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初三数学课本练习和习题-一元二次方程

发布时间:2013-11-22 08:09:08  

一元二次方程

22.1 一元二次方程

【知识点】

1、一元二次方程:只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程。

一般形式:

ax2﹢bx﹢c=0 (a、b、c为常数,且a≠0)

其中,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。注意,系数是包括前面的符号的。

一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

2、单循环比赛公式:n(n?1) 2

双循环比赛公式:n(n﹣1)

【练习】

1. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。

(1)5x

2. 根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:

(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;

(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x;

(3)把长为1的木条分成两段,使较短的一段的长与全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一段的长

x;

(4)一个直角三角形的斜边长为10 cm,两条直角边相差2 cm,求较长的直角边长x。

2?1?4x (2)4x2?81 (3)4x(x?2)?25 (4)(3x?2)(x?1)?8x?3

3. 如图,有一块长方形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?

4. 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?

【习题】一元二次方程

【复习巩固】

1. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它们的二次项系数、一次性系数及常数项:

2. 根据下列问题列方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:

(1)一个圆的面积是6.28 m2,求半径。

(2)一个直角三角形的两条直角边相乘3 cm,面积是9 cm2,求较长直角边的长。

3. 写出下列方程的根:

【综合运用】

根据下列问题列方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:

4. 一个长方形的长比宽多1 cm,面积是132 cm2,长方形的长和宽各是多少?

5. 有一根1 m长的铁丝,怎样用它围成一个面积为0.06 m2的长方形?

6. 参加一次聚会的每两个人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会?

【拓广探索】

7. 你能想出下列方程的根吗?如果能,写出方程的根,并说出你是怎样想出的。

8. 如果2是方程x2﹣c=0的一个根,那么常数c是几?你能得出这个方程的其他根吗?

22.2 降次——解一元二次方程

【知识点】

1、直接开方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解。

使用形式:(x?a)?b。根据平方根的定义可知,x?a是b的平方根。

当b?0时,x?a??b,x??a?b; 当b<0时,方程没有实数根。

2、配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式a?2ab?b?(a?b),把公式中的a看做未知数x,并用x代替,则有x?2bx?b?(x?b)。

使用形式:通用。

在解一元二次方程是,因配方法比较繁琐,如不做特殊要求,通常不采用配方法。

3、公式法:利用一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的求根公式求解。 22222222

?b?b2?4ac2x?(b?4ac?0) 2a

使用形式:ax?bx?c?0(a?0)。但要求先判定系数和?的大小。其中??b?4ac

当Δ>0时?方程有两个不相等的实数根;

当Δ=0时?方程有两个相等的实数根;

当Δ<0时?方程没有实数根,无解;

当Δ≥0时?方程有两个实数根

4、因式分解法:利用因式分解(提公因式,十字相乘等)的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。

使用形式:(x﹢a)(x﹢b)=0 x1=﹣a , x2=﹣b

注意:如果不做特殊要求,在方法的选择上,通常先因式分解,再公式法,通常不用配方法解一元二次方程,但是配方法是一种非常重要的数学手段,是需要重点掌握的一种方法。

5、如果方程ax?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1,x2,那么x1?x2??222cb,x1x2?。(选学) aa

【练习】

1. 解下列方程

2. 填空:

3. 解下列方程:(配方法解,某些可用因式分解法检验)

(3)3x2?6x?4?0 (1)x?10x?9?0 (2) 2

(4)4x

4. 解下列方程:(公式法解,某些可用因式分解法检验)

22 (1)x?x?6?0 (2)x?3x?2?6x?3?0 (5)x2?4x?9?2x?11 (6)x(x?4)?8x?12 1?0 (3)3x2?6x?2?0 4

(4)4x

5. 解下列方程:(因式分解法)

(1)x(x?2)?x?2?0 (2)5x

(4) (5)4x

(7)(x?4)

6. 把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径。

222?6x?0 (5)x2?4x?8?4x?11 (6)x(2x?4)?5?8x ?2x?13?x2?2x? (3)x2?x?0 442?121?0 (6)3x(2x?1)?4x?2 ?(5?2x)2 (8)x2?75x?350?0 (9)x2?20x?800?0

7. 不解方程,求下列方程两根的和与积:

(1)x2?3x?15 (2)5x2?1?4x2?x (3)3x2?7x?9?0

【习题22.2】降次解一元二次方程

【复习巩固】

1. 解下列方程:

2. 填空:

3. 用配方法解下列方程:

4. 利用判别式判断下列方程的根的情况:

(1)2x2?3x?3

2?0

(3)16x2?24x?9?0

(2)3x2?10?2x2?8x (3)x2?42x?9?0

5. 用公式法解下列方程:

(1)x

(4)x(x?4)?2?8x (5)x

6. 用因式分解法解下列方程:

(1)3x

7. 求下列方程两根的和与积:(选做)

(1)x

8. 一个直角三角形的两条直角边相差5 cm,面积是7 cm2,求斜边的长。

22?x?12?0 (2)x2?2x2?1?0 (3)x2?4x?8?2x?11 42?2x?0 (6)x2?2x?10?0 2?12x??12 (2)4x2?144?0 (3)3x(x?1)?2(x?1) (4)(2x?1)2?(3?x)2 ?3x?2?10 (2)5x2?x?5?0 (3)x2?x?5x?6 (4)7x2?5?x?8

9. 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同,所有公司共签订了45份合同,共有多少家公司参加了商品交易会?

