解:? OE ?

AB

A

4 ?

E

B

1 1 ? AE ? AB ? ? 8 ? 4 2 2
在Rt △ AOE 中

O

·

3

AO ? OE ? AE
2 2

2

? AO ? OE 2 ? AE 2 = 32 +42 =5cm
答:⊙O的半径为5cm.

P80

解决求赵州桥拱半径的问



问题 :你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2m,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗?

问题 :你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱 桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形,它 的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离) 为7.2m,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗?

解:如图,设半径为R 则OD=OC-CD=R-7.2 ∵ OC⊥AB,AB=37.4 1 1 ∴ AD ? AB ? ? 37.4 ? 18.7 2 2 在Rt△OAD中,由勾股定理,得 OA2=AD2+OD2 即 R2=18.72+(R-7.2)2

37.4

C

A

18.7 R

7.2

D
R-7.2

B

O

解得:R≈27.9(m) ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.

判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中,如果一条直线经过圆心且平分弦, 必平分此弦所对的弧


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