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第21章 二次根式 全章导学案

发布时间:2013-11-24 11:39:27  

第21章 二次根式的定义、性质(1)

一、学习目标

1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。

3、掌握二次根式的基本性质:a?0(a?0)和(a)?a(a?0)

二、学习重点、难点

重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质a?0(a?0)和(a)?a(a?0)。

三、学习过程

(一)知识准备:

(1)已知x2 = A, x是A的________, 记为______,A一定是_______数。

(2) 4 表示4的____________,结果是_______.4的平方根是_______。

(二)新课学习:

1.自学教材,回答以下问题。

(1)形如____________(其中A_________)的式子叫做二次根式.从定义中发现,

一个代数式是二次根式应该满足①根指数为_______;②被开方数(式子)______________。

(2)回答:?2x 有意义,则x的取值范围是______________________。

(3)求下列有意义时x的取值范围:

①x?5 ②x ③222 1

x?2

④x?33 ⑤x 2?x

- 1 -

(4)利用二次根式的定义解答:当y=

x=_______,y=________.

(5)下列各式,____是二次根式. ①3,②?,③4

x?1??x?3时,2(a?0),⑥x?1 3

2.计算 : (1) (4)2 =

(2) (3 ) 2 = (3

)(.5) = (4)(212)= 3

a______) 根据计算结果,你能得出结论:(a)?________(

3、自学教材P4,解答①(

示(AB)2=_____) 232)?_______ ②(2)2?______(这里利用了公2

a______),则A=( )2,所以可以利用此结果进行因式4.若(a)?________(

分解。如x2-3=________________

(三)练习:1、 x取何值时,下列各二次根式有意义? ①x?4 ② 2 ③ ?1 2?x

2有意义,则A的值为___________.

3.若 在实数范围内有意义,则x为( )。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数

4.在实数范围内分解:x2-5=___________________________

- 2 -

(四)知识梳理,总结本节课。

1.非负数A的算术平方根(A≥0)叫做_________,二次根式的概念有两个要点:一是从形式上看,应含有________二是被开方数的取值范围有限制:被开方数A必须_________________。

2.式子a(a?0)的取值是____________数。

(五)达标过关测试

1.下列各式是二次根式的是( )

A、?9 B、a C、a?1 D、39

2、在实数范围内因式分解:

(1)x2-9= x2 - ( )2= (x+ ____)(x-____)

(2) x2 - 3 = x2 - ( ) 2 = (x+ _____) (x- _____)

3

、计算( ) 2 的值为

( ) ? 13

A. 169 B.-13 C±13 D.13 2

)4、已知 ? 0, 则 x 为(

A. x>-3 B. x<-3 C.x=-3 D x的值不能确定

5、下列计算中,不正确的是 ( )

A. 3= () B 0.5=(0.5) C (0.3)=0.3

6、如果等式(?x)= x成立,那么x为( )。

A x≤0; B.x=0 ; C.x<0; D.x≥0

27、 若a?2??0,则 a?b= 2222 D (57)=35 2

8、当x。

- 3 -

9.代数式?x有意义,则x的取值范围是_____________________. x?1

10. 代数式2

1?x有意义,则x的取值范围是_____________________.

11.已知a=b?5??b?2,则ab的平方根是_____________.

12.在实数范围内分解因式:2x2-3=_________________________.

四.学习反思:通过本节课的学习有哪些收获与不足,写下来,与同学们交流。 ①知识点: ②学习(解题)方法: ③失误与不足:

- 4 -

二次根式的性质(2)

一、学习目标

21、掌握二次根式的基本性质:a?a

2、能利用上述性质对二次根式进行化简.

二、学习重点、难点 重点:二次根式的性质a?a. 难点:综合运用性质a?a进行化简和计算。

三、学习过程

(一)知识准备:

(1)形如___________( )的式子是二次根式,22(a)2?________(a______)

(2)

2?x则x 。二次根式有意义,则x 。 x?1

(3)在实数范围内因式分解:x2-6= ___________________________. (4)(3)?___,(32)?________ , 22

a?2012?2012?a?5?b,则b=______.

(二)新课学习 独立解决以下问题:

1、计算:42?0.22?4()2?5202?

a? 观察其结果与根号内幂底数的关系,归纳得到:当a?0时,

2、计算:

(?4)2?

- 5 -

4(?)25? 观察其结果与根号内幂底数的关系,归纳得到:当a?0时,a?

3、计算:02? 当a?0时,a?4.归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来,得到二次根式的又一条非常重要的性质:

5.应用举例:

(1)当

2? a a?0?a2?a?? 0 a?0??a a?0?x<2时,化简①(2?x)2?___________;_ ②(2?x)?4?x?___________。 (2)当1<x<3时,(x?1)?3?x?__________

2(3)当(2?x)?x?2时,x的取值范围是_____. 2

(4) 当x<2时,x?4x?4?_______.

