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27.2.1相似判定预备定理

发布时间:2013-11-21 10:37:47  

观察回顾:

相似多边形的判定:
对应角相等,对应边的比相等 的两个多边形为相似多边形。

两个条件要 同时具备

1、相似三角形的判定 对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三 角形是相似三角形. ∵?A ? ?A?, ?B ? ?B?, ?C ? ?C? A′
AB BC CA ? ? .= A?B? B?C? C?A?
C B′ C′

A

k

B

∴△ABC ∽ △A′B′C′

2、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢? 当两个三角形的相似比为 1 时,它们是全等的, 全等是相似的一种特殊情况。

探索发现:
如图,在正△ABC中,点D为AB中点, 过点D作DE∥BC交AC于点E,则△ADE与 D △ABC相似吗? D ∵ DE∥BC ∴△ADE∽△ABC B

A

E E C A
30°

变式1:如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,
点D为AB中点,DE∥BC,则△ADE与△ABC 相似吗?
∵ DE∥BC ∴△ADE∽△ABC

D
D B

E E C

探索发现:
变式2:如图,在△ABC中,点D为AB中点,过 点D作DE∥BC交AC于点E,则△ADE与 △ABC相似吗? A
D ∵ DE∥BC ∴△ADE∽△ABC B D E E C

如图,DE//BC,且D是边AB的中点,DE交AC于E, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由. 相似
证明:在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A
∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C AD AE 1 过E作EF//AB交BC于F ? ? AB AC 2 可证DBFE是平行四边形 △ADE≌△EFC B DE 1 ∴DE=BF,DE=FC ? ? BC 2

A
D
F

E

C

AD AE DE 1 ? ? ? ? AB AC BC 2

∴△ADE∽△ABC

结论:三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似

探索发现:
变式3:如图,在△ABC中,点D,E分
别为AB,AC的中点,则△ADE与△ABC 相似吗?请说明理由。 ∵ DE∥BC ∴△ADE∽△ABC B D

A

E
C A

变式4:如图,若点D是AB边上的任
意一点, 过点D作DE∥BC,量一量, 检验△ADE与△ABC是否相似。

D
B

E
C

∵ DE∥BC ∴△ADE∽△ABC

结论:平行与三角形一边的直线与三角形两
边相交所组成的三角形与原三角形相似。

变式5:若点D是BA延长线上的一点,
过点D作DE∥BC,与CA的延长线交于点 E,△ADE与△ABC相似吗?

E
A

D

∵ DE∥BC ∴△ADE ∽ △ABC 相似三角形判定的预备定理: B

G

F C

平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延 长线)相交。所构成的三角形与原三角形相似。

相似三角形判定的定理: 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延 长线)相交。所构成的三角形与原三角形相似。 A D B E C ∵ DE∥BC ∴△ADE∽△ABC

AD AE DE ? ? ? AB AC BC
?A ? ?A, ?ADE ? ?B, ?AED ? ?C

试试眼力:
1、如图, 已知DE∥BC,DF∥AC,请尽可 能多地找出图中的相似三角形,并说明 理由。 1. DE∥BC 2.DF∥AC 3. Δ ADE∽Δ ABC Δ DBF∽Δ ABC Δ ADE∽Δ ABC
B F D

A

E

C

Δ DBF∽Δ ABC

三角形相似 具有传递

性!
Δ ADE∽Δ DBF

反馈练习:
1、如图,在 ABCD中,E是边BC上的一点, 且 BE:EC=3:2 , 连

接 AE 、 BD 交 于 点 F , 则 3:5 3:5 BE:AD=_____,BF:FD=_____。 A
F B E C B D

2、如图,在△ABC中,∠C的平分线交AB 于 D , 过 点 D 作 DE∥BC 交 AC 于 E , 若 3:5 AD:DB=3:2,则EC:BC=______。 D

A

E

C

学以致用


A

如图:一条河流,在河流 的北岸点A处有一根高压电线 杆。河流的南岸点B处有一颗 大树。且电线杆在大树的正北 方向上。在大树的正东方的点 C处有一雕像,你能利用本节 课学习的知识大致测算出电线 杆A与大树B之间的距离吗?
D

B

C

若用皮尺测得:BC=40米,CD=20 米,DE=60米,你能计算出电线杆A 与大树B之间的距离吗?

E

与同桌交流一下你这节课的收获! 相似三角形判定方法
1、三组对应边的比相等且对应角相等; 2、平行于三角形一边的直线与其他两边(或 两边的延长线)相交,所构成的三角形与原 三角形相似。

巩固提高:
变式3:若
BF=3,CF=2,AD=1.5,DF=6,你能求出线段AE
A

的长度吗? 解:∵DE∥BC,DF∥AC ∴四边形DFCE为平行四边形 ∴FC=DE=2,EC=DF=6 ∵DF∥AC ∴△BDF∽△BAC
B F DF ∴B C ? AC
B

1.5
D

2 6

E

6 2
C

3

F

3 6 ∴ 3 ? 2 ? AC

∴ AC=10

∴AE=AC-CE=10-6=4

巩固练习:
如图:在△ABC中,点M是BC上 任一点, MD∥AC,ME∥AB, 若 BD = 2 ,求 EC 的值。 B AB 5 AC 解:∵MD∥AC, ∴△BDM∽△BAC MC 3 BD BM 2 ∴ = = , BC = 5 BA BC 5 D

A E

2份 M 5份

3份

C

又∵ ME∥AB, ∴△CEM∽△CAB CE CM 3 = ∴ = 5 CA CB

请你帮忙:
图纸上上有不锈钢三角架的长分别为3cm,4cm,5cm, 库存的不锈钢条有两根中,一根长60cm,另一根长180cm, 工人师傅想用其中一根做三角架的一边,在另一根上取 两截,用来做三角架的另外两边,使做成的三角架与图 纸上的形状相同(即图形相似)。请帮他确定:共有几种 不同的做法(焊接用料略去不计)?哪一种放大的倍数最 大?最大的倍数是多少?

4cm

5cm

3cm

合作学习:

为美化校园,学校决定对东教学楼后面的一块三角形的 空地(如图)进行修整,现已测量出AB=12m,BC=16m,CA=24m, 请你用适当的比例为这块空地画出图纸。

1.量一量,与同桌交流一下,你 12m 两个三角形各边 们所画的两个三角形的对应角相 的对应比相等 等吗?

16m 24m

三组对应边的比相等的两个三角形是否相似? 2.猜测:

推理论证:
已知:在△ABC和△A′B′C′中 求证:△ABC∽△A′B′C′ A

AB BC AC ? ? , A?B? B?C? A?C? A′

D

E C′

B
分析: △A′DE∽△A′B′C′ △A′DE≌△ABC

C

B′

? ?

△ABC∽△A′B′C′

必做题:《课本》P55 面
第1、3、4、5题

选做题:《作业本》

知识像一艘船,让它载 着我们驶向理想的 ……

再 见 !


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