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正多边形和圆课件

发布时间:2013-11-21 10:37:44  

图片欣赏

正多边形和圆
E

A

D

B

C

三条边相等,三个角 四条边都相等,四个角 也相等(60度)。 也相等(90度)。

正多边形:各边相等,各角也相等的多 边形叫做正多边形。

正n边形:如果一个正多边形有n条边, 那么这个正多边形叫做正n边形。
思考:各边相等的多边形是正多边形吗? 为什么?各角相等的多边形呢?

问题1,什么样的图形是正多边形?

各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.

练习
1. 矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为 什么?

解答:
矩形不是正多边形,因为四条边不都相等;
菱形不是正多边形,因为菱形的四个角不都相等; 正方形是正多边形.因为四条边都相等,四个角都相等.

新课讲解 正多边形与圆有何关系? 思考:将⊙O分成相等的5段弧,把这些等分点 顺次连接起来,得到的是什么图形?为什么? A B E

C

D

我们以圆内接正五边形为例证明. 如图,把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各 分点得到正五边形ABCDE.
? ? ? ? ? ? AB ? BC ? CD ? DE ? EA , ∴ AB=BC=CD=DE=EA,(等弧对等弦) B
? BCE ? ? CDA ? 3? . AB
O A

E

∴ ∠A=∠B. (等弧对等角) 同理∠B=∠C=∠D=∠E. C D 又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上, ∴ 五边形ABCD是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边 形ABCD的外接圆.

·

你知道正多边形与圆的关系吗?

正多边形和圆的关系非常密切,只要 把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这 个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多 边形的外接圆.

解答:各边相等的圆内接多边形是正多边形. 多边形A1A2A3A4…An是⊙O的内接多边形,

练习:各边相等的圆内接多边形是正多边形? 各角都相等的圆内接多边形呢?如果是,说明 A6 为什么;如果不是,举出反例. A
A7 An A1 · O



A4 A3

且A1A2=A2A3=A3A4=…=An-1An,

? ?1 A2 ? ?2 A3 ? ?3 A4 ? ? ? ??1 An ? ?n A1. A A A An A

A2

??A1 ? ?A2 ? ?A3 ? ? ? ?An .
∴ 多边形A1A2A3A4…An是正多边形.

?A A ? ?A A ? ?A A ? ? ? ? A . ? A2 3 n A3 4 1 A4 5 2 A1 A2 n?1
先说A1

A

D

B
弦相等(多边形的边相等)

C

弧相等
圆周角相等(多边形的角相等)

多边形是 正多边形

我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做 这个正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形每一边所对的圆心角 叫做正多边形的中心角. 中心到正多边形的一边的距 离叫做正多边形的边心距.
中心角

O

·

半径R

边心距r

新课讲解

A B E

O

C

F

D

正多边形中的有关概念: 中心 半径 中心角 边心距

既是外接圆的圆心,也是内切圆的圆心

中心角 ? 360
n

?

E
中心角

D

F 边心距把△AOB分成 2个全等的直角三

角形
?AOG ??BOG ? 180? n

.O .
R a G

C
B

A

设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
2 a)  , 边心距r ? R (    ? 2 2

面积S ? 1 L ?边心距(r) 1 na ?边心距(r) ?
2 2

新课讲解

A B E

正n边形的内角和的

(n ? 2) ?180 度数是____________; ?
正n边形的一个内角的
( n ? 2) ? 180? 度数是____________; n

O

C

F

D

360? 中心角是___________; n

正多边形的中心角与内角的大小关 互补 系————,中心角与外角的大小 相等 关系是________.

例题选讲 例:分别求出半径为R的圆内接正三角形,正 方形的边长,边心距和面积.
解:作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
连接OB,则OB=R 在Rt△OBD中 ∠OBD=30°,
A

1 边心距=OD= R. 2
∠BAD=30°, 1 3 AD ? OA ? OD ? R ? R ? R, 2 2 在Rt△ABD中
B

O · D C

AD cos ?BAD ? , AB

解:连接OB,OC 作OE⊥BC垂足为E,

∠OEB=90° ∠OBE= ∠ BOE=45°
在Rt△OBE中为等腰直角三角形

BE 2 ? OE 2 ? OB 2

A
O ·

D

2OE ? OB
2

2

2 2 边心距OE ? OB ? R 2 2 2 边长BC ? 2 BE ? 2 ? R ? 2R 2

OB OE ? 2
2

2

B

E

C

S正方形ABCD ? AB?BC ?

?

2R

?

