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7.5三角形内角和定理课件ppt

发布时间:2013-11-19 10:50:10  

7.5三角形内角和定理

回顾与思考

?

胜者的 “钥匙”

?证明命题的一般步骤:
?(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); ?(2)根据题意,画出图形; ?(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; ?(4)分析题意,探索证明思路; ?(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理 清晰地写出证明过程; ?(6)检查表达过程是否正确,完善.
驶向胜利 的彼岸

?与同伴交流你在探索思路的过程 中的具体做法.

回顾与思考 ?
过程吗?

言必有“据”
A 1

? 我们知道三角形三个内角的和等于1800.你还记得这个结论的探索

(1)如图,当时我们是 把∠A移到了∠1的位 置,∠B移到了∠2的位 置.如果不实际移动 ∠A和∠B,那么你还有 B 其它方法可以 达到同 样的效果?

2

3 1 2 C

D

(2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一 结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明 过程吗?与同伴交流. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.

例题欣赏

?

“行家” 看“门道”
E

A ?已知:如图6-9,△ABC. ?求证:∠A+∠B+∠C=1800. ?分析:延长BC到D,过点C作 1 2 3 射线CE∥AB,这样,就相当 B C 于把∠A移到了∠1的位置, 把∠B移到了∠2的位置. ?证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则 ? ∠1=∠A(两直线平行,内错角相等), ? ∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等). ? 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ? ∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换).

D
这里的 CD,CE称为 辅助线,辅 助线通常画 成虚线.

? 你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?.

议一议

一题 多解

?在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑” 到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗? ?请你帮小明把想法化为实际行动. ?证明:过点A作PQ∥BC,则 P A
1 3 2

Q

? ? ? ?

∠1=∠B(两直线平行,内错角相等), B ∠2=∠C(两直线平行,内错角相等), 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换).

C
所作的辅助 线是证明的 一个重要组 成部分,要 在证明时首 先叙述出来.

?小明的想法已经变为现实,由此你受到 什么启发?你有新的证法吗?

试一试

?

“行家” 看“门道”
A
S

?根据下面的图形,写出相应的证明. A Q B R Q C
S

P

N

R

P (1)
Q

B
P
N

M

A R C
(3)

(2)

T

C

M
B ?

T

你还能想出其它证法吗?

三种语言

?

三角形内角和定理

?三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. ?△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800. ?∠A+∠B+∠C=1800的几种变形: ?∠A=1800 –(∠B+∠C). ?∠B=1800 –(∠A+∠C). ?∠C=1800 –(∠A+∠B). ?∠A+∠B=1800-∠C. B 0-∠A. ?∠B+∠C=180 ?∠A+∠C=1800-∠B.
A

C

?这里的结论,以后可以直接运

用.

随堂练习

?
A

我是最 棒的

?1.直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个 内角是多少度?请证明你的结论. A
B A B C B C D E

C

?已知:如图在△ABC中,DE∥BC,∠A=600, ∠C=700. ?求证: ∠ADE=500.. ?结论: 直角三角形的两个锐角互余.以后可以直接 运用.

读一读

?

用运动变化的观点理解 和认识数学

?在△ABC中,如果BC不动,把点A“压”向BC,那么当点A越 来越接近BC时, ∠A就越来越大(越来越接近1800),而∠B和 ∠C,越来越小(越来越接近00).由此你能想到什么?
A A

B

C B C

?如果BC不动,把点A“拉离”BC,那么当A越来越远离BC 时,∠A就越来越小(越来越接近00),而∠B和∠C则越来越大, 它们的和越来越接近1800, 当把点A拉到无穷远时,便有 AB∥AC,∠B和∠C成为同旁内角,它们的和等于1800.由此你 能想到什么?

看一看

用橡皮筋构成△ABC,其中顶点B、C为定点, A为动点,放松橡皮筋后,点A自动收缩于BC上, 请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角 形……其内角会产生怎样的变化呢?
结论: 当点A远离BC时,∠A越来越趋近于0°, 而 AB与AC逐渐趋向平行,这时,∠B、∠C逐渐 接近为互补的同旁内角,即∠B+∠C接近于180°。

请同学们猜一猜: 三角形的内角和可能是多少?

先将纸片三角形一角折向其对边,使 顶点落在对边上,折线与对边平行(图1),然后把另处 两角相向对折,使其顶点与已折角的顶点相嵌合(图2)、 (图3),最后得到(图4)所示的结果。
A

实验1:

B 图1

C B

A 图2

C

BA 图3

C

BAC 图4

实验2:

将纸片三角形顶角剪下,
随意将它们拼凑在一起。

小结

拓展

回味无穷

?掌握几何命题证明的方法,步骤,

格式及注意事项. ?三角形内角和定理. ?结论: 直角三角形的两个锐角互 余. ?探索证明的思路的方法: 由“因
”导“果”,执“果”索“因”.
?与同伴交流,你是如何提高证明

命题能力的.

1、如图,已知△ABC中, ∠B 和∠C的平 分线BE,CF交点O. 1 求证: ∠BOC=90°+ ?A

2

A

F O E

B

C

A

2 、 如图,已知AD是△ABD 和△ACD的公共边.求证: ∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
B
证法一: ∵在△ABD中, ∠1=180°-∠B-∠3,

3 4 1 2

D C

在△ADC中, ∠2=180°-∠C-∠4(三角形内角和定理),
又∵∠BDC=360°-∠1-∠2(周角定义)

∴∠ BDC =360°-( 180°-∠B-∠3 )-( 180°-∠C-∠4 ) = ∠B+∠C+∠3+∠4. (等量代换)
又 ∵ ∠BAC = ∠3+∠4,

∴ ∠ BDC = ∠B+∠C+ ∠BAC (等量代换)

A

2 、 如图,已知AD是△ABD 和△ACD的公共边.求证: ∠BDC=∠BAC+∠B+∠C B
证法二:

1

D
2

连接BC. 在?ABC中,?BAC ? ?ABD ? ?ACD ? ?1 ? ?2 ? 180 0 , 在?BDC中,?BDC

? ?1 ? ?2 ? 180 0 (三角形内角和定理). ? ?1 ? ?2 ? 180 0 ? (?BAC ? ?ABD ? ?ACD), ?1 ? ?2 ? 180 0 ? ?BDC (等式性质). ? ?BDC ? ?BAC ? ?ABD ? ?ACD(等量代换) . 即?BDC ? ?BAC ? ?B ? ?C.

思考题:
如图,已知∠AMN+∠MNF+∠NFC=360°, 求证:AB∥CD(用两种方法证明)
A
M N C F D

B

独立 作业

知识的升华

习题7.6 1,2,3题;
祝你成功!

下课了!

结束寄语

?严格性之于数学家,犹如道德之于人

. ?由“因”导“果”,执“果”索“因 ”.是探索证明思路的基本方法.


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