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二次函数的性质

发布时间:2013-11-20 12:45:39  

二次函数的性质

复习与回顾

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
y ? ax 2 ? bx ? c c? ? 2 b ? a? x ? x ? ? a a? ? 2 2 ?? 2 b ? b ? ? b ? c ?? ? a ?? x ? 2 ? x ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2a ? 2a ? ? 2a ? a ? ? ?? ?? ? 2 2 b ? 4ac ? b ? ? a? x ? ? ? 2a ? 4a ?

将二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)配成y=a(x+h)2+k

复习与回顾
抛 物 线
顶点坐标

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
y=ax2+bx+c(a>0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ? b x?? 2a

y=ax2+bx+c(a<0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ? b x?? 2a

对 称 轴
开口方向

向上

向下

增 减 性 最

? b ? ? ? b 在 ? ??, ? ? 上减少;在 ? ? , ?? ? 上增加 在 ? ??, ? b ? 上增加;在 ? ? b , ?? ? 上减少 ? ? ? 2a 2a ? ? 2a 2a ? ? ? ? ? ? ?

b 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, 最大值为 值 当x ? ? 时, 最小值为 2a 4a 2a 4a

b ? 4ac ? b ? y ? a? x ? ? ? 2a ? 4a ?
2

2

二次函数的性质可以通过下图直观表示出来 y y

? b 4ac ? b ? A? ? , ? 2a 4a ? ?

x
? b 4ac ? b ? A? ? , ? 4a ? ? 2a

x

函数单调性证明 ,首先对a>0时函数的单调性证明 b 证明 设a ? 0, 任取x1 , x2 , 且x1 ? x1 ? ? 2a , 则
2 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? (ax2 ? bx2 ? c) ? (ax12 ? bx1 ? c)

2 ? a( x2 ? x12 ) ? b( x2 ? x1 )

? [a( x2 ? x1 ) ? b]( x2 ? x1 )

因为x1 ? ?

a( x1 ? x2 ) ? ?b,
f ( x2 ) ? f ( x1 ).

b b b , x2 ? ? , 所以x1 ? x2 ? ? , 2a 2a a

又x2 ? x1 ? 0, 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0,
b ? ? 由函数单调性的定义,f ( x)在 ? ??, ? ? 上是减少的. 2a ? ? ? b ? 同理可证,f ( x)在 ? ? ? 上是增加的. ? 2a ?

a( x1 ? x2 ) ? b ? 0,

f ( x) ? ax ? bx ? c
2

配 方

b ? 4ac ? b ? f ( x) ? a ? x ? ? ? 2a ? 4a ?
2

2

开口方向,顶点坐标,对称轴,单调性, 最大值或最少值及图像

堂上练习

把下列二次函数配方
(1) f ( x) ? 3 ? 5 x ? 2 x 2 ; 2 5 ? 49 25 ? 25 ? ? 2 5 ? ?2 ? x ? x ? ? ? ? 3 ? ?2 ? x ? ? ? 4? 8 2 16 ? 8 ? ? 3 2 (2) f ( x) ? x ? 2 x; 4 2 3? 2 8 16 ? 4 3? 4? 4 ? ?x ? x? ?? ? ?x? ? ? 4? 3 9? 3 4? 3? 3 (3) f ( x) ? 3 x 2 ? 6 x ? 1.
? 3 ? x ? 2 x ? 1 ? 1? ? 1 ? 3 ? x ? 1? ? 4
2

2

例2 将函数y=-3x2-6x+1配方,确定其对称轴,顶点坐标, 求出它的单调区间及最大值或最小值,并画出它的图像. 解 y=-3x2-6x+1 =-3(x+1)2+4. 开口方向: 向下 顶点坐标: (-1,4) 对称轴为: x+1=0(或x=-1) 单调区间: 在区间(-∞,-1]上增加, 在区间[-1,+∞)上减少 最大值是: 4

画图
采用描点法 顶点A(-1,4)
?

2 3 ? ? 2 3 ? 与x轴交点B ? ? 3 , 0 ? 和C ? ? 3 , 0 ? ? ? ? ? ? ? ?
3

y

(-1,4)A

4

与y轴的交点D(0,1) 再取点E(-2,1) 在配方后选取函 数的关键点,使 画图的操作更简 便,图像更精确

2

E C -2
-1

1

D B
1 x

-1

例3 绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一各饮料.根据以前的 统计数据,若零售价定为每瓶4元,每月可销售400瓶;若每瓶售价 每降低0.05元,则可多销售40瓶.在每月的进货量当月销售完的 前提下,请你给该商店设计一个方案:销售价应定为多少元和从 工厂购进多少瓶时,才可获得最大利润? 解 设销售价为x元/瓶,则根据题意(销售量等于进货量),正好 4? x ? 40 ? 400 即400(9 ? 2 x)瓶. 当月销售完的进货量为
0.05

此时所得到的利润为

f ( x) ? 400(9 ? 2 x)( x ? 3) ? 400(?2 x 2 ? 15 x ? 27)(元)
根据函数性质, 当x ? 这时进货量为
15 时 f(x)最得最大值450 4
15 ) ? 600(瓶). 4

400(9 ? 2 x) ? 400(9 ? 2 ?

获得最大利润450元.

练习
1.将下列函数配方: (1)f(x)=x2-2x+3;? ( x2 ? 2 x ? 1) ? 2 ? ( x ? 1)2 ? 2 2+6x-1;? 3( x 2 ? 2 x ? 1) ? 3 ? 1 ? 3( x ? 1)2 ? 4 (2)f(x)=3x 2+3x-2. ?2 ? x 2 ? 3 x ? 9 ? ? 9 ? 2 ? ?2 ? x ? 3 ? ? ? (3)f(x)=-2x ? ? ?
? 2 16 ? 8
?

7 ? 4? 8

2

2.从1990年到1997年,某地区每人每年吃的蔬菜平均数 量(㎏)可以用函数c(t)=2.7t+165表示,在此期间,人口函 数可以用p(t)=2.6t+248表示,其中t代表年数.那么,每年 该地吃掉的蔬菜总量就是上述两个式子的乘积,即 v(t)=7.02t2+1098.6t+40920.试求1995年该地消耗的 蔬菜总量. 47764.32㎏

练习
3.指出下列函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴, 以及函数的单调性: (1)y=2x2+1; (2)y=2(x+1)2;

(3)y=6x2-5x-2;

(4)y=-(x+1)(x-2).

4.汽车使用单位容积燃料行驶的千米数是行车速度的 函数.由实验可知这个函数是f(x)=-0.01x2+1.2x-5.8.求 f(50),并说明它的意义;当速度为多少时,汽车最省油?

其意义是速度为50km/h时,单位容积燃料行驶29.2km
速度为60km/h时,汽车最省油

小结

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c

配 方
b ? 4ac ? b 2 ? f ( x) ? a ? x ? ? ? 2a ? 4a ?
2

选取关 键 点

画图

开口方向,顶点坐标,对称轴,单 调性,最大值或最少值

解决生活中 的最值问题

作业
课本第53页习题2- 4 A组5,7,9


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