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七年级上册数学知识点

发布时间:2013-11-20 08:02:58  

北师大版七年级数学(上)知识点汇总

第一章 丰富的图形世界

¤1. 柱体

??圆柱:底面是圆面,侧面是曲面

?棱体:底面是多边形,侧面是正方形或长方形

¤2. 锥体 ??

圆锥:底面是圆面,侧面是曲面

?棱锥:底面是多边形,侧面都是三角形¤3. 球体:由球面围成的(球面是曲面) ¤4. 几何图形是由点、线、面构成的。

①几何体的表面有平面和曲面; ②面与面相交得到线; ③线与线相交得到点。 ※5. 棱:在棱柱中,任何相邻两个面的交线都叫做棱.。 ※6. 侧棱:相邻两个侧面的交线叫做侧棱..

,所有侧棱长都相等。 ¤7. 棱柱的上、下底面的形状相同,侧面的形状都是长方形。

¤8. 根据底面图形的边数,人们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图

形的形状分别为三边形、四边形、五边形、六边形……

n棱柱有两个底面,n个侧面,共(n+2)个面;3n条棱,n条侧棱;2n个顶点。 ¤9. 长方体和正方体都是四棱柱。

¤10. 圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。 ¤11. 圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成。

※12. 设一个多边形的边数为n(n≥3,且n为整数),从一个顶点出发的对角线有(n-3)条;可以把

n边形成(n-2)个三角形;这个n边形共有

n(n?3)

2

条对角线。 ◎13. 圆上两点之间的部分叫做弧.

,弧是一条曲线。 ◎14. 扇形,由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形。

¤15. 凸多边形和凹多边形都属于多边形。有弧或不封闭图形都不是多边形。

第二章 有理数及其运算

?正整数(如:1,2,3?) ??

整数?

?零(0) ??正整数

??负整数(如:1,2,3?)?正有理数?1 有理数 ??? ???正分数 ? 11 有理数

?0 ??正分数(如: ??分数??

2 , 3,5.3,3.8?)??负整数?负分数(如:?1,?1,?2.3,?4.?负有理数?

?

238?)???负分数2数轴的三要素:原点、正方向、单位长度(三者缺一不可)。 ※任何一个有理数,都可以用数轴上的一个点来表示。(反过来,不能说数轴上所有的点都表示有理数,即:数轴上的点与有理数不是一一对应的)

第5页, ¤数轴上两点表示的数,右边的总比左边的大。正数在原点的右边,负数在原点的左边。

3如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。(0的相反数是0,即:相反数等于它本身的数是0)

※在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的侧,且到原点的距离相等。 4绝对值的定义:(几何意义)一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作|a|。

※(代数意义)正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的数;0的绝对值是0。 绝对值等于它本身的数是非负数(正数和0),绝对值等于它的相反数的数是非正数(负数和0)

?a(a?0)

|a|?

?0(a?0) 或 |a|?a(a?0)???

?a(a?0)

??a(a?0)

※绝对值的性质:

①对任何有理数a,都有|a|≥0(绝对值的非负性) ②若|a|=0,则a=0,反之亦然(0的绝对值是0) ③若|a|=|b|,则a=±b(如果两个数的绝对值相等地,那么这两个数相等或互为相反数) ④对任何有理数a,都有|a|=|-a|(互为相反数的两数绝对值相等)

5比较两个负数的大小,绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下: ①先求出两个数负数的绝对值; ②比较两个绝对值的大小; ③根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断。

6有理数加法法则:①同号两数相加,取相同符号,并把绝对值相加。

②异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。 ③一个数同0相加,仍得这个数。

④互为相反数的两个数相加得0。反之:两数相加得0,则这两数互为相反数。 ※加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。 ¤灵活运用运算律,使用运算简化,通常有下列规律:

①互为相反的两个数,可以先相加; ②符号相同的数,可以先相加;

③分母相同的数,可以先相加; ④几个数相加能得到整数,可以先相加。 7有理数减法法则: 减去一个数,等于加上这个数的相反数。

有理数减法运算时注意两“变”:①改变运算符号;②改变减数的性质符号(变为相反数) 有理数减法运算时注意一个“不变”:被减数与减数的位置不能变换,也就是说,减法没有交换律。 8有理数的加减法混合运算的步骤:

①写成省略加号的和式。在一个算式中,若有减法,应由有理数的减法法则转化为加法,然后再省略加号和括号; ②利用加法法则,加法交换律、结合律简化计算。 9有理数乘法法则: ①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。

②任何数与0相乘,积仍为0。

几个数相乘的符号法则:几个数相乘,积的符号由负因数的个数来决定,当负因数个数为奇数个时,积为负,当负因数个数为偶数个时,积为正。

第6页

几个数相乘,有一个因数为0,积为0。反之:几个数相乘积为0,则至少有一个因数为0。 ※乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。 ¤有理数乘法运算步骤:①先确定积的符号;②求出各因数的绝对值的积。 ¤乘积为1的两个有理数互为倒数。注意: ①零没有倒数

②求分数的倒数,就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。 ③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。

10有理数除法法则: ①两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。

②0除以任何非0的数都得0。0不可作为除数,否则无意义。 ③除以一个数,等于乘以这个数的倒数

????n?个

a????

