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人教版九年级数学上册全册导学案(许艳)

发布时间:2013-09-17 19:20:10  

第22章 二次根式导学案

22.1 二次根式(1)

一、学习目标

1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。

3、掌握二次根式的基本性质:a?0(a?0)和(a)2?a(a?0)

二、学习重点、难点

重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质a?0(a?0)和(a)2?a(a?0)。

三、学习过程

(一)复习引入:

(1)已知x2 = a,那么a是x的______; x是a的________, 记为______, a一定是_______数。

4(2)4的算术平方根为2

,用式子表示为;

正数a的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______;

式子a?0(a?0)的意义是 。

(二)提出问题

1、式子a表示什么意义?

2、什么叫做二次根式?

3、式子a?0(a?0)的意义是什么?

4、(a)2?a(a?0)的意义是什么?

5、如何确定一个二次根式有无意义?

(三)自主学习

自学课本第2页例前的内容,完成下面的问题:

1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么?

a(a?0)2x?1 3,?,343,

2、计算 :

(1) (4)2 (3)2

1

(3)(.5)2 (4)(12) 3

根据计算结果,你能得出结论:

,其中a?0, (a)2?________

(a

)2?a(a?0)的意义是

3、当a为正数时指a的 ,而0的算术平方根是 ,

中,负数 ,只有非负数a才有算术平方根。所以,在二次根式

字母a必须满足 ,

(三)合作探究 才有意义。

1、学生自学课本第2页例题后,模仿例题的解答过程合作完成练习 : x取何值时,下列各二次根式有意义?

①3x?4 1 ③? 2?x

2、(1)若有意义,则a的值为___________.

在实数范围内有意义,则x为( )(2)若。

A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数

(四)展示反馈 (学生归纳总结)

1.非负数a的算术平方根a(a≥0)叫做二次根式.

二次根式的概念有两个要点:一是从形式上看,应含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数a必须是非负数。

2.式子a(a?0)的取值是非负数。

(五)精讲点拨

1、二次根式的基本性质(a)2=a成立的条件是a≥0,利用这个性质可以求二次根式的平方,如()2=5;也可以把一个非负数写成一个数的平方 2

形式,如5=()2.

2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值,实际上是解所含字母的不等式。

(五)拓展延伸

?2x1、(1)在式子中,x的取值范围是____________. 1?x

(2)已知x2?4+2x?y=0,则x-y= _____________.

(3)已知y=3?x+x?3?2,则yx= _____________。

2、由公式(a)2?a(a?0),我们可以得到公式a=(a)2 ,利用此公式可以

把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。

(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式:

5 0.35

(2)在实数范围内因式分解

x2?7 4a2-11

(六)达标测试

A组

(一)填空题: 2?3?1、???? ?5?2、 在实数范围内因式分解:

(1)x2-9= x2 - ( )2= (x+ ____)(x-____)

222(2) x - 3 = x - ( ) = (x+ _____) (x- _____)

(二)选择题:

?13)2的值为( ) 1、计算 (

A. 169 B.-13 C±13 D.13

3

2、已知

?0,则x为( )

的值不能确定

3、下列计算中,不正确的是 ( )。 A. 3= ()2 B 0.5=(.5)2 C .(.3)2=0.3 D (5)2=35

B组

(一)选择题:

1、下列各式中,正确的是( )。

4?9?9?4?4?9?4

254?2?4?2?366

2、 如果等式(?x)2= x成立,那么x为( )。

A x≤0; B.x=0 ; C.x<0; D.x≥0

(二)填空题:

1、 若a?2??0,则 a2?b

2、分解因式:

X4 - 4X2 + 4= ________.

3、当x=

其最小值是 。

二次根式(2)

一、学习目标

1、掌握二次根式的基本性质:a2?a

2、能利用上述性质对二次根式进行化简.

二、学习重点、难点

重点:二次根式的性质a2?a.

难点:综合运用性质a2?a进行化简和计算。

三、学习过程

4

(一)复习引入:

(1)什么是二次根式,它有哪些性质?

(2

)二次根式有意义,则x 。 (3)在实数范围内因式分解:

x2-6= x2 - ( )2= (x+ ____)(x-____)

(二)提出问题

1、式子a2?a表示什么意义?

2、如何用来化简二次根式?

3、在化简过程中运用了哪些数学思想?