【综合运用】

10. 用公式法和因式分解法解方程:x

11. 有一根20 m长的绳,怎样用它围成一个面积为24 m2的长方形?

12. 向阳村2001年的人均收入为1200元,2003年的人均收入为1452元,求人均收入的年平均增长率。

【拓广探索】

13. 一个凸多边形共有20条对角线,它是几边形?是否存在有18条对角线的多边形?如果存在,它是几边形?如果不存在,说明得出结论的道理。

14. 无论p取何值,方程(x?3)(x?2)?2?6x?9?(5?2x)2 p2?0总有两个不等的实数根吗?给出答案并说明理由。

22.3 实际问题与一元二次方程

【知识点】

增长率模型:如果在一次数量增加过程中,起始数量为a,每一轮增长率为p%,那么

第一轮增加后的数量为a(1﹢p%)

第一轮增加后的数量为a(1﹢p%)2

第一轮增加后的数量为a(1﹢p%)3

第n轮增加后的数量为a(1﹢p%)n

几何模型:设定一个量x,再用含有x的式子表示另外一个量,通过已知量建立等式。

最值问题:根据a2≥0或﹣a2≤0,将一元二次方程配方之后可以得到(x?a)2?b?b或?(x?a)2?b?b的形式, 这样就有当x=﹣a时,取得最小值或最大值。

【练习】

1. 有一人患了流感,如果不加以任何措施,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?如果照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?

【习题22.3】实际问题与一元二次方程

【复习巩固】

1. 解下列方程:

2. 两个相邻偶数的积是168,求这两个偶数。

3. 一个直角三角形的两条直角边的和是14 cm,面积是24 cm2,求两条直角边的长。

【综合运用】

4. 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?

5. 一个菱形两条对角线长的和是10 cm,面积是12 cm2,求菱形的周长。(结果保留一位小数)

6. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共要比赛90场,共有多少个队参加比赛?

7. 青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200 kg,2003年平均每公顷产8450 kg,求水稻每公顷产量的年平均增长率。

8. 要为一幅长29 cm,宽22 cm的照片配一个镜框,要求镜框的四条边宽度相等,且镜框所占面积为照片面积的四分之一,镜框边的宽度应是多少厘米(结果保留小数点后一位)?

【拓广探索】

9. 如图,要设计一幅宽20 cm、长30 cm的图案,其中有两横两竖的彩条,横竖彩条的宽度比为3:2,如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一,应如何设计彩条的宽度?(结果保留一位小数)

10. 如图,线段AB的长为

1.

(1)线段AB上的点C满足关系式AC2=BC·AB,求线段AC的长度;

(2)线段AC上的点D满足关系式AD2=CD·AC,求线段AD的长度;

(3)线段AD上的点E满足关系式AE2=DE·AD,求线段AE的长度;

以上各小题的结果反映了什么规律?

【复习题22】一元二次方程

【复习巩固】

1. 解下列方程

(1)196x

(4)2x

(7)x

2. 两个数的和为8,积为9.75,求这两个数。

3. 一个长方形的长和宽相差3 cm,面积是4 cm2,求这个长方形的长和宽。

222?1?0 (2)4x2?12x?9?81 (3)x2?7x?1?0 ?3x?3 (5)x2?2x?1?25 (6)x(2x?5)?4x?10 ?5x?7?3x?11 (8)1?8x?16x2?2?8x

4. (选做)求下列方程两根的和与积:

(1)x

【综合运用】

5. 一个直角梯形的下底比上底大2 cm,高比上底小1 cm,面积等于8 cm2,画出这个梯形。

6. 一个长方体的长与宽的比为5:2,高为5 cm,表面积为40 cm2. 画出这个长方体的展开图。

7. 要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都比赛一场),计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?

8. 如图,利用一面墙(墙的长度不限),用20 m长的篱笆,怎样围成一个面积为50 m2的长方形场地?

2?5x?10?0 (2)2x2?7x?1?0 (3)3x2?1?2x?5 (4)x(x?1)?3x?7

9. 某银行经过最近的两次降息,使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%,平均每次降息的百分率是多少? (结果写出a%的形式,其中a保留小数点后两位)

10. 用一条长40 cm的绳子怎样围成一个面积为75 cm2的长方形?能围成一个面积为101 cm2的长方形吗?如能,

说明围法;如不能,说明理由。

【拓广探索】

11. 如图,要设计一个等腰梯形的花坛,花坛上底长100 m,下底长180 m,上下底相距80 m,在两腰中点连线

处有一条横向甬道,上下底之间有两条纵向甬道,各甬道的宽度相等,甬道的面积是梯形面积的六分之一。甬道的宽度应是多少米(结果保留小数点后两位)?

12. 一个小球以5 m/s的速度开始向前滚动,并且均匀减速,4s后小球停止滚动。

(1)平均每秒小球的滚动速度减少多少?

(2)小球滚动到5 m约用了多少时间(结果保留一位小数)?

(提示:匀变速直线运动中,每个时间段内的平均速度v(初始速度与末速度的算术平均数)与路程s、时间

t的关系为s=vt)

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