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北师大版数学八年级上册教案:《平方根》“同步课堂”

发布时间:2013-11-19 08:44:01  

知识改变命运

初二同步辅导材料

第二章 实数 2.2平方根

教学目标与要求:

1、了解数的算术平方根、平方根的概念。

2、了解开方与乘方运算的关系。会求非负数的算术平方根和平方根。

二、学习指导

本讲重点:(1)算术平方根、平方根的概念

② 会运用根号表示并会求数的平方根

本讲难点: (1)平方根、算术平方根的区别与联系

1、 关于算术平方根

如果一个正数x的平方等于a,即x?a,那么正数x叫做a的算术平方根。 注意:(1)0的算术平方根为0。

(2)数a的算术平方根记作a,其中a?0。

(3)只有当a?0时,数a才有算术平方根。

2、 关于平方根

2如果一个数的平方等于a , 即x=a,那么这个数x就叫做a的平方根。

注意:(1)一个正数有两个平方根,且它们互为相反数,记为?2a;

0有一个平方根,就是它本身;

负数没有平方根。

(2)要分清平方根与算术平方根的区别与联系:

一个正数的平方根有两个,而算术平方根只有一个;一个正数的算术平方根是一个正数,而它的平方根是一正一负

3、 关于开平方

求一个数a的平方根的运算叫做开平方。其中a叫做被开方数。

注意:(1)开平方运算与平方运算互为逆运算。

(2)一个正数开平方运算的结果有两个。

(3)负数不能进行开平方运算。

24、 关于a、(a)、a 2

a表示非负数a的算术平方根,其结果也是非负数;

若a?0,则(a)=a; 而a总有意义,且当a?0时,a=a;当a?0时,a=?a,即a=a. 22222

三.典型例题

一切为了孩子

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(一)平方根

1. 平方根的概念:

如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根(或二次方根),就是说,如果x2=a,那么,x就叫做a的平方根。

如5和-5都是25的平方根。

例1. 求100的平方根。

方根。

从上面的例子可以看出:

一个正数有两个平方根,它们互为相反数。

那么,0的平方根是多少?负数的平方根存在吗?

实际上,0的平方根是0,因为02=0,且只有0的平方等于0。

负数没有平方根,因为任何一个数的平方都不为负数。

故得结论:一个正数有两个平方根,它们互为相反数。0的平方根是0,负数没有平方根。

2. 一个非负数a的平方根的表示方法:

3. 算术平方根:

方根。

4. 开平方:

求一个数a(a≥0)的平方根的运算,叫做开平方。开平方运算是已知指数和幂求底数。 开平方与平方互为逆运算,正数、负数、0可以进行平方运算,且平方只有一个,但只有正数和0才可以开平方,负数无平方根。

因为平方和开平方互逆,故可通过平方来找一个数的平方根,也可验算平方根是否正确。 例2. 下列各数有平方根吗?如果有,求出来,如果没有,说明理由。

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解:(1)因为-64是负数,故-64无平方根。

(2)0只有一个平方根,是0。

例3 求下列各数的算术平方根

(1)625 (2)164 (3)2 (4)?4 4121

解:(1)因为252?625,所以625的算术平方根是25,即625?25

64864864?8?? (2)因为???,所以的算术平方根是,即1211112111121?11?2

1319913?3?(3)2=,而???,所以2的算术平方根是,即2? 4244442?2?

(4)因为?24?3?2?5,所以其算术平方根是

说明:由算术平方根的定义可知,求某个非负数的算术平方根,就是要求哪个非负数的平方等于它.

5. 平方根与算术平方根的区别与联系:

区别:

(1)定义不同,x2=a,x叫a的平方根。

联系:

(1)平方根包含算术平方根。

(2)存在条件相同,非负数才有平方根和算术平方根。

(3)0的平方根和算术平方根均为0。

例4. 求值:

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根为0.8

例5 说明下列各式的意义,并求值。

(1)-; (2)?492; (3)(?17). 81

解: (1)-表示16的负的平方根。-=-4

(2)?4949497表示的平方根,是互为相反的两个数。?=? 8181819

222(3)(?17)表示??17?的算术平方根,即289的算术平方根。(?17)=17

说明:在计算之前,首先要弄清各表达式的意义、它表示几个数、是正数还是负数。

例6 求下列各数的平方根

(1) 0.49 (2)1

272 (3)??2.3? (4)15 9解:(1)因为??0.7??0.49,所以0.49的平方根是?0.7,即?0.49??0.7

741674716?4?(2)因为1=,而????,所以1的平方根是?,即??? 9939399?3?