(三)自主学习

自学课本第3页的内容,完成下面的题目:

42()?2224? 0.2? 5 20? a2?a1、计算:

观察其结果与根号内幂底数的关系,归纳得到: 当a?0时,a?

42(?)?(?4)2?(?0.2)2?(?20)2?5 2、计算:

观察其结果与根号内幂底数的关系,归纳得到:当a?0时,a?

3、计算:02? 当a?0时,a?

(四)合作交流

1、归纳总结

将上面做题过程中得到的结论综合起来,得到二次根式的又一条非常重要的性质:

? a a?0?a2?a?? 0 a?0

??a a?0?

2、化简下列各式:

5

?

______?

______

?_______

?_____(a<0)

3、请大家思考、讨论二次根式的性质(a)2?a(a?0)与a2?a有什么区别与联系。

(五)展示反馈

1、化简下列各式 (1)4x2(x?0) (2)

2、化简下列各式 (1)(a?3)2(a?3) (2)

(六)精讲点拨 利用a2?a可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来,达到化简的目的,进行化简的关键是准确确定“a”的取值。

(七)拓展延伸

(1)a、b、c为三角形的三条边,则(a?b?c)2?b?a?c?____________.

(2) 把(2-x)1的根号外的(2-x)适当变形后移入根号内,得( ) x?2x4 2x?32(x<-2)

A、2?xB、x?2 C、?2?x D、?x?2

(3) 若二次根式x-4│-│7-x│。

6

(八)达标测试:

A组

1、填空:(1)、(2x?1)2-(2x?3)2(x?2)=_________.

(2)、(??4)22、已知2<x<3,化简:(x?2)2?x?3

B组

111、 已知0 <x<1,化简:(x?)2?4-(x?)2?4 xx

a的正方形方孔.若沿3

图中虚线锯开,可以拼成一个新的正方形桌面.你会拼吗?试求出新的正方形边长.

22.2二次根式的乘除法

二次根式的乘法

一、学习目标

1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。 2、 边长为a的正方形桌面,正中间有一个边长为

2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。

7

二、学习重点、难点

重点: 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。 难点: 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二

次根式的化简。

三、学习过程

(一)复习回顾

1、计算:

(1)43=______ 4?9=_______

(2) 325 =_______ ?25=_______

(3) 3 =_______ ?36=_______

2、根据上题计算结果,用“>”、“<”或“=”填空:

(1)43_____4?9

(2)325____?25

(3) 3__?36

(二)提出问题

1、二次根式的乘法法则是什么?如何归纳出这一法则的?

2、如何二次根式的乘法法则进行计算?

3、积的算术平方根有什么性质?

4、如何运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。

(三)自主学习

自学课本第5—6页“积的算术平方根”前的内容,完成下面的题目:

1、用计算器填空:

(1)23____6 (2)3____

(3)23____ (4)435____20

2、由上题并结合知识回顾中的结论,你发现了什么规律?

能用数学表达式表示发现的规律吗?

3、二次根式的乘法法则是:

8

(四)合作交流

1、自学课本6页例1后,依照例题进行计算:

(1)9327 (2)2332

(3)5a211ab (4)2a2b 53

2、自学课本第6—7页内容,完成下列问题:

(1)用式子表示积的算术平方根的性质: 。

(2)化简: ① ②a2b2

③25?49 ④?64

(五)展示反馈

展示学习成果后,请大家讨论:对于9327的运算中不必把它变成243后再进行计算,你有什么好办法?

9

(六)精讲点拨

1、当二次根式前面有系数时,可类比单项式乘以单项式法则进行计算:即系数之积作为积的系数,被开方数之积为被开方数。

2、化简二次根式达到的要求:

(1)被开方数进行因数或因式分解。

(2)分解后把能开尽方的开出来。

(七)拓展延伸

1、判断下列各式是否正确并说明理由。

(1)(?4)?(?9)=?4??9

(2)3a2b3=ab3b

(3)

6

-2)=6?(?2)8?6=?1248

(4)499? =4??=4?3=12 1616

2、不改变式子的值,把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。 (1) -321 (2) ?2a 32a

(八)达标测试:

A组

1、选择题

(1)等式x?1?x?1?x2?1成立的条件是( )

A.x≥1 B.x≥-1 C.-1≤x≤1 D.x≥1或x≤-1

(2)下列各等式成立的是( ).

