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第六章__实数__讲义

发布时间:2013-11-24 11:39:29  

第一章 实数

1.1 认识无理数

一、学前准备

1、填空:(有理数的两种分类)

有理数 有理数

2、探究 把下列有理数写成小数的形式,你有什么发现?

3 , ?

二、探究新知

1、归纳: 任何一个有理数都可以写成_______小数或________小数的形式。反过来,任何______小数或____________小数也都是有理数

2、请用计算器把

2 和 写成小数的形式,你有什么发现?像这样的数我们把它叫什么数?你还能说出一些这样的数吗? 3479115 , , , , 581199

例1?3.141,

有理数{ }

无理数{ } ?22,7,?,?,1.414,?0.020202?,378

想一想:有理数与无理数的区别?

做一做 下列说法正确的是( )

A.分数是无理数 B.无限小数是无理数

C.不能写成分数形式的数是无理数 D.不能再数轴上表示的数是无理数

1.2 平方根、立方根

一、平方根

1. 平方根的含义

如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根。

即x?a,x叫做a的平方根。

2.平方根的性质与表示

⑴表示:正数a的平方根用?a表示,a叫做正平方根,也称为算术平方根,?a叫

1

2

做a的负平方根。 ⑵一个正数有两个平方根:?a (根指数2省略)

0有一个平方根,为0,记作0?0

负数没有平方根

⑶平方与开平方互为逆运算

开平方:求一个数a的平方根的运算。 a?0?aa2?a=?

??aa?0a?2?a (a?0) ⑷a的双重非负性

a?0且a?0 (应用较广)

Eg:x?4?4?x?y 得知x?4,y?0

⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位,它的正的平方根的小数点就相应地向右或

向左移动一位。

拓展:两次根式的运算

区分:4的平方根为____

4的平方根为____ 4?____

4开平方后,得____

?42?93??3.计算a的方法?7

????精确到某位小数 

*若a?b?0,则a?b

二、立方根和开立方

1.立方根的定义

如果一个数的立方等于a,呢么这个数叫做a的立方根,记作a

2. 立方根的性质

任何实数都有唯一确定的立方根。

正数的立方根是一个正数。

负数的立方根是一个负数。

0的立方根是0.

2

3. 开立方与立方

开立方:求一个数的立方根的运算。

3a?3?a

a3?a

?a??a (a取任何数) 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 *0的平方根和立方根都是0本身。

三、推广: n次方根

1. 如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于a,这个数就叫做a的n次方根。

当n为奇数时,这个数叫做a的奇次方根。

当n为偶数时,这个数叫做a的偶次方根。

2. 正数的偶次方根有两个。 ?a

0的偶次方根为0。 ?0

负数没有偶次方根。

正数的奇次方根为正。

0的奇次方根为0。

负数的奇次方根为负。

3. ?a??a

a?n?a (a?0); an?a (a?0); a?n?an (a?0)

例1.已知实数a、b、c满足,

(c?12

2) =0,,求a+b+c的值.

例2.若y?2x?1??2x?1,求x,y的值。

例3.若32a?1和3?3b互为相反数,求a

b的值。

例4.已知y??25?x2?3,求x取何值时,y有最大值。

3

练习:

1.y?2?x?x?2?x2?5,求yx的平方根和算术平方根。

2.若a、b互为相反数,c、d互为负倒数,求a3?b3?cd的值。

3.若x?1?|y?2|?0,求x+y的值。

4.已知:x?y?3与x?y?1互为相反数,求x+y的算术平方根

课后练习

一.填空题:

1.如果x2?16,那么x?_____;

2.144的平方根是______,64的立方根是_______;

?16

25?_____?4?_____

3.,81,4?____,?6?_____; 4

1693?______3?_____84.287,,??64?_____;

5.要切一面积为16平方米的正方形钢板,它的边长是__________米;

6.?的相反数是__________,绝对值是_________,倒数是_________; 8 ____________数和数轴上的点一一对应;

9.0.0144?_________;

2?210?27__________; 2???__________,?2???3???3???____________, ?2?2?_____;_ _

13?1

2______ 2; ?10.比较大小 ?______?, ?3.14 _______π,

32(x?1)?64,则x=______; 9x?4x12.若,则=______,若

?

13.______的倒数是12.

2x?4?(y?6)?0,那么x?y? ; 14.如果

3a?b?cd?______; dbac15.若、互为相反数,、互为负倒数,则

22x2?16y2?_______x?4y?2x?4y?2?0yx16.已知、满足,则;

21.(?5)2

的平方根是

二、 选择题

1.与数轴上的点一一对应的是( )

A.实数 B. 正数 C. 有理数 D. 整数

2.下列说法正确的是( ).