(5)若a22??a,则A的取值范围是____________.

(6)若A<0,则

a2?a?________

(三)相互交流,解决上面的问题。

- 6 -

? a a?0?20 a?0的应用,特别是方法与思路。 (四)总结a?a?? 

??a a?0?

四.达标过关测试:

?

______1、化简下列各式:

?______

(?)__(__<_) a0

222.填空:(1)(2x?1)-(2x?3)(x?2)=_________. 2)?_________; (3)(1-3)?_______ (2)π-3.14

2(4)当a__________时,(a?5)?5?a. 2

(5)(x?3)?x?3,则x的取值范围是__________________.

(6)当a<0时,

(7)当x<3时,x?6x?9?_________

3、已知2<x<3,化简:(x?2)?x?3。 (写出解题过程)

222a2?2a?______

- 7 -

4.比较大小:①52_____2 ②-72_____?4

5.已知:a、b、c分别是三角形的三边,则(a?b?c)2?(a?b?c)2?_________.

6.当A取某一范围内的值时,代数式(12?a)?a?13的值是一个常数,则这个常数是________,此时a的取值范围是_____________________.

7、 已知0 <x<1,化简:(x?

五.学习反思:总结本节课的方法,收获,不足。

2121)?4-(x?)2?4 xx

- 8 -

二次根式的乘法

一、学习目标

1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。

二、学习重点、难点

重点: 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

难点:依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。

三、学习过程

(一)知识准备①二次根式x?4有意义,则x的取值范围是___________________. a______) ②(a)?________(2____??__________??a2?____??______________?

?______________???

(二)新课学习

1、计算:

(1)∵4×9=______

(2)∵4?9=_______∴4×9_______4?9 ×25 =_______ ?25=_______∴ ×25______?25

(3)∵ × =_______ ?36=_______∴ ×36=_______________. _(a______,b_______)———(二次根式的综上所述:a?b?__________

乘法法则)

- 9 -

___.(a________,b_______)——(积的算数平方2、反之:ab?__________

根)

(三)新课应用 :先自主解答以下问题:

1.当x?2??x?

2. 自学教材,解答2?7?________; (x?2)(3?x)时,x的取值范围是___________________. 1?75?_____ __5

3.利用积的算数平方根可以对二次根式进行_________, ①25?49?________ ②9abc?________

4.综合利用乘法公式以及积的算数平方根计算。 ①235??_______ ②23?327?_______ ③2x?1xy?________ 8

(四)交流以上问题,总结计算方法。

(五)练习以下问题。

1.当x?4?

2.计算:①

232x?2?x?2时,x的取值范围是___________________. 4y?___②49?121?___ ③2xy?1?____ x④25abc?_______

- 10 -

(六)知识梳理:二次根式的乘法法则是___________________________,

积的算数平方根公式_________________________________________.

四.达标测试:

1、选择题

(1)等式x?1?x?1?x2?1成立的条件是( )

A.x≥1 B.x≥-1 C.-1≤x≤1 D.x≥1或x≤-1

(2)下列各等式成立的是( ).

A.4×2=85 B.53×42=20

C.4×32=7 D.5×42=206

2(3)二次根式(?2)?6的计算结果是( )

A.26 B.-2 C.6 D.12

(4)若a?2?b?4b?4?c?c?221?0,则b2?a?c=( ) 4

A.4 B.2 C.-2 D.1

(5)下列各式的计算中,不正确的是( )

A ( ? 4)?(?6)??4??6?(?2)?(?4)?8

2?122?(13?12)(13?12)??12??12?25?132?42??16?25?5

42、化简: 22(1)=______; (2)32x=__________;(3)ab=_________ ;

(4)25?49=____________; (5)?64=_____________。

- 11 -

3、计算:

(1)?30=____;(2)3?2=____ (3)927=___ 75

(4)25×32=____.

4、计算:(1)6×(-26); (2

(3)(?16)?

3. 5.当x<0时,化简?xy?__________25?(?144) 4

五.学习反思:写出本节课的收获与不足,总结得失。

- 12 -

二次根式的除法

一、学习目标

1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

2、能熟练进行二次根式的除法运算

二、学习重点、难点

重点: 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

难点:依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式化简。

三、学习过程

(一)知识准备

1、二次根式的乘法法则是_________________________________(用式子表示) 积的算术平方根的性质是__________________________________(用式子表示)

2、计算: (1)3×(-46)=_________

(2)ab?6ab=____________

3. 当x?4?