A.45325=85 B.53342=20

10

C.43332=7 D.5342=206

(3)二次根式(?2)2?6的计算结果是( )

A.26 B.-2 C.6 D.12

2、化简:

(1); (2)32x4;

3、计算:

(1)?30; (2)3?2

75;

B组

1、选择题

(1)若a?2?b2?4b?4?c2?c?1?0,则b2

4??c=(

A.4 B.2 C.-2 D.1

(2)下列各式的计算中,不正确的是( )

A.(?4)?(?6)??4??6=(-2)3(-4)=8

B.4a4?4?a4?22?(a2)2?2a2

C.32?42?9?16?25?5

D.2?122?(13?12)(13?12)??12??12?25?1

2、计算:(1)63(-26); (2

11 )

二次根式的除法

一、学习目标

1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。

二、学习重点、难点

重点: 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。 难点: 正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二

次根式的化简。

三、学习过程

(一)复习回顾

1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质

2、计算: (1)33(-46) (2)ab?6ab3

3、填空: (1

(2

)(3

(二)提出问题:

1、二次根式的除法法则是什么?如何归纳出这一法则的?

2、如何二次根式的除法法则进行计算?

3、商的算术平方根有什么性质?

4、如何运用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简?

(三)自主学习

自学课本第7页—第8页内容,完成下面的题目:

1、由“知识回顾3题”可得规律:

12

2、利用计算器计算填空:

(1

)=_________(2

=_________(3

=______

规律:

3、根据大家的练习和解答,我们可以得到二次根式的除法法则: 。

把这个法则反过来,得到商的算术平方根性质: 。

(四)合作交流

1、 自学课本例3,仿照例题完成下面的题目:

计算:(1

2、自学课本例4,仿照例题完成下面的题目:

化简:(1

)(2

(2

(五)精讲点拨

1、当二次根式前面有系数时,类比单项式除以单项式法则进行计算:即系数之商作为商的系数,被开方数之商为被开方数。

2、化简二次根式达到的要求:

(1)被开方数不含分母;

13

(2)分母中不含有二次根式。

(六)拓展延伸

阅读下列运算过程:

???? 35

数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。

利用上述方法化简:(1)

=_________

=_________ 4

(3

(七)达标测试:

A组

1、选择题

(1

)计算的结果是( ). A.2

7.2 C

D

. 77

(2

)化简的结果是( ) A.

- B.

C.

32、计算:

(1)

14 248 (2) 2x3x

(3)

11? (4

416

B组

用两种方法计算:

(1

最简二次根式

一、学习目标

1、理解最简二次根式的概念。

2、把二次根式化成最简二次根式.

3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。

二、学习重点、难点

重点:最简二次根式的运用。

难点:会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。

三、学习过程

(一)复习回顾

1、化简(1)96x4 (2

2、结合上题的计算结果,回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质

化简二次根式达到的要求是什么?

15 6(2) 43

(二)提出问题:

1、什么是最简二次根式?

2、如何判断一个二次根式是否是最简二次根式?

3、如何进行二次根式的乘除混合运算?

(三)自主学习

自学课本第9页内容,完成下面的题目:

1、满足于 , 的二次根式称为最简二次根式.

2、化简:

(1)

(3)

(四)合作交流

2121、计算: ?2? 33520

2、比较下列数的大小

(1)2.8与23 (2)?76与?6 4

A

3、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,

16 BC

AC=3cm,BC=6cm,求AB的长.

(五)精讲点拨

1、化简二次根式的方法有多种,比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。

2、判断是否为最简二次根式的两条标准:

(1)被开方数不含分母;

(2)被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2.

(六)拓展延伸

观察下列各式,通过分母有理化,把不是最简二次根式的化成最简二次根式:

1

2?1

1

?2?1?(2?1)(2?1)(2?1)??2?1?2?1, 2?1??2??2, 3?21?(?2)(?2)(3?2)

同理可得:1

2?3 =2?,??

从计算结果中找出规律,并利用这一规律计算

(1

2?1?1

?2???+1

2009?20082)(?1)的值.

(七)达标测试:

A组

1、选择题

17

(1

(y>0)是二次根式,化为最简二次根式是( ). A

(y>0) B

.y>0) C

y>0) D.以上都不对 (2)化简二次根式a?a?2的结果是 2a

A、?a?2 B、-?a?2 C、a?2 D、-a?2

2、填空:

(1

)化简.(x≥0)

(2)已知x?

