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12、13北京中考25详解

发布时间:2013-11-20 12:45:35  

(2012北京25)在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点P“非常距离”,1(x1,y1)与P2(x2,y2)的给出如下定义:

若|x1?x2|≥|y1?y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1?x2|; 若|x1?x2|?|y1?y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|y1?y2|.

例如:点P点P2(3,5),因为|1?3|?|2?5|,所以点P1与点P2的“非常距离”为|2?5|?3,2),1(1,

也就是图1中线段PQ与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线PQ与垂直于x轴的11直线P2Q的交点)。

1

(1)已知点A(?,0),B为y轴上的一个动点,

2

①若点A与点B的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标; ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值; (2)已知C是直线y?

3

x?3上的一个动点, 4

①如图2,点D的坐标是(0,1),求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C

的坐标;

②如图3,E是以原点O为圆心,1为半径的圆上的一个动点,求点C与点E的“非常距

离”

的最小值及相应的点E和点C的坐标。

?0,?2?或?0,2?

【答案】⑴ ①1② 2

⑵ ①过点C作x轴的垂线,过点D作y轴的垂线,两条垂线交于点M,连接CD.如图(1),当点C在点D的左上方且使△CMD是等腰直角三角形时,点C与点D的“非常距离”最小.理由如下:

3??

设C坐标?x0x0?3?

4??

3y?x?3

4

当点C的横坐标大于x0时,线段CM的长度变大,由于点C与点D的“非常距离”是线段CM与线段MD长度的较大值,所以点C与点D的“非常距离”变大;当点C的横坐标小于x0时,线段MD的长度变大.所以当点C的横坐标等于x0时,点C与点D的“非常距离”最小. ∵CM?3x0?3?1,MD??x0,CM?MD 4

838?815?此时x0??∴距离为此时C???. x0?27 47 ?77? ②如图(2),对于?O上的每一个给定的点E,过点E作y轴的垂线,过点C作x轴的垂线,两条垂线交于点N,连接CE,由①可知,当点C运动到点E的左上方且使△CNE是等腰直角三角形时,点C 与点E的“非常距离”.当点E在?O上运动时,求这些最小“非常距离”中的最小值,只需使∴当?x0?CE的长度最小。因此,将直线y?3x?3沿图中所示由点C到点E的方向平移到第一次与?O有公4

3x?3与x轴、y轴分别交于点H、G. 4共点,即与?O在第二象限内相切的位置时,切点即为所有点E. 作EP⊥x轴于点P.设直线y?

可求得HO=4,GO=3,GH=5.

可证△OEP∽△GHO, OPEPOE ??GOHOGH

OPEP1∴?? 345

34∴OP?,EP? 55

34∴点E的坐标是(?,) 55

3设点C的坐标是(xc,xc?3) 4

343∵CN?xc?3?,NE???xc 455

343∴xc?3????xc 455

8解得xc?? 5

89∴点C的坐标是(?,) 55∴

∴CN=NE=1

∴当点C的坐标是(?,)

,点E的坐标是(?,)时,点C与点E的“非常距离”最小,最小值是1 8934

图(2)

(2013北京中考25)对于平面直角坐标系xOy中的点P和?C,给出如下定义:若?C上存在两个

?11?点A,B,使得?APB?60?,则称P为?C的关联点.已知点D?,?,E(0,?

2),F.

?22?

(1)当?O的半径为1时:

①在点D、E、F中,?O的关联点是 ;

②过点F作直线l交y轴正半轴于点G,使?GFO?30?,若直线l上的点P(m,n)是?O的关联点,求m的取值范围;

(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径r的取值范围.

【答案】(1) ① D、E ;

② 由题意可知,若 P 点要刚好是圆 C 的关联点; 需要点 P 到圆 C 的两条切线 PA 和 PB 之间所夹的角度为 60? ; 由图1 可知 ?APB ? 60? ,则 ?CPB ? 30? ,

BC

连接,则 PC ?? 2BC ? 2r ;

∴若 P 点为圆 C 的关联点;则需点 P 到圆心的距离 d 满足 0 ? d ? 2r ;

由上述证明可知,考虑临界位置的 P 点,如图 2; P

点 P 到原点的距离 OP ? 2?1? 2 ; 过 O 作 x 轴的垂线 OH ,垂足为 H ;

OF 2 3

t an?OGF ? ? 3 ;

OG 2

∴ ?OGF ? 60? ;

C

B

∴ OH ? OG?sin 60? ? ;

图1

OH 3 ∴ sin ?OPH ? ;

OP 2

∴ ?OPH ? 60? ;

易得点 P1 与点 G 重合,过 P2 作 P2 M ? x 点 M ; 易得 ?P2 OM ? 30? ; ∴ OM ? OP2 ?cos30? ? ;

2

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