2332x?2?x?2时,x的取值范围是___________________. 4.化简:9abc?________

(二)新课学习

1、填空: (1

(2

(3

_

∴________. - 13 -

综上所述

法则) 反之:a?______________(a______,b______) (二次根式的除法a?_________(a______,b______) (商的算数平方根) b

(三)新课应用

1.如果x?2?3?x

27

3x?23?x,则x的取值范围是_____________________. 2.①?________ ②49??_______ 38

3. 225a?_______ ②?_______(a?0,x?0) 8116x2

2

?______ ②8

2x?_______ 4.①

(四)1.最简二次根式满足的条件:

①被开方数_________________

②被开方数不含__________________的因数(因式)

2.把下列根式化成最简二次根式 ①=_____②

(五)知识梳理

1.二次根式的除法法则____________________________

把这个法则反过来,得到商的算术平方根性质_____________________________. 40?____③.5?___④4?___ 3

- 14 -

2、当二次根式前面有系数时,类比单项式除以单项式法则进行计算:

即系数之商作为商的_______,被开方数之商为____________。如342?________

3、化简二次根式达到的要求:(1)被开方数不含______________;(2)被开方数不含________________的因数(因式)

(六)拓展延伸:

????35

数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。

利用上述方法化简:

(1)

(4

)

(七)达标过关检测:

1、选择题(1

) 1?_______ 2?1的结果是( ). 2 C

D

. 77A.2

7 B.

- 15 -

(2

) A.

- B.

C.

- D.

33(3)最简二次根式是( )

A、x222 B、x C、6x D、x?y 3

2

48 =_____ (2) 2、计算: (1)

(4

(7

2x3x =_____ (3

=_____ 11?=______(5)=_____ (6

=_______ 4166 (8) =________ 43

3.当xy<0时,化简x?y?________ x2

学习反思:总结 本节课的收获与不足

- 16 -

二次根式的加减

一、学习目标

1、了解同类二次根式的定义。

2、能熟练进行二次根式的加减运算。

二、学习重点、难点

重点:二次根式加减法的运算。

难点:快速准确进行二次根式加减法的运算。

三、学习过程

(一)知识准备

1、含有________的字母,且相同字母的_______相同,这样的整式是同类项。

2、整式的加减运算实质就是____________________.

(二)新课学习

_________(先化简,化成最简二次根式)1、计算:??__________

=________________________(分配律)

=_________

2.几个二次根式化成最简二次根式,如果被开方数相同,则称它们是同类二次根式,所以同类二次根式首先必须是________二次根式,而且__________相同。

3.二次根式加减时,要先化成_________________,再把____________________进行合并。

(三)自主学习。仿例计算

(1)a?36a (2

- 17 -

(3)

1?6) (4)24?.5?(

8

(2)交流总结方法

(四)知识梳理

二次根式的加减法的步骤①化成____________; ②找出____________; ③合并_____________根式,不是同类二次根式的不能合并。

(五)达标测试:

1、选择题

(1

是( ).

A.①和② B.②和③ C.①和④ D.③和④

(2)下列各组二次根式中,是同类二次根式的是( ).

A

B

是同类二次根式的

C

D

(3)已知最简根式a2a?b与a是同类二次根式,则ab=_______.

- 18 -

2、计算:

(1

) (2)2x19x?6?2x

(3) ?(1

3?1

27)

(5) x1

x?4y?x1

2?yy

3、计算:

(1

(3) ?(1

3?1

27)

34x4)(48?20)?(?5) 6)23xx?(x21x?6xx4) (2)2x?8x3?22xy2(x?0,y?0)(4) (48?20)?(?5)

- 19 - ( (

二次根式的混合运算

一、学习目标

熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。

二、学习重点、难点

重点:熟练进行二次根式的混合运算。

难点:混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。

三、学习过程

(一)知识准备:

1、填空

(1)整式混合运算的顺序是:

(2)写出已经学过的乘法公式:

① ②

2、计算:

(1)6a

(3)2??

1b 3 (2)11? 41611? 25

- 20 -

(二)学习内容:

1、探究计算: (1)(?3)6 (2)(42?36)?22

2、探究计算:(1)2(? (2) (?

3.探究计算(1)(?3)(2?5) (2)(23?2)2

(三)相互交流,总结二次根式的混合运算的方法。

(四)知识梳理

整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛,可以是单项式、多项式,也可以代表二次根式,所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。

(五)达标练习

1、计算:

(1)(

40)?5 1227?24?3)? (2)(2?5)(2?3) 33

- 21 -

(3) (?90)? (4)

)(

(5)(32?23) (6)24?3??23

2、计算:

(1) (ab?3ab?

(2

)-

3、已知a?

200920094

、计算(3(3?=________________________. 23ab3)?(ab)(A>0,B>0) 12?1,b?12?1, a2?b2?10的值是__________。

- 22 -

5.已知3?5的整数部分是A,小数部分是B,则b(5+2)=________.