3、计算:

371?(1)? (2) 331?(?14)?1

442287451

21?2,则x?1的值等于__________. x

B组

1、计算:

2、若x、y为实数,且

x?y?x?y的值。 233bab5?(?ab)?3(a>0,b>0) b2a

18

22.3二次根式的加减法

二次根式的加减法

一、学习目标

1、了解同类二次根式的定义。

2、能熟练进行二次根式的加减运算。

二、学习重点、难点

重点:二次根式加减法的运算。

难点:快速准确进行二次根式加减法的运算。

三、学习过程

(一)复习回顾

1、什么是同类项?

2、如何进行整式的加减运算?

3、计算:(1)2x-3x+5x (2)a2b?2ba2?3ab

(二)提出问题

1、什么是同类二次根式?

2、判断是否同类二次根式时应注意什么?

3、如何进行二次根式的加减运算?

(三)自主学习

自学课本第10—11页内容,完成下面的题目:

1、试观察下列各组式子,哪些是同类二次根式:

(1)22与32 (2)2与

(3)5与20 (4)与

从中你得到: 。

2、自学课本例1,例2后,仿例计算:

(1

(2

(3)

3

19

通过计算归纳:进行二次根式的加减法时,应 。

(四)合作交流,展示反馈

小组交流结果后,再合作计算,看谁做的又对又快!限时6分钟 (1) ?(

(3) x21x1x1?4y??y?6x) (4)x9x?(x2

x2y3x411?) (2) (48?20)?(?5) 327

(五)精讲点拨

1、判断是否同类二次根式时,一定要先化成最简二次根式后再判断。

2、二次根式的加减分三个步骤:

①化成最简二次根式;

②找出同类二次根式;

③合并同类二次根式,不是同类二次根式的不能合并。

(六)拓展延伸

1、如图所示,面积为48cm2的正方形的四个角是

面积为3cm2的小正方形,现将这四个角剪掉,制

作一个无盖的长方体盒子,求这个长方体的高和底

20

面边长分别是多少?

2、已知4x2+y2-4x-6y+10=0,

2求(

3-(x

)的值.

(七)达标测试:

A组

1、选择题

(1

与是同类二次根式的是( ).

A.①和② B.②和③

C.①和④ D.③和④

(2)下列各组二次根式中,是同类二次根式的是( ).

A

C

D

2、计算:

(1

) (2)

21 2x19x?6?2x 34x

B组

1、选择:已知最简根式a2a?b与a7是同类二次根式,则

满足条件的 a,b的值( )

A.不存在 B.有一组

C.有二组 D.多于二组

2、计算:

(1

二次根式的混合运算

一、学习目标

熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合

运算。

二、学习重点、难点

重点:熟练进行二次根式的混合运算。

难点:混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。

三、学习过程

(一)复习回顾:

1、填空

(1)整式混合运算的顺序是:

(2)二次根式的乘除法法则是:

(3)二次根式的加减法法则是:

(4)写出已经学过的乘法公式:

22 (22x?8x3?22xy2(x?0,y?0)

① ②

2、计算:

(1)62a2

(3)2??

(二)合作交流

1、探究计算:

(1)(?)3 (2)(42?36)?22

2、自学课本11页例3后,依照例题探究计算:

(1)(2?3)(2?5) (2)(2?2)2

(三)展示反馈

计算:(限时8分钟) 11?50 25111b (2)? 3416

23

(1)(

1227?24?3)? (2)(23?)(2?) 33

(3)(32?23)2 (4)

)(

(四)精讲点拨

整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛,可以是单项式、多项式,也可以代表二次根式,所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。

(五)拓展延伸

同学们,我们以前学过完全平方公式(a?b)2?a2?2ab?b2,你一定熟练掌握了吧!现在,我们又学习了二次根式,那么所有的正数(包括0)都可以看作是一个数的平方,如3=()2,5=(5)2,下面我们观察:

1)2?2?2?112?2?1?3?

反之,3??2?1?1)2

3??1)2

∴ 3?22=2-1

仿上例,求:(1);4?23

24

(2)你会算4?吗?

(3)若a?2b?m?n,则m、n与a、b的关系是什么?并说明理由.

(六)达标测试:

A组

1、计算:

(1)(?90)? (2)24??6?2

(a3b?3ab?ab3)?(ab)- (3)(a>0,b>0)(4

2、已知a?