(3)因为??2.3????2.3?,所以??2.3?的平方根是?2.3,即?2222??2.3?2??2.3 (4)15的平方根是?

说明:由平方根的意义可知,一个正数的平方根有互为相反的两个值,切记别漏了负值。 例7 已知2a?1的平方根是?3,3a?b?1的平方根是?4,求a?2b的平方根. 解:由题意得,2a?1?9且3a?b?1?16

所以a?5,b?2,a?2b?9

所以a?2b的平方根为?3

说明:要掌握平方运算与开方运算的关系。

例8 求下列各式中的未知数

?x?1??64 81x?49?0(x?0) x?225?0 (1)(2)(3)(4)12y2?2221?0(y?0) 3

22解:(1)由x?225?0得,x?225,所以x??225??15

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(2)由?x?1??64得,x?1????8,所以x?9或?7 2

749,又因为x?0,所以x? 981

111 (4)由12y2??0得,y2?,又因为y?0,所以y?? 3366 (3)由81x?49?0得,x2?2

说明:正数的平方根有两个,但具体解题时,要认真审题,看清要求,象(3)、(4)两题就不必写出两个值。

四、巩固练习

1、 选择 2 (1)(?4)的算术平方根是( )

(A)4 (B)?4 (C)2 (D)?2

(2)下列各式中,计算正确的是( )

???14 ??196??(?13)?13 (A25??5 (B0.0009?0.3 (C)(D)

(3)下列语句不正确的是( )

(A)0的平方根是0 (B)非负数的平方根互为相反数

(C)?22的平方根是?2 (D)一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数

(4)下列正方形中,边长不是有理数的为( )

(A) 面积为8的正方形 (B)面积为144的正方形

(C)面积为1.69的正方形 (D)面积为

225的正方形 16 (5)能使?a有意义的数a的个数为( )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)无数个

(6)下列说法中,正确的是( )

(A)4的平方根是?2 (B)0.9 的平方根是?0.3

(C)?a 没有平方根 (D)a?1一定有平方根

2、填空 22

?1?(1)9的平方是 ,9的平方根是 ,-9是 的一个平方根,???的平方根

?4?

____________,算术平方根是____________。 2

(3). x=____________。

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(4)

(5)2____________

____________。 2?= ;22= ;??3?2= 。 (6)若x?2?2,则2x?5的平方根是__________。 (7)若a?2?b?21?0,则a?b?______。 9

(8)若y?

3、解答:

(1)计算:2x?2?2?x?3,则x?y?_____。 ?1?(?1)2003?1??5 4

(2)求下列各数的平方根和算术平方根:

289、0.64、542、49、 (3??)、 9(3)求下列各式的值:

143600 、?2 、25

4.

??4.3?22222、???.23??、25?24?5?12、 ??2

5. 在下列各式中,哪些有意义,哪些无意义?在有意义的式子中,分别说明它们各表示的是什么数的平方根或算术平方根或负平方根。

6.

思考题:

已知三个数89、12、3,进行如下运算:取其中任意两个数求其和再除以2,同时求其差再除以2,试问:能否经过若干次上述运算,得到三个数90、14、10?说明理由。 (摘自《数学培优竞赛新方法》)

五、参考答案

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1、(1)C (2)C (3)C (4)A (5)B (6)D

2、(1)81、?3、81、?

(4)

1 (2)

. 4(3)

. 21

33

813、(1)-5 (2)略 (3)60、?、4.3、0.23、91、?3 52(5)2、2、3 (6)?3 (7)?1或?2 (8)5

4

5

6. 解:(1)因为102=100,故100的算术平方根是10

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本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn

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