6.已知x=1

2?3,y=2+,求x2y+xy2的值。

学习反思:总结收获与不足。相互交流。

- 23 -

第21章《二次根式》复习(1)

一、学习目标

1、了解二次根式的定义,掌握二次根式有意义的条件和性质。

2、熟练进行二次根式的乘除法运算。

3、理解同类二次根式的定义,熟练进行二次根式的加减法运算。

4、了解最简二次根式的定义,能运用相关性质进行化简二次根式。

二、学习重点、难点

重点:二次根式的计算和化简。难点:二次根式的混合运算,正确依据相关性质化简二次根式。

三、复习过程

(一)知识梳理:(先独立解答以下知识点,后交流,检查知识点的不足)

1.二次根式有意义的条件是__________________________________。

a_______) 、a?( )2(a____) 2.二次根式的性质:①(a)?_______(2

? a a_____?20 a_____ ②a?_______?? 

??a a____?

3.二次根式的乘法法则:__________________________________________.

4.积的算数平方根的性质:________________________________________.

5.二次根式的除法法则:__________________________________________.

6.商的算数平方根的性质:________________________________________.

7. 最简二次根式满足的条件

①被开方数_________________②被开方数不含__________________的因数(因式)

8. 写出已经学过的乘法公式:

① ②

- 24 -

(二)知识点基础练习:

1.若A>0,A的平方根可表示为___________,4的算术平方根是________.

2.当a______

a______

3.以下代数式,_________(填序号)是二次根式。 ①a ②x?1 ③4x?4x?1 ④

4.若22x?2有意义,则x的取值范围是______________. 3?x

x?2有意义,则x的取值范围是______________. 1?x

?______.?48?72??________ 若5.

6.?27??20?_______ ;41?_______ 2

7.式子

2x?4?x?5x?4x?5成立的条件是____________________. 8.(3)?_______ (x?2)2?__________(x?2)

29.当(3?x)?x?3时,X的取值范围是_________________________.

210.当a<3时,化简(2a?1)?(a?3)2?____________.

11.下列二次根式是最简二次根式的是________(填序号)

①a ② a ③ a1 a ④22

- 25 -

12.与是同类二次根式的是_______.(填序号)

① ② 24 ③ 127 ④ 2

2213.若(x?2)?(x?2),X的取值范围是_________________________.

14.当X=_________时,最简二次根式?4x?5与32x?7能够合并。

15.若4?x?

16.如果x?2?

17.在实数范围内分解,9x4-25=_________________.

18.计算: x?4?y?3,则xy的值是___________. y?3?0,则x2+y2=________.

1(1) 2?

3?52

4

(4) (? (5)

(6)(2?)(2?)?(2?)

221x1x4x?6x?2x2 29x

- 26 -

第21章《二次根式》复习(2)

1、选择题:(32分 )(1)化简?52的结果是( )

A、5 B、-5 C、士5 D、25 (2)代数式x?4

x?2中,x的取值范围是( )

A、x??4 B、x?2 C、x??4且x?2

D、x??4且x?2

(3)下列各运算,正确的是( )

A、25?35?65 B 、?9???

C、?5??125?

(4

?1???25??93? 255?5??125 D、x2?y2?x2?y2?x?y y?0)是二次根式,化为最简二次根式是( ) A

y?0)

B、y?0) C

y?0) D、以上都不对 (5)化简?32

27的结果是( )

A1

B??C???D(6)a?,b?5,则( ) 5

A、a,b互为相反数 B、a,b互为倒数 C、ab?5 D、a=b

- 27 -

(7)在下列各式中,化简正确的是( )

A、511?3 B、??2322

32 C、ab?a42b D、x?x?xx?1

(8

)把(a?中根号外的(a?1)移人根号内得( )

B

D A??

C2.填空。(40分)

(1)下列式子①,②2a,③?a,④a?b,⑤n?1,⑥?3,⑦40,是二次根式的是(填序号)______________________________.

(2)若a?a,则a的取值范围是____________________.

(3)若x?2?2?x有意义,则x的取值范围是____________________。

2(4)当x____________时,(x?2)?2?x。 2222

. (5)当X<2时,化简(x?2)?4?x?__________

(6)当x=________时,代数式9x?1?3有最________值,是_________.

(7)若a?b?b?4b?4?0,则AB的值是______________。

(8)(a?1)(1?a)??a??a×成立的条件是____________________. 22

- 28 -

(9)在①a?b,②4a,③2b,④(填序号)是最简二次根式。

2、计算. (20分)

(1)27?23?45 (2)

(4)3) (5)

3、已知a?

4、计算:(21分)

(1)26?3?

(3

)(? 222222a2,⑤,⑥x?1,中______2

(3)2) 2x1x?6?2x?________. 34x3?2?211,b?求?的值(7分) 22ab31126?)(?) ? (2) (222232

- 29 -

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