B组

1、计算:(1)(?2?1)(?2?1)(2

)(32009(32009

25 12?1,b?12?1,求a2?b2?10的值。

2、母亲节到了,为了表达对母亲的爱,小明做了两幅大小不同的正方形卡片送给妈妈,其中一个面积为8cm2,另一个为18cm2,他想如果再用金彩带把卡片的边镶上会更漂亮,他现在有长为50cm的金彩带,请你帮忙算一算,他的金彩带够用吗?

《二次根式》复习

一、学习目标

1、了解二次根式的定义,掌握二次根式有意义的条件和性质。

2、熟练进行二次根式的乘除法运算。

3、理解同类二次根式的定义,熟练进行二次根式的加减法运算。

4、了解最简二次根式的定义,能运用相关性质进行化简二次根式。

二、学习重点、难点

重点:二次根式的计算和化简。

难点:二次根式的混合运算,正确依据相关性质化简二次根式。

三、复习过程

(一)自主复习

自学课本第13页“小结”的内容,记住相关知识,完成练习:

1.若a>0,a的平方根可表示为___________

a的算术平方根可表示________

2.当a______

当a______

3

?________?______

4.?48?72??________

5.?27??20?_______

26

(二)合作交流,展示反馈

1、式子

12、计算: (1) 2?

3?524x?4?x?5x?4x?5成立的条件是什么?

3.

(1)

(?2

(三)精讲点拨

在二次根式的计算、化简及求值等问题中,常运用以下几个式子:

(1

)2?a(a?0)与a?2(a?0)

? a a?0?0 a?0 (2)a2?a?? 

??a a?0?

(3

?a?0,b?0)?a?0,b?0)

(4

)?a?0,b?0)?a?0,b?0) (5)(a?b)2?a2?2ab?b2与(a?b)(a?b)?a2?b2

(四)拓展延伸

1、用三种方法化简6

解:第一种方法:直接约分

27

第二种方法:分母有理化

第三种方法:二次根式的除法

2、已知m,m为实数,满足m?

求6m-3n的值。

(五)达标测试:

A组

1、选择题:

(1)化简n2?9?9?n2?4, n?3?5?2的结果是( )

A 5 B -5 C 士5 D 25

(2)代数式x?4

x?2中,x的取值范围是( )

A x??4 B x?2 C x??4且x?2 D x??4且x?2

(3)下列各运算,正确的是( ) A 2?3?6 ?1? B ?9??????25?93? 255

C ?5??125??5??125

28

D x2?y2?x2?y2?x?y

(4

)如果y?0)是二次根式,化为最简二次根式是( )

A y?

0) B y?0)

C y?0) D.以上都不对 ?32

27

3(5)化简的结果是( )

3A???B???C???D???2、计算. (1)27?

2?45

(3)

2) (4)3)2

3、已知a?

29 ?23?211,b?求?的值 22ab

B组

1、选择:

(1)a?1

5,b?5

5,则( )

A a,b互为相反数 B a,b互为倒数 C ab?5 D a=b

(2)在下列各式中,化简正确的是( ) A 5

3?3 B 11

2??22 C a4b?a2 D x3?x2?xx?1

(3)

把(a?1)中根号外的(a?1)移人根号内得(

A??BCD

2、计算:

(1)2??? (2)

2

(3

)2(?2

3、归纳与猜想:观察下列各式及其验证过程:

30 )

????????? (1)按上述两个等式及其验证过程的基本思路, 猜想4

(2)针对上述各式反映的规律,写出n(n为任意自然数,

且n≥2)表示的等式并进行验证.

参考答案

二次根式(一)

(五)拓展延伸

11、 (1)x?,且x??1 (2)?6 (3)?8 24的变化结果并进行验证. 15

2、

(1)(2????????(2

(2)(xx???????(2aa?

(六)达标测试

(A组)(一)填空题:

31、 2、(1)x2 - 9= x2 -(3)2=(x+ 3)(x-3); 5

(2)x2 - 3 = x2

2

(二)选择题:

1、D 2、C 3、D

(B组)(一)选择题:

1、 B 2、A

(二)填空题:

31

1、 1 2

、(x2?2)(xx 3、?