11有理数的乘方 a ?a?a????a?

※注意:①一个数可以看作是本身的一次方,如5=51;

②当底数是负数或分数时,要先用括号将底数括上,再在右上角写指数。 ※乘方的运算性质:

①正数的任何次幂都是正数;

②负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数; ③任何数的偶数次幂都是非负数;

④1的任何次幂都得1,0的任何次幂都得0;除0外任何数的0次幂都得1 ⑤-1的偶次幂得1;-1的奇次幂得-1;

⑥在运算过程中,首先要确定幂的符号,然后再计算幂的绝对值。

12有理数混合运算法则:①先算乘方,再算乘除,最后算加减。同级运算,按从左到右的顺序计算

②如果有括号,先算括号里面的。

13科学记数法:任何一个数都可以表示成a×10n的形式,其中1≤a<10,n是正整数,这种记数

方法叫做科学记数法。 表示较大数时,10的指数(即.....

n)比原数的整数位数小1

第三章 字母表示数

1代数式的概念:

用运算符号(加、减、乘除、乘方、开方等)把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代.

数式..

。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意:①代数式中除了含有数、字母和运算符号外,还可以有括号;

②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式,但等号和不等号两边的式子一般都是代数式;

2代数式的书写格式:

①代数式中出现乘号,通常省略不写,如vt;

②数字与字母相乘时,数字应写在字母前面,如4a; ③带分数与字母相乘时,应先把带分数化成假分数后与字母相乘,如21?a应写作

733

a; 第7页 ④数字与数字相乘,一般仍用“×”号,即“×”号不省略;

⑤在代数式中出现除法运算时,一般按照分数的写法来写,如4÷(a-4)应写作

4

a?4

;注意:分数线具有“÷”号和括号的双重作用。

⑥在表示和(或)差的代差的代数式后有单位名称的,则必须把代数式括起来,再将单位名称写在式子的后面,如(a2

?b2

)平方米

3单项式、多项式、整式:

表示数字和字母、字母与字母的乘积的代数式叫做单项式,单个的数字和字母也是单项式。 单项式中的数字中的数字因数叫做单项式...的系数...。如3x,4y的系数分别为3,4。 单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数......。如3xy2z4

的次数为7次 注意:①单个字母的系数是1,如a的系数是1;

②只含字母因数的单项式的系数是1或-1,如-ab的系数是-1。a3b的系数是1 ③只含单个数字的单项式的次数是0次。 几个单项式的和叫做多项式。 ※多项式的项: 多项式中包含的每个单项式叫做多项式的项,把不含字母的项叫做常数项。 注意:每一项都应该包含它前面的符号。

多项式的次数:多项式中次数最高项的次数是多项式的次数。 单项式和多项式统称为整式。(分母中不含字母的代数式才是整式) 4同类项:

所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

注意:①判断几个代数式是否是同类项有两个条件:a.所含字母相同;b.相同字母的指数也

相同。这两个条件缺一不可;(两个相同) ②同类项与系数无关,与字母的排列顺序无关;(两个无关) ③几个常数项也是同类项。

5合差同类项:

把代数式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项。 合并同类项法则:把同类项的系数相加做结果作为系数,字母和字母的指数不变。(一变两不变) 注意:①如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后结果为0;

②不是同类项的不能合并,不能合并的项,在每步运算中都要写上; ③只要不再有同类项,就是最后结果,结果还是代数式。

6去括号法则:

括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都不改变符号;括号前面是“-”号,把括号和它前面的“-”号去掉,括号里各项都要改变符号。 ※注意:①去括号时,要连同括号前面的符号一起去掉;

②去括号时,首先要弄清楚括号前是“+”号还是“-”号;

③改变符号时,各项都变号;不改变符号时,各项都不变号。

第8页

第四章 平面图形及位置关系

一. 线段、射线、直线

※2. 直线公理:经过一点有无数条直线。

经过两点有且只有一条直线.(两点确定一条直线)

二.比较线段的长短

※1. 线段公理:两点之间,线段最短;

两点之间的距离.......:.连接两点间线段的长度叫做两点之间的距离.......。.

线段的中点:能够把一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点..

。 ※2. 比较线段长短的两种方法:

①圆规截取比较法(叠合法); ②刻度尺度量比较法.(度量法) ※3. 用刻度尺可以画出线段的中点,线段的和、差、倍、分;

用圆规可以画出线段的和、差、倍. 三.角的度量与表示

※1. 角:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角;这个公共端点叫做角的顶点;这两条射线叫做

角的边.

※2. 角的表示法:角的符号为“∠”

①用三个大写字母表示,顶点的字母必须写在中间。如图1所示∠AOB ②用顶点的大写字母(一个字母)表示,如图2所示∠B ③用一个数字表示,如图3所示∠1

④用小写希腊字母表示,如图4所示∠β

1o=60’ 1’=60” 1 o=3600”

第5页,

3角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。

..

。如图6所示:

图6 ※终边继续旋转,当它又和始边重合时,所成的角叫做周角..