2

? 2R 2

知一求二 练习:若正三角形的半径为4,则它的边心距 2 4 3 是 ____,边长是_____。 重点:正三角形、正方形、 正六边形

例2.有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边 形(如图)求地基的周长和面积。

若正多边形的周长为l, 边心距为r,则:

lr S=_________。
2

1

F O

E

A

D

B

C

例 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六 边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).
360? 解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 ? 60?, 6

△OBC是等边三角形,从而正六边形的边长等于它的半径.

因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m). BC 4 ? ? 2, 在Rt△OPC中,OC=4, PC= 2 2 利用勾股定理,可得边心距
F

r ? 4 ? 2 ? 2 3.
2 2

E O r R C

亭子地基的面积

A

D

1 1 S ? lr ? ? 24 ? 2 3 ? 41.6(m 2 ). 2 2

B

P

当堂训练

正多边形 内 中心 角 角 边数 3 60° 120? 90? 90? 4 120? 60? 6

半 径

边 边心 周 面 长 距 长 积

2 2 3 2 2 2 2

1
1 3

6 33 3

8 4 12 6 3

抢答题:
△ABC的中心,它是△ABC的 外接圆 1.o是正 与 内切圆 的圆心。 A

2、OB叫正△ABC的 半径
它是正△ABC的 外接圆 的半径。

3、OD叫作正△ABC的 边心距
它是正△ABC的 内切圆 的半径。

.O D
C

B

4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做 正方形ABCD的 中心 5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做 正方形ABCD的 边心距

A .O B E

D

C

6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆,弦AB的 弦心距OF叫正五边形ABCDE的(边心距 ), 它是正五边形ABCDE的( 内切圆)的半径。 7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的(中心)角, 72度 它的度数

是( ) D

E

C

.O A F B

∠AOB) 8、图中正六边形ABCDEF的中心角是( 它的度数是(60度 )

9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有 什么数量关系?为什么?
解答:正六边形的半径与边 长数量关系是相等 因为:正六边形的中心角 F 是60度和半径组成的三角

E

D

.O

C

形是等边三角形,所以边
长与半径相等。

A

B

当堂训练 3.如图,菱形花坛ABCD的边长为6m,∠B=60°, 其中由两个正六边形组成的图形部分种花,则种 花部分图形的周长为( c ) A. 12 3 m B.20m C.22m
A

D.24m

B C

D

怎样画一个正多边形呢? 问题1:已知⊙O的半径为2cm,求作圆的 内接正三角形.
A

120 ° O C B

①用量角器度量,使 ∠AOB=∠BOC=∠C OA=120°. ②用量角器或30°角 的三角板度量,使 ∠BAO=∠CAO=30° .

你能用以上方法画出正四边形、正五边 形、正六边形吗?
A O ·
90°

D
B O

A

F E

E O ·
60°

·
72°

A

D

B

C

C

D

B

C

你能尺规作出正四边形、 正八边形吗?
A D

O ·

B

C

只要作出已知⊙O的互 相垂直的直径即得圆内 接正方形,再过圆心作 各边的垂线与⊙O相交, 或作各中心角的角平分 线与⊙O相交,即得圆 接正八边形,照此方法 依次可作正十六边形、 正三十二边形、正六十 四边形……

你能尺规作出正六边形、正三角形、正 十二边形吗?
F E O ·

A

D

B

C

以半径长在圆周 上截取六段相等的弧, 依次连结各等分点, 则作出正六边形. 先作出正六边 形,则可作正三角形, 正十二边形,正二十 四边形………

小结:画正多边形的方法
1.用量角器等分圆 画正多边形的方法 2.尺规作图等分圆

A

如图:
已知点A、B、C、D、 E是⊙O 的5等分点, 画出⊙O的内接和外 切正五边形

B O C D

E

1、判断题。
①各边都相等的多边形是正多边形。( × ) ②一个圆有且只有一个内接正多边形.( ×) 2、证明题。
A B C D

求证:顺次连结正六边形
各边中点所得的多

F

E

边形是正六边形。

1、正多边形的各边相等

2、正多边形的各角相等

新课讲解

A

B

E

探究、正n边形具有怎样 的对称性?

C

D

正n边形都是轴对称图形,它有n条对称轴; 当n为偶数时,正多边形是中心对称图形。

3、正多边形都是轴对称图形,一个正n 边形共有n条对称轴,每条对称轴都通 过n边形的中心。

4、边数是偶数的正多边形还是中心 对称图形,它的中心就是对称中心。

小结 1.正多边形中的有关概念; 2.正多边形的对称性; 3.正多边形中的有关计算:

360? 中心角 =外角 = _____ n ( n ? 2) ? 180? 内角= ___________ n
边长、半径、边心距知一求二 面积S=
1
2

lr

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