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二次函数与一元二次方程

发布时间:2013-11-20 12:45:37  

二次函数与一元 二次方程

观察二次函数 y ? x ? 2 x ? 3 的图象: 你能确定一元二次方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0的根吗?
2

y
4

3 2
N

1
M

-3 -2 -1 0

1 2 -1 -2
-3

3 x

观察下列图象,分别说出一元二次方程

x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情况.
y ? x2 ? 6x ? 9 y 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3
y ? x2 ? 2 x ? 3

y 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3

根据一元二次方程 x2 ? 4 ? 0 的根的情况, 判断二次函数 y ? x ? 4 图象与x轴交点 坐标是什么?
2

N

y 4 3 2 1

M

-3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3

根据一元二次方程 ? x2 ? 4 x ? 6 ? 0 的根的情况,

判断二次函数 y ? ? x ? 4 x ? 6图象与x轴的 位置关系。
2

y 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3

研 讨 探 究
问题:一元二次方程的根与图象和x轴交 点坐标有什么关系 ?

方程x2-2x-3=0中△>0,方程有两个实根,二次函 数y=x2-2x-3与x轴有两个交点(函数图象与x轴相交) 方程x2-2x+1=0中△=0,方程有两个等根,二次函 数y=x2-2x+1与x轴有一个交点(函数图象与x轴相切) 方程x2-2x+3=0中△<0,方程有两个实根,二次函 数y=x2-2x+3与x轴有没有交点(函数图象与x轴相离)

能推广到一般的一元二次方程和二次函数吗?

联 想 发 散
当a>0时,方程ax2+bx+c=0的根 与函数y=ax2+bx+c的图象之间的关系
△=b2-4ac ax2+bx+c=0 (a>0)
x1,2

△>0

△=0
b

△<0 方程无实数根
y x o x

?b ? b 2 ? 4ac x1 ? x2 ? ? ? 2a 2a
y y

y=ax2+bx+c (a>0)

.

o

.

x

o

随堂练习

1、方程 x ? 4 x ? 5 ? 0 的根是 -5,1 ; 2 则函数 y ? x ? 4 x ? 5 的图象与x轴的交点 有 2 个,其坐标是 (-5,0)、(1,0) . 2、方程 ? x 2 ? 10 x ? 25 ? 0 的根是 x1 ? x2 ? 5 ; y ? ? x 2 ? 10 x ? 25 的图象与x轴的交点 则函数 有 1 个,其坐标是 (5,0) . 3、下列函数的图象中,与x轴没有公共 点的是( D ) 2 2 ( B) y ? x ? x ( A) y ? x ? 2
2

( D) y ? x 2 ? x ? 2 (C ) y ? ? x ? 6 x ? 9
2

4、已知二次函数y=x2-4x+k+2与x轴有公 共点,求k的取值范围.

?

例1. 已知二次函数 y ? x ? kx ? k - 2 (1)判别上述抛物线与X轴交点情况
2

(2)设抛物线与X轴交点之间距离 为 2 5 ,求k的值

例2:已知二次函数 y ? kx ? 6x ? 7 的图 像与X轴有两个不同的交点 (1) 求k的取值范围 (2) 当k为何值时,这两个交点横坐标 的平方和等于50.(x12+x22=50)
2

例3 设二次函数 y ? ?x ? (m ? 2) x ? 3(m ? 1) 的图像与X轴交于A,B两点,与y轴交于 C点,线段OA与OB的长的积等于6 (O是坐标原点) 求:m的值
2

练习1.已知抛物线Y=X2—(m—3)X+m

(1)求证:无论M取何值时,抛物线都与X 轴有两个交点。
(2)M为何值时,抛物线都与X轴有两个交 点间的距离等

于3。

练习2:如图,抛物线 y ? ax ? bx ? c 和X轴的正半轴相交于A,B两点,和y轴 相交于点C ∠ABC= ∠ACO 求证:a与c互为倒数
2
y

A o C

B x


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