。如图

7所示: 4从角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.....。 (能把一个角分成两个相等角的射线叫做这个角的角平分线。) 四、位置关系:

1、点和直线的位置关系:①点在直线外

②点在直线上。 2、平面内两直线的位置关系:①平行 ②相交。 五、平行与相交

1平行:平面内不相交的两条直线互相平行。平行用“∥”表示,如a∥b,AB∥CD ※经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。

※如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行。(平行的传递性)

2垂直:两条直线相交,如果有一个角是90o

,那么这两条直线互相垂直。垂直用“⊥”表示 ※互相垂直的两条直线的交点叫做垂足..。 ※平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 ※点到直线的距离.......

:从直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。 第五章 一元一次方程 1、在一个方程中,只含有一个未知数x(元),并且未知项的次数是1(次),这样的方程叫做一.元一次方程.....

。 2、等式的基本性质:

※等式两边同时加上(或减去)同一个代数式,所得结果仍是等式。 ※等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式。

3、解方程的步骤:解一元一次方程,一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数

的系数化为1等几个步骤,把一个一元一次方程“转化”成x=m的形式。

4、列方程解应用题的常用公式:

知能点1:市场经济、打折销售问题

(1)商品利润=商品售价-商品成本价 (2)商品利润率=

商品利润

商品成本价

×100%

(3)商品销售额=销售价×销售量 (4)商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量 (5)商品打几折出售,就是按原价的百分之几十出售,如商品打8折,即按原价的80%出售.知能点2:方案选择问题

知能点3:储蓄、储蓄利息问题

第6页

(1)顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,

存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税

(2)利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息 利息税=利息×税率(20%) (3)利润?

每个期数内的利息

本金

?100%,

知能点4:工程问题

工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间

工作时间=工作量÷工作效率 完成某项任务的各工作量的和=总工作量=单位1 知能点5:若干应用问题等量关系的规律

(1)和、差、倍、分问题 此类题既可有示运算关系,又可表示相等关系,要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义,如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等,它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。

增长量=原有量×增长率 现在量=原有量+增长量

(2)等积变形问题:常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但体积不变. 周长、面积、体积公式:C圆=2πR,S圆=πR2,C长方形=2(a+b),S长方形=ab, C正方形=4a, S正方形=a2,S环形=π(R2-r2),V长方体=abc ,V正方体=a3,V圆柱=πR2h ,V圆锥= πR2h. 知能点6:行程问题

基本量之间的关系: 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 (1)相遇问题 快行距+慢行距=原距 (2)追及问题 快行距-慢行距=原距

(3)航行问题 顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度 逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度

抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系. 知能点7:数字问题

(1)要搞清楚数的表示方法:一个三位数的百位数字为a,十位数字是b,个位数字为c则这个三位数为:100a+10b+c。然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程.

(2)数字问题中一些表示:两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2或2n—2表示;奇数用2n+1或2n—1表示。

第六章 生活中的数据

※科学记数法:一般地,一个大于10的数可以表示成a×10n的形式,其中1≤a<10,n是正整数,这种记数方法叫做科学记数法.....。 ※统计图的特点:

折线统计图:能够清晰地反映同一事物在不同时期的变化情况。

条形统计图:能够清晰地反映每个项目的具体数目及之间的大小关系。

扇形统计图:能够清晰地表示各部分在总体中所占的百分比及各部分之间的大小关系 统计图对统计的作用:

(1)可以清晰有效地表达数据。 (2)可以对数据进行分析。 (3)可以获得许多的信息。

(4)可以帮助人们作出合理的决策。

尺规作图

题目一:作一条线段等于已知线段。 已知:如图,线段a .

第7页 求作:线段AB,使AB = a . 作法:① 作射线AP;

② 在射线AP上截取AB=a . 则线段AB就是所求作的图形。

题目二:作已知线段的中点(或线段的垂直平分线)。 已知:如图,线段MN.

求作:点O,使MO=NO(即O是MN的中点). 作法:

① 分别以M、N为圆心,大于

1

2

MN的长 为半径画弧,两弧相交于P,Q; ② 连接PQ交MN于O.

则点O就是所求作的MN的中点。 (试问:PQ与MN有何关系?) 题目三:作已知角的角平分线。 已知:如图,∠AOB,

求作:射线OP, 使∠AOP=∠BOP(即OP平分∠AOB)。 作法:

① 以O为圆心,任意长度为半径画弧, 分别交OA,OB于M,N; ② 分别以M、N为圆心,大于

1

2

MN 的长为半径画弧,两弧交∠AOB内于P; 作射线OP。

则射线OP就是∠AOB的角平分线。 题目四:作一个角等于已知角。 已知:如图∠MON,

N’

求作:∠M’O’N’,使∠M’O’N’=∠MON (1)作射线O’M’;

(2)在图(1)上,以O为圆心,任意长为半 径作弧,交OM于点A,交ON于点B; (3)以O’为圆心,OA的长为半径画 O’

M’

弧,交O’M’于点C;

(4)以C为圆心,以AB的长为半径画弧,交前弧于点D; (5)过点D作射线O’N’. 则∠M’O’N’就是所要求作的角.

第8页

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