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谬误归约论和2的平方根

发布时间:2013-09-19 13:31:19  

谬误归约论和2的平方根

毕达哥拉斯学派关于2的平方根的无理性的原始论证称为谬误归约论。谬误归约论指的是先假设一种说法是真实的,顺理推论,出现矛盾,从而证明该说法是虚假的。兹以现代的实例说明这个理论,即20世纪的一个大物理学家玻尔的一句名言:“一种伟大思想的对立面也是一种伟大的思想。”徜若这个说法是正确的,则推论下去难免要承担一点风险。以黄金定律为例,或者以劝阻撒谎或“你不能杀人”为例,考虑它们的反论,就会明白了。也可以先认定玻尔的名言是一种伟大的思想,那么,这个说法的对立面呢,即“一种伟大思想的对立面并不是一种伟大的思想”也一定成立。这就是谬误归约论的论证过程。徜若反方的说法是虚假的,则这一名言并不会耽误多少功夫,因为这等于自我承认并非伟大的思想。 下面,根据谬误归约论,用现代论证法论证2的平方根的无理性。论证中只要用到简单的代数法,不必要用到毕达哥拉斯学派发明的几何论证法。论证的风格和思维的方式至少和结论一样引人入胜。

设边长为1个单位(该单位无论是厘米、英寸还是光年都无所谓)的正方形,对角线BC分正方形为两个直角三角形。

22222根据毕达哥拉斯学说,在这样的直角三角形中,1+1=x。因为1+1=1+1=2,由此推及x=2的平方根。假定2的平方根

1/21/2(2)是一个有理数,2=p/q,式中p和q均为整数。p和q可以代表任何整数,也可以无穷大,当然也可以认为p和q

1/2没有公因子。设p=14,q=10,得2=14/10,分子分母都除以2,得p=7,q=5,而不再是p=14,q=10。在任何计算中,分

1/2222子分母的公因子都要先除掉。p和q可以选用任何数。把 2=p/q两边平方,则得2=(p)/(q)。两边两乘以q,则得:

p=2q (式1)

据式1,p一定是乘以2的某个数,故p是一个偶数。但是,奇数的平方一定是奇数(如1=1,3=9,5=25,7=49)。所以,p本身一定是偶数,可以写作p=2s,式中s为一个整数。把p代入式1,得:

p=(2s)=4s=2q

最后等式的两边都除以2,则得:

q=2s

因此,q也是一个偶数。证明过程如上,则q本身也是一个偶数。要是p和q都是偶数,都可以除以2,那么这两个数都没有归约到最小公因子,这和论证前的假设是矛盾的。这里谬误得到归约。但是,哪一个假设是谬误的呢?论证过程中并没有规定公因子不可归约,也没有规定14/10可以归约,7/5不可以归约。所以,原始的假设一定是谬误的。p和q

1/2不可能是偶数:2的平方根是无理数。事实上2=1.4142135??

这个结论真是出人意外!证明过程真是奇妙!但是,毕达哥拉斯学派却感到难受,千方百计要掩盖住这个伟大的发现。 222222222222222

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