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24.1.4《圆周角》(2)ppt

发布时间:2013-11-21 08:04:10  

24.1.4

圆周角(2)

? 回顾:圆周角定理及推论? ? 思考:判断正误: 1.同弧或等弧所对的圆周角相等( √ ) 2.相等的圆周角所对的弧相等( × ) 3.90°角所对的弦是直径( √ ) 4.直径所对的角等于90°( × ) 5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°(√ )

定理与推论
定 理

在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周 角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
推 论
C2 C1 C3

半圆(或直径)所对的圆周 角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径. 在同圆或等圆中,相等的圆周 角所对的弧相等

A

O

·

B

A

1、 若弧BC的度数为1000, 则 100° 50° ∠BOC=_____ ,∠A=_____ 2、如图(2)四边形ABCD中, ∠B与∠1互补,AD的延 长线与DC所夹∠2=600 , 120° 60° B 则∠1=_____,∠B=_____.

O A B D 1 2 C E C

3. 判断:圆上任意两点之间分圆周为两条弧, 这两条弧的度数和为3600( √ )

新课讲解:
若一个多边形各顶点都在同一 个圆上,那么,这个多边形叫做圆 内接多边形,这个圆叫做这个多边 形的外接圆。
D E C B
O

B

C

A
A F

O

D E

如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边 形;⊙O为四边形ABCD的外接圆。
D A
O

B

C

如图:圆内接四边形ABCD中,
∵ BAD+BCD=360°
∴∠A+∠ C= 180° A A
D

D

同理∠B+∠D=180°
B

O

O

B

C

C

圆的内接四边形的对角互补。

如果延长BC到E,那么 ∠DCE+∠BCD = 180° 又 ∠A +∠BCD= 180°

所以∠A=∠DCE
A
O

D

B

C

E

定理:圆的内接四边形的对角互补,并且 任何一个外角都等于它的内对角。

∠D+∠B=180°

∠A+∠C=180°
A O B C F D

对角

E

∠EAB=∠BCD

∠FCB=∠BAD

内对角

外角

因为∠A是与∠2相邻的内角 ∠1的对角,我们把∠A叫做 ∠DCE的内对角。 D 圆内接四边形的一 个外角等于它的内 对角。
A
O
1 2

B

C

E

定理:圆的内接四边形的对角互补,并 且任何一个外角都等于它的内对角。

几何表达式: ∵ ABCD是⊙O的内接四边形, D ∴ ∠A+∠C=180° A 且∠B=∠1 1

E

B

C

(1)四边形ABCD内接于⊙O,则 180° ∠A+∠C=______ ∠B+∠ADC=_______;若 180° 80° ∠B=80°,则∠ADC=____ ∠CDE=______ 100°
A
80

A
D E
1000

D
C

B

C

O

B

(2)四边形ABCD内接于⊙O,∠AOC=100° 则∠B=______∠D=______ 50° 130° (3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则 45° ∠A=_____,

补充练习:
若ABCD为圆内接四边形,则下列哪 个选项可能成立( B )
(A)∠A∶∠B∶∠C∶∠D = 1∶2∶3∶4 (B)∠A∶∠B∶∠C∶∠D = 2∶1∶3∶4

(C)∠A∶∠B∶∠C∶∠D = 3∶2∶1∶4
(D)∠A∶∠B∶∠C∶∠D = 4∶3∶2∶1

(4)梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,
75° ∠B=750,则∠C=_____
A D O B C

圆的内接梯形一定是_____梯形。
返回

1、如图,四边形ABCD内接于⊙O,如果

∠BOD=130°,则∠BCD的度数是( ) A A、115° B、130° O D B C、65° D、50° C 2、 如图,等边三角形ABC内 A
接于⊙O,P是AB上的 一点,则∠APB= 。

P
B C

3、圆内接梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=75°, 则∠C= ° 4、已知四边形ABCD内接于⊙O,且 ∠A:∠B:∠C =2:3:4,求∠D的度数. 5、圆的内接四边形ABCD中,AC垂 直平分BD,∠BAC=40 °, 则∠BCD= ° 6、四边形ABCD内接于⊙O,BA、CD的 延长线交于P,AD=2cm,BC=3cm,PA =4cm,求PC的长.

例 如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点, 经过点A的直线CD与⊙O1 交于点C,与 ⊙O2 交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1 交于点E,与⊙O2 交于点F。 求证:CE∥DF
D A 1

C
E

O1 B

O 2

F

连结AB ABEC是⊙O1 ABFD是⊙O2 的内接四边形 的内接四边形 ∠E+∠1=180°、∠1=∠F ∠E+∠F=180°
C
A 1 D

CE∥DF

O 1
E B

O 2

F

证明两条直线平行的方法很多,但常用的还是 通过证明同位角相等、内错角相等、同旁内角 互补等方法。刚才我们通过同旁内角互补证明 了CE ∥ DF,想一想还能否通过同位角相等或 者内错角相等证明结果?

1)延长EF,是否有 ∠E=∠BAD= ∠1 ? 2) 延长DF, 能否证明 3) ∠E=∠2=∠3?

D A C O1 E B
A C O1 E B
2

O2 F
D

1 M

O2 3 F

巩固练习:
1、如图,四边形ABCD为⊙O 的内接 四边形,已知∠BOD=100°,求 ∠BAD及∠BCD的度数。 A
O

B

D

C

已知:如图,四边形ABCD是 圆的内接四边形并且ABCD是 平行四边形。 求证:四边形ABCD 是矩形。 A
O

B

D

C

例题
例 如图,⊙O直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平 分线交⊙O于D,求BC、AD、BD的长. 解:∵AB是直径, C ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°.
在Rt△ABC中,

BC ? AB ? AC ? 10 ? 6 ? 8 A ∵CD平分∠ACB,
2 2 2 2

O

B

??ACD ? ?BCD.
∴AD=BD. 又在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,

D

2 2 ? AD ? BD ? AB ? ? 10 ? 5 2(cm) 2 2

课本

练 习

3.求证:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个 三角形是直角三角形.(提示:作出以这条边为直径的圆.) 1 已知:△ABC 中,CO为AB边上的中线, 且CO= AB 2 求证: △ABC 为直角三角形.
C

证明: 以AB为直径作⊙O, ∵AO=BO, CO= 1 AB,
2
A · O B

∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, ∴∠ACB=
1 ×180°= 90°. 2

∴ △ABC 为直角三角形.

练 习
如图,你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗?你有多少 种方法?与同学交流一下.
方法三

方法一 A C O 方法二

O

B
方法四

D
· B

A
O

拓展练习
如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上 的点。(1)求证∠P< ∠AQB (2)如果点P在⊙O内, ∠P与∠AQB有 A 怎样的关系?为什么?
Q O B p


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