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二次根式2

发布时间:2013-11-21 11:36:55  

第十六章 二次根式

第十讲 二次根式的运算

【知识要点一】:二次根式计算——分母有理化

1.分母有理化

定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。

2.有理化因式:

两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下:

①单项二次根式:

?a来确定,

a?b与a?b等分别互为有理化因式。

②两项二次根式:利用平方差公式来确定。如a?

a?

3.分母有理化的方法与步骤:

①先将分子、分母化成最简二次根式;

②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式;

③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

【典型例题】

【例1】.在横线上填出一个最简单的因式,使得它与所给二次根式相乘的结果为有理式: 如:32与2. (1)23与______; (2)32与______; (3)a 与______; (4)a 与______; (5)6a与______.

【例2】 把下列各式分母有理化 (1)

(5

322x11=______;(2)______;(3)=______;(4)=______. 23y532(6

(7

(8

【例3】把下列各式分母有理化

(1

(2

(3

) (4

【例4】把下列各式分母有理化:

(1

举一反三:

1

、已知x?

2、把下列各式分母有理化: (2

(3

x?y22,y?,求下列各式的值:(1)(2)x?3xy?y x?y

(1

(3

a?b? (2

小结:一般常见的互为有理化因式有如下几类: ①a与a;

③a?

a? ④m?n与ma?n.

【知识要点二】:二次根式计算——二次根式的乘除

1.积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。

(a≥0,b≥0)

2.二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。

a≥0,b≥0)

3.商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根

a?ba(a≥0,b>0) 4.二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。

a?ba(a≥0,b>0) b

注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式.

【典型例题】

【例5】计算: (1)6?2

(4)2x?6x

(7)(?7)?49 (8)?5

2 (2)3? (3)32?2 (5)ab?11 3a (6)6a2b?1 3a22 (9)72xy 27

【例6】化简:

(a?0,b?0)

(x?0,y?0) (x

?0,y?0)

【例7】计算:

【例8】能使等式

(4

x?x?2x成立的的x的取值范围是( ) x?2

A、x?2 B、x?0 C、0?x?2 D、无解

【知识要点三】:二次根式计算——二次根式的加减

需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。

注意:对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数.

【典型例题】

【例9】.把下列二次根式32,27,,445,2,,,化简后,与2的被开方数相同的有_________;与的被开方数相同的有______;与5的被开方数相同的有______.

【例10】计算

(1).93?7?548. (2).24??6.

(3).?3?3?.

(5).27?(4).(?411)?(3?40.5). 831?. 3(6).13(2?)?(2?27) 24

【例11】计算

?(1

); (2

) ???;?

(3

(4

【例12】 计算

(1).?(227?775?445).

(3).a?

(4).2a

【知识要点四】:二次根式计算——二次根式的混合计算与求值

【知识要点】 1、确定运算顺序;

2、灵活运用运算定律;

3、正确使用乘法公式;

4、大多数分母有理化要及时;

5、在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化; (2).(π?1)?()?|5?27|?23. 0 ? 12?1a311?a3. a2aba?bab?1aa3b?2bab3.

【典型习题】

233b1

ab5?(?ab)?31、 2、 b2a3

3、(72?

1

)÷622?3)?3?76 4、(23?32?)(2?3?6)

2 5、(3?25)?(4?)(4?5) 6、(26?5)(2?5) 1011

【知识要点五】:根式比较大小

【知识要点】

1、根式变形法 当a?0,b?0时,①如果a?b,

?②如果a?b,

?。

22222、平方法 当a?0,b?0时,①如果a?b,则a?b;②如果a?b,则a?b。

3、分母有理化法 通过分母有理化,利用分子的大小来比较。

4、分子有理化法 通过分子有理化,利用分母的大小来比较。

5、倒数法

6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。

7、作差比较法在对两数比较大小时,经常运用如下性质:①a?b?0?a?b;②a?b?0?a?b

8、求商比较法它运用如下性质:当a>0,b>0时,则:①a?1?a?b;②a?1?a?b

bb

【典型例题】

(1)、根式变形法

【例13】

比较

(用两种方法解答)

(2)、平方法

【例14】

、比较

(3)、分母有理化法

【例15】

(4)、分子有理化法

【例15】

(5)、倒数法

【例16】

的大小。

本章典型例题: 的大小。

【例1】.若a=+2,b=7-2,则a+b=______,ab=______.

应用:

(1)、已知a?

(2).

已知:a?

(3).

已知x?y?xy?xy?_________。

33?2,b?5?2,则a2?b2?7的值为 11?1a2?2的值。 aa

(4).设a?7?,b?7?,则a

(5)、x?

练习: 20072008b的值是______ 11?,则x?? 。 xx

1.已知x??2,y??2,求值:x-xy+y. 22

2【例2】. 已知x?3x?1?0,则

【例3】.已知x+y=5,xy=3,求

【例4】.(3?)

练习:

1. 计算

100x?yy的值. x(3?)101. +2?20093-2?2010=

作业练习:

1.

______个.

2. 实数a在数轴上的位置如图所示:化简

:a?1

?_____. _0 3.

若a?2?c?4??0,则a?b?c?

4. 计算:(?2)

5. 计算: (1)

?10()?(3?2)?20102(?2)201022?1??412 (2) (2?3) 2124??2

xx2?2x?1x2?1??6. 先化简,再求值:,其中x?3?2. x?2x?2x?1

7. 计算:

.

. 7?

?⑵

2?3?1 ??

?

7???1 ⑷

. 1?2?

?

1?

1?1 2222

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