A.(-5)是??5?2的算术平方根 B.16的平方根是?4

C.2是-4的算术平方根 D.64的立方根是?4 3.如果x?1有意义,则x可以取的最小整数为( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

4.若 x?1?y?2??z?3?2?0 则x+2y+z= ( )

5

A.6 B.2 C.8 D.0

5一组数1?135,3.14,,?27,?,22,?343, 这几个数中,无理数的个数是 32246

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 ( ) 6 下列说法不正确的是( )

A 若a为任一有理数,则a的倒数是1

a B 若a?b,则a??b

C 若a?1=3则a?1

3 D x2?1一定是正数

7.一个自然数的算术平方根是x,把么下一个与他它相邻的自然数的算术平方根是(

A. x2?1 B. x?1 C. x?1 D. x2?1

8.若一个数的平方根是?8,则这个数的立方根是( )

A. ?2 B. ?4 C. 2 D. 4

三.解答题:

?328?1.2?22

2.

3.2aa?3a3 4.(5?1)(?1)

40?51

5.10? 6.?2?2

x7.已知y?x?2?2?x?3,求y的平方根;

6.2 实 数

1. 实数:有理数和无理数统称为实数

实数的分类:

① 按属性分类: ② 按符号分类

) 6

2. 实数和数轴上的点的对应关系:

实数和数轴上的点一一对应,即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示. 数轴上的每一个点都可以表示一个实数.

2的画法:画边长为1的正方形的对角线

在数轴上表示无理数通常有两种情况: 如;2 尺规可作的无理数

π 尺规不可作的无理数 ,只能近似地表示

思考:

(1)-a2一定是负数吗?-a一定是正数吗?

(2

)大家都知道

是一个无理数,那么-1在哪两个整数之间? (3)的整数部分为a,小数部分为b,则a= (4)判断下面的语句对不对?并说明判断的理由。

① 无限小数都是无理数;

② 无理数都是无限小数;

③ 带根号的数都是无理数;

④ 有理数都是实数,实数不都是有理数;

⑤ 实数都是无理数,无理数都是实数;

⑥ 实数的绝对值都是非负实数;

⑦ 有理数都可以表示成分数的形式。

3. 实数大小比较的方法

一、平方法: 比较32和的大小

7

二、移动因式法: 比较2和32的大小

三、求差法: 比较5?1

2和1的大小

四、求商法: 比较435和的大小

练习:

一、比较下列各组数的大小:

① ?2和?3

② 3和3?2

8

③ 和34

5

④ ?7和-2.45

⑤ 7?2

3与1

3

二、解答题

1、当a?1

2时,化简 ?4a?4a2?|2a?1|

2、已知实数a 、b在数轴上表示的点如上图,

化简 a?b+(a?b?1)2

练习:平方根

1. 36的平方根是 ;的算术平方根是 ;

2. 平方数是它本身的数是 ( ) ; 9

平方数是它的相反数的数是 ( ) ;

3. 当x=__________ 时,x2?1有意义;

当x=__________ 时,-x?12

2)有意义;

当x=__________ 时,3x?1有意义;

当x=__________ 时,-x有意义;

4.下列各式中,正确的是( ) (A)(?2)2??2 (B) (?3)2?9 (C) ?9??3 (D) ???3

5.使x +1

x-2有意义的x的取值范围是( )

A.x≥0 B.x≠2 C.x>2 D.x≥0且x≠2

a2

6.若a<0,则2a等于( )

A、1

2 B、?11

2 C、±2 D、0

7. 若|1-x|-(x?4)2=2x-5,则x的取值范围是( )

A.x>1 B.x<4 C.1≤x≤4 D.以上都不对

8. 求下列χ的值。

①16x2-9=40 ②(x?1)2?4

9. 计算

⑴ 49

144?144

9 ⑵449 ⑶?31

16?4

10.若1<x<3

练习:立方根 1.当x= _________时,x?2有意义;

2.若x4?16,则x=_________;若3n?81,则n= ________。 10

3.若x??2,则x= __________; 若??x,则x =__________;

4.若n为正整数,则2n?1等于( )

A. -1 B. 1 C. ±1 D. 2n+1

5.求下列χ的值。

①(2x?1)3??8 ②27(x?2)2=-12

33

6.(1)?337

8?8?1

(3)?-343?0.25?(?6)3

(5)24?45?200?9

(2)?0.973?(?10)2?2?38(4)2?6?6 3(6)(?1)2?(1?5139)(3?1) 11

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