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初三数学培优——垂径定理+圆中的角

发布时间:2013-11-24 08:04:31  

初三数学培优卷――

垂径定理+圆中的角

【例】如图,半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD,它们的交点E到圆心O的距离等于1,则AB?CD=( )

A、28 B、26 C、18 D、35 22O B 【问题一】不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点,AB是⊙O的直径,AE⊥l于E,BF⊥l于F。A1)如图,在下面圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形; D

(2)请你观察(1)中所画的图形,写出一个各图都具有的两条线段相等的结论 例 图

??

0练习1Rt中,∠C=90=3,BCC为圆心,CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、

E,求AB、 ① ①

C

E

ADB

第1题图

2、如图,⊙O的半径为10cm,G是直径AB上一点,弦CD经过点G,CD=16cm,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F,求AE-BF的值。

BAO D

第2题图

3、如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,∠BAC的平分线交BC于D,交⊙O于E,且AC=6,AB=8,求CE的长。 A

CB

EOM的长4. 如图所示,圆O的直径为10,弦AB的长为6,M是弦AB上的一动点,则线段的第3题图 的取值范围是( )

A. 3≤OM≤5 B. 4≤OM≤5 C. 3<OM<5 D. 4<OM<5 圆中的角度问题

1

例.如图,在等腰△ABC中,AC=BC,∠C=100,点P在△ABC的外部,并且PC=BC,求∠APB的度数。

C

P

一、选择题:

B A 1、下列命题中,正确的命题个数是( )

①顶点在圆周上的角是圆周角; ②圆周角度数等于圆心角度数的一半; P ? ③900的圆周角所对的弦是直径; ④圆周角相等,则它们所对的弧也相等。 例 1 图 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、已知AB、AC与⊙O相切于B、C,∠A=500,点P是⊙O上异于B、C的一动点,则∠BPC的度数是( )

A、650 B、1150 C、650或1150 D、1300或500

3、O为锐角△ABC的外心,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,垂足分别为D、E、F,则OD∶OE∶OF为( ) A、a: b: c B、1/a :1/b :1/c C、cosA∶cosB∶cosC D、sinA∶sinB∶sinC 4、如图,AB是⊙O的直径,DB、DC分别切⊙O于B、C,若∠ACE=250,则∠D为( )

A、500 B、550 C、600 D、650

C

O

O

1

O

?

AE

C

D

D

B

B

D700

第4题图

第5题图

第6题图

5、如图,⊙O经过⊙O1的圆心O1,∠ADB=?,∠ACD=?,则?与?之间的关系是( )

A、?=? B、??180?2? C、

??

11

(900??)??(1800??)22 D、

二、填空题:

6、如图,四边形ABCD内接于⊙O,则x= 。

7、如图,A、B、C是⊙O上的三个点,当BC平分∠ABO时,能得出结论。 8、如图,AB是⊙O的直径,C、D、E都是⊙O上的点,则∠1+∠2=

CBO2BO1OPC

9C,交⊙O于点,PA=AB,PDAPBABD,D第7题图11、如图,⊙O1 与⊙O2为两个等圆,1上,⊙O1与⊙O2交于A、BC第8题图 O1在⊙O2上,O2第9题图

交⊙O1于C,交⊙O2于D,过C作⊙O1的切线CE与过D作⊙O2的切线DE交于E,则∠E= 。 第11题图 三、计算题或证明题:

12、如图,已知P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B,OP与AB相交于点M,C为AB上一点。求证:∠OPC=∠OCM。

?

