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九年线与圆的位置关系切线长定理课件新

发布时间:2013-11-19 11:52:44  

在经过圆外 一点的切线 上,这一点 和切点之间 的线段的长 叫做这点到 圆的切线长

A

· O

P

B

切线与切线长的区别与联系:
(1)切线是一条与圆相切的直线;
(2)切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。

若从⊙O外的一点 引两条切线PA,PB,切 点分别是A、B,连结OA、 OB、OP,你能发现什么 结论?并证明你所发现 的结论。 PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴OA⊥PA,OB⊥PB

B


O

P

A 证明:∵PA,PB与⊙O相切,点A,B是切点 即∠OAP=∠OBP=90°
试用文字语言 叙述你所发现 的结论

∵ OA=OB,OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB

切线长定理 从圆外一点引圆的两条 切线,它们的切线长相 等,圆心和这一点的连 线平分两条切线的夹角。 几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B

B


O

P
A

PA = PB
∠OPA=∠OPB

反思:切线长定理为证明线段相等、角相 等提 供了新的方法

我们学过的切线,常有 六个 性质: 五个
1、切线和圆只有一个公共点;
2、切线和圆心的距离等于圆的半径;

3、切线垂直于过切点的半径;
4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点; 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

6、从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

例.PA、PB是⊙O的两条切线, A、B为切点,直线OP交于 ⊙O于点D、E,交AB于C。
(1)写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA,OB ⊥PB,AB ⊥OP (2)写出图中与∠OAC相等的角

A
E

O

C D
B

P

∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC (3)写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP, △AOC≌ △BOC, △ACP≌ △BCP (4)写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB (5)若PA=4、PD=2,求半径OA

o.


o.

三角形外接圆
C

三角形内切圆
C

. o
A B B

. o
A

外切圆圆心:三角形三边 垂直平分线的交点。

内切圆圆心:三角形三个 内角平分线的交点。 内切圆的半径:交点到三 角形任意一边的垂直距离。

外切圆的半径:交点到三 角形任意一个定点的距离。

分析题目已知:如图, △ABC的内切圆⊙O 与BC 、CA、 AB 分别相交于点D 、 E 、 F ,且AB=9厘米,BC =14厘米,CA =13 厘米,求AF、BD、CE的长。
A E

F
B

O D

C

例.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B, 并与圆O的切线分别相交于C、D,? 知 已 PA=7cm, (1)求△PCD的周长. (2) 如果∠P=46°, 求∠COD的度数
A D P E C B ·O

例1 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F,且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm, 求AF、BD、CE的长.

解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切
∴AF=AE,BD=BF,CE=CD
设AF=x(cm), BD=y(cm),CE=z(cm) 则有 x+y=9 y+z=14 x+z=13 x=4 解得 y=5 z=9

∴ AF=4(cm), BD=5(cm),

CE=9(cm).

例.如图,△ABC中

,∠C =90o,它的 内切圆O分别与边AB、BC、CA相切 于点D、E、F,且BD=12,AD=8, 求⊙O的半径r. A
D

F O
B

E

C

1.一个三角形有且只有一个内切圆; 2.一个圆有无数个外切三角形; 3.三角形的内心就是三角形三条内角平

分线的交点;
4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。

分析. 试说明圆的外切四边形的两组 对边的和相等.

选做题:如图,AB是⊙O的直径, AD、DC、BC是切线,点A、E、B 为切点,若BC=9,AD=4,求OE的长.
E C D

E

C

D
A · O

F
B

A

· O

B

三角形的内切圆的有关计算 如图,△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l,求△ABC的面积S. 连结OA、OB、OC、OD、OE、OF, 则OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC.
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC +S△AOC = =
1 1 1 AB· OD+ 2 BC· OE+ 2AC· OF 2 1 l· r 2

A D F O

解:设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F,

·
C

B

E

设△ABC的三边为a、b、c,面积为S, 2S 则△ABC的内切圆的半径 r= a+b+c

如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b, AB=c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求:Rt△ABC的内切圆的半径 r. 解:设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F, 连结OD、OE、OF则OA⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB。 A ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD=AF,BE=BF,CE=CD 设AD= x , BE= y ,CE= r 则有 x+r=b y+r=a x+y=c
D O F

·
B

a+b-c C 解得 r= 2 a+b-c
2

E

设Rt△ABC的直角边为a、b,斜边为c,则Rt△ABC的
内切圆的半径 r=

或r= a+b+c

ab

如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4, ⊙O为 Rt△ABC的内切圆. (1)求Rt△ABC的内切圆的半径 . (2)若移动点O的位置,使⊙O保持与△ABC的边AC、 BC都相切,求⊙O的半径r的取值范围。

解:(1)设Rt△ABC的内切圆与三边相
切于D、E、F,连结OD、OE、OF则 OA⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB。 在Rt△ABC中,BC=3,AC=4, ∴AB=5 ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD=AF,BE=BF,CE=CD

A F D O

·
B

C E 由已知可得四边形ODCE为正方形,∴CD=CE=OD

设AD= x , BE= y ,CE= r x+r=4 则有 y+r=3 解得 r=1 ∴ Rt△ABC的内切圆的 半径为1。 x+y=5

(2)如图所示,设与BC、AC 相切的最大圆与BC、AC的切 点分别为B、D,连结OB、OD, 则四边形BODC为正方形。

A

∴OB=BC=3 ∴半径r的取值范围为0<r≤3

D

O ·

几何问题代数化是 解决几何问题的一 种重要方法。

C

B

基础题:
正方形 1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是______. 2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm, 22cm 则此三角形的周长是_______. 3.⊙O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切⊙O 2cm 于P点,交AB、BC于E、F,则△BEF的周长是_____.

G E

F H

4.小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的 直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把

长20cm 的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方 法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴 墙面量得MA的长,即可求出锅盖的直径,请你利用图乙,说 明她这样做的道理.

同学们要好好学习老师 期盼你们快快进步!


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