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实践与探索(定)1

发布时间:2013-11-21 09:34:07  

27.3

实践与探索(1)

魏义华

二次函数解析式的几种表达式
y ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 1、一般式:
y ? a( x ? h) 2 ? k (a ? 0) 2、顶点式:

3、交点式: y ? a( x ? x1 )( x ? x2 )

(a ? 0)

其中,抛物线与x轴的两个交点坐标为 ( x1 ,0) ( x2 ,0)

用数学的眼睛观察世界

1、如图所示是一学生推铅球时,铅 球行进高度y(m)与水平距离x(m)的函数 1 2 2 5 。 关系式 y ? ? x ? x ?
12 3 3

问:此学生把铅球推出多远?。
y

分析:此题实际上求抛物线与x轴的交点 ∵y ? 0 ∴
? 1 2 2 5 x ? x? ?0 12 3 3

x 2 ? 8x ? 20 ? 0
o x

( x ? 10)( x ? 2) ? 0
x1 ? 10
x 2 ? ?2
(舍去)

∴此同学把铅球推出了10米

2、一个涵洞截面成抛物线形,如图26.3.2.现测得, 当水面宽AB=1.6 m时,涵洞顶点与水面的距离为OC=2.4 m. 这时,离开水面1.5 m处,涵洞宽ED是多少?是否会超过1 m?
解:如图建立平面直角坐标系,

y ? ax 2 设涵洞所成的抛物线的解析式为:
由图象知,点B(0.8,-2.4)在抛物线上, ∴ 0.82a= - 2.4, 解得: a ? ? a=
15 4

y ∴ 抛物线的解析式为: ? ?

6 6 , x2 ? ? 答:离开水面1.5 m处,涵洞宽ED约是0.98m, 5 5 不会超过1 m 6 6 ?点D( ,?0.9), 点E (? ,?0.9) 5 5 解得:x1 ?

当y=-(2.4-1.5)=-0.9时, (0.8,-2.4) 图 26.3.2 15 2 2 6 - 0.9 ? ? x ∴DE= ≈0.98(m)<1 m 4 5

15 2 x 4 (-0.8,-2.4)

学生思考:
上题,还可以有其它方式建立平面直角坐标系 吗?
y y

y

o A y B

x

A

O

B

x

O (A)

B x

A

(B) O

x

这样,我们在设函数关系 式时,将会随之改变。

3、如图,一名运动员在距离篮下4米处跳起投篮,篮球运行的路线 是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最高度3.5米,然后准确落入 篮筐.已知篮筐中心到地面距离为3.05米. (1)求篮球运行路线的抛物线的函数关系式。 (2)如果他的身高为1.9米,在这次跳投中,球在头顶上方0.15米处出手,问 求出手时,他跳离地面的高度是多少? y
解:(1)建立如图所示的直角坐标系,则, 顶点A(0, 3.5),B(1.5,3.05) y=ax2 +3.5 设所求的抛物线为: ∵ 抛物线经过点B(1.5,3.05), ∴ 3.05=1.52a+3.5
(0,3.5) (1.5,3.05)

(-2.5,?)c

a=–0.2
∴抛物线的解析式为:y=–0.2x2 +3.5 (2)当x=–2.5时,

y=

-0.2×(-2.5)2+3.5

x

=2.25 ∴他跳离地面的高度为: 2.25-1.9-0.15= 0.2m

1、如图,拱桥是抛物线形,其函数解析式为
1 2 x ,当水位线在AB位置时,水面宽 4 为12m,这时水面离桥顶的高度h是 ( D ) y ? ?

A.3m

B.2

6

m

C.4

3

m

D.9m

1、如图,拱桥是抛物线形,其函数解析式为
1 2 x ,当水位线在AB位置时,水面宽 4 为12m,这时水面离桥顶的高度h是 ( D ) y ? ?

A.3m

B.2

6

m

C.4

3

m

D.9m

2、某幢

建筑物,从10米高的窗口A用水管向外喷 水,喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂 直),如图所示,如果抛物线的最高点M离墙l米,离 地 面 40 米 , 则 水 流 落 地 点 B 离 墙 的 距 离 OB 是 3 ( B) A.2米 B.3米 C.4米
y
(0,10)

D.5米
40 (, ) 1 3

x

你知道吗?平时我们在跳大绳时,绳甩到 咱来试一试 最高处的形状可近似的看为抛物线,如图所示,正 在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米,距地面均为1米, 学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米处,绳 子甩到最高处时,刚好通过他们的头顶,已知学生丙的身高是 1.5米,请你算一算学生丁的身高。
y 丙
(1,1.5)
(0,1) (4,1)



1m

甲 o 1m

2.5m 4m



x

3.某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直 于水面竖一根柱子OA,柱高为1.25 m.水流在各个方向上沿形 状相同的抛物线路径落下,要求设计成水流在离OA距离为1 m处达到距水面最大高度2.25m。如图(1)所示. 请回答下列问题: (1)如果不计其他因素,那么水池的半径至少为多少时才能 使喷出的水流都落在水池内? (2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池半径为 3.5m,只要使水流不落到池外,此时水流的最大高度约 为多少米?(精确到0.1m)
2.25 (0,1.25)

c(1,2.25)

1

解:(1)以O为原点,OA为y轴建立 平面直角坐标系,则 A(0,1.25),C(1,2.25) 2 y 设抛物线的解析式为: ? a( x ? 1) ? 2.25 将A(0,1.25)代入上式得:

2.25 (0,1.25)

c(1,2.25)

a ? 2.25 ? 1.25 解之得: a ? ?1 2 ∴抛物线的解析式为: y ? ?( x ? 1) ? 2.25
当y=0时, ? ( x ? 1) ∴ ∴
2

1

? 2.25 ? 0

( x ? 1) 2 ? 2.25 (舍去) x1 ? 2.5 x2 ? ?0.5

答:至少2.5m

(0,1.25)

(2) ∵抛物线的形状与(1)相同,

y ∴设抛物线的解析式为: ? ?( x ? h)

2

?k

(3.5,0)

∵抛物线过A(0,1.25),B(3.5,0) ∴代入解析式得: ? h 2 ? k ? 1.25

? (3.5 ? h) 2 ? k ? 0

? ? k ? 3 .7 2 y ∴抛物线的解析式为: ? ?( x ? 1.6) ? 3.7

解之得: ?h

? 1 .6

? y最大 ? 3.7
∴水流最大高度可达3.7m。

谈谈这节课,你的收获:
用二次函数解析式解决实际问题时,关 键是要把实际问题中的抛物线放在平面 直角坐标系中,解设适当的二次函数解 析式来求解。这就是数学中的建模问题。 对于我们来说就是要选择合适的直角坐 标系建立数学模型。

《二次函数讲义》:P25. 当堂课内练习

P27. 第1,2题


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