P

2

13、如图,⊙O1与⊙O2交于A、B两点,点O1在⊙O2上,⊙O2的弦O1C交AB、⊙O1于D、E。求证: (1)AO12=O1D·O1C (2)E为△ABC的内心。

?OO21

14、如图,已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点DABCB点F,连结FB、FC。

F(1)求证:FB=FC; 第 (2)FB?FA?FD;

O

2

A

E

?(3)若AB是△ABC的外接圆的直径,∠EAC=1200,BC=6cm,求AD的长。

BCD

第14题图

15、如图,⊙O的直径AB=6,P为AB上一点,过P作⊙O的弦CD,连结AC、BC,设∠BCD=m∠ACD,

BP

?7?4AP当时,是否存在正实数m,使弦CD最短?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由。

BAPO

16、如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,以C为圆心,CDBCE,交

DAD于F,交AE于点M,且∠B=∠CAE,EF∶FD=4∶3。

第15题图 (1)求证:AF=DF;

A(2)求∠AED的余弦值;

(3)如果BD=10,求△ABC的面积。

M

BDC

E

第16题图

2

2

【例2】如图,半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD,它们的交点E到圆心O的距离等于1,则AB?CD=( )

A、28 B、26 C、18 D、35

分析:如图,连结OA、OC,过O分别作AB、CD的垂线,垂足分别为M、N,则AM=MB,CN=ND。 ∵OM⊥MN,ME⊥EN,CN=ND

∴OM?ON?OE

从而OA?AM?OC?CN?OE

2

2

2

2

2

2

2

2

A

NEB

AB2CD22

)?22?()?12 即2?(22

例2图

3

∴AB?CD?28 故选A。

1、AB=5,AD=18;

522

2、解:连结OC,过点O作OM⊥CD于M,则CM=MD

∵CD=16,AB=8,在Rt△OMC中,因OC=10

∴OM=OC2?CM2?2?82?6

∵AE⊥CD,BF⊥CD,OM⊥CD,∴AE∥OM∥BF

AEAGBFBG??, OMOGOMOG

AE?BFAG?BG2OG???2 ∴AE-BF=2OM=12 ∴OMOGOG ∴

03、提示:连结OE,由BE?EC得OE垂直平分BC于F,AB为直径,则∠ACB=90,BC=??AB2?AC2?27。

∴CF=7,EC=(7)?1?22

分析:注意条件AC=BC=PC,联想到圆的定义,画出以点C为圆心,AC为半径的圆,问题则得以解决。

解:∵AC=BC,PC=BC

∴A、B、P三点在以C为圆心,AC为半径的圆上

C22若P、C在AB的同侧,则∠APB=

P

001∠ACB 2

AB

P?

例1图 ∵∠ACB=100,∴∠APB=50 00若P、C在AB的异侧,则∠APB=180-50=130 000一、选择题:ACCAD二、填空题: 6、140;7、OC∥AB等;8、90;9、45;10、

221;11、120 三、计算题或证明题:12、提示:连结OA,OA?OM?OP?OC,∴0OCOP?,又∠O是公共角,△OMOC

OCM∽△OPC。

13、略证:(1)连结,O1B,由O1A=O1B可得∠O1AD=∠O1CA,∠AO1D是公共角,∴△O1AD∽△O1CA;(2)连结AE、BE,由∠ABE=1111∠AO1C=∠ABC,∠BAE=∠BO1E=∠BAC。 2222

14、(1)(2)略;(3)4cm。

15、解:连结OD,设存在正实数m,则在⊙O中过P点的所有弦中,只有垂直于直径的弦最短。∴CP⊥AB于P。 ∵BP?7?43,设AP=k,则BP=(7?43)k,又AB=6 AP

∴(7?4?1)k?6,解得k?6?36?33∴OP=OA-AP=3?= 222

在Rt△POD中,cos∠POD=OP300?,∴∠POD=30,∠ACD=15 OD2

0∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90

000 ∴∠BCD=90-15=75∵∠BCD=m∠ACD 4

∴m=5,即存在正实数m,使CD弦最短。

16、(1)先证∠ADE=∠DAE(;2)作AN⊥BE于N,设FE=4x,FD=3x,可求DE=5x,由AD?EF?DE?AN得:AN=4.8x,可得EN=1.4x,cos∠AED=

7;(3)△CAE∽△ABE,S?ABC?72。 25

5

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