二次根式(二)

(五)展示反馈 5,0。 4

1、(1)2x (2) x2 2、(1)a?3(2)?2x?3

(七)拓展延伸

(1)2a (2)D (3) ?3

(八)达标测试:

A组 1、(1)、2 (2)、4?? 2、1 B组 1、2x 2、 22

3a

22.2二次根式的乘除法

二次根式的乘法

(七)拓展延伸

1、(1)错(2)错(3) 错(4)错

2、(1) -6 (2) ?2a

(八)达标检测:

A组1、(1) A (2) D (3) A

2、(1)6 (2)42x2;

3、(1)6 (2)2

5

B组1、(1) B (2) A

2、(1)?483 (2)?4ab2; 二次根式的除法

(六)拓展延伸 (1)3 (2)26 (3) 6 (

(七)达标测试:

A组1、(1) A(2)C

32 4)22

2、(1)3xx (2) (3)2 (4) 8y62

B组(1)22

(四)合作交流

1、1

2、(1)2.8>2

3、AB=3.

(六)拓展延伸

(1

2?1?1

?2(2)2 4最简二次根式 3 (2)?76??67 4???+1

2009?20082)(?1)=2008.

(七)达标测试:

A组1、(1) C (2) B 2、(1)xx2?y2(2)4

3、(1) 23 (2) -22

B组1、 a2b2ab 2、37 4

22.3二次根式的加减法

二次根式的加减法

(四)合作交流,展示反馈

(1)

(3) ?(4

)4 (六)拓展延伸

33

1、高

:

底面边长

(七)达标测试:

A组1、(1) C (2)D

2、(1

)? (2

B组1、B 2、(1

)(2

)(2y?x二次根式的混合运算

(三)展示反馈

(1

)6?(2

)6

(3

)30?(4)?3

(五)拓展延伸

(1

)1?(2

1(3)a?m?n,b?mn

(六)达标测试:

A组1、(1

)4? (2

)?

(3

)a?b? (4)26

2、4

B组1、(1

)2)?1 2、够用

《二次根式》复习

(一)自主复习

1

.a?15,a?? 233.??3;2? 4.442; 2 5.53; 35

(二)合作交流,展示反馈

34

1、x?5 2、(1) 55x32 (2) 3y10

3.

(1) 30?126

(四)拓展延伸

1、6 2、5

(五)达标测试:

A组1、(1)A (2) B (3) B (4) C (5)C

2、(1)3?3 (2) 5 2

(3)a?4 (4)x?9?2x

3、42

B组1、(1) D (2)C (3)D

2、(1

)(3)36 (2)

2

3、

(1)?

? (2)

35

第二十三章 一元二次方程

23.1 一元二次方程(1课时)

学习目标:

1、会根据具体问题列出一元二次方程,体会方程的模型思想,提高归纳、分析的能力。

2、理解一元二次方程的概念;知道一元二次方程的一般形式;会把一个一元二次方程化为一般形式;会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

重点:由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。

难点:由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。

导学流程:

自学课本导图,走进一元二次方程

分析:现设长方形绿地的宽为x米,则长为 米,可列方程 x( )= ,去括号得 ①. 你知道这是一个什么方程吗?你能求出它的解吗?想一想你以前学过什么方程,它的特点是什么?

探究新知

【例1】小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子,如果要求长方体的底面积为81cm2,那么剪去的正方形的边长是多少?

36

设剪去的正方形的边长为xcm,你能列出满足条件的方程吗?你是如何建立方程模型的?

合作交流

动手实验一下,并与同桌交流你的做法和想法。

列出的方程是 ② .

自主学习

【做一做】根据题意列出方程:

1、一个正方形的面积的2倍等于50,这个正方形的边长是多少?

2、一个数比另一个数大3,且这两个数之积为这个数,求这个数。

3、一块面积是150cm2长方形铁片,它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少?

观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征,类比一元一次方程的定义,自己试着归纳出一元二次方程的定义。

展示反馈

【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。

37

【我学会了】

1、只含有 个未知数,并且未知数的最高次数是 ,

这样的 方程,叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式: ,其中 二次项, 是一次项, 是常数项, 二次项系数 , 一次项系数。

【例2】 将下列一元二次方程化为一般形式,并分别指出它们的二次

项、一次项和常数项及它们的系数。

(1)4x2?81(2)3x(x?1)?5(x?2)

【巩固练习】教材第19页练习

归纳小结

1、本节课我们学习了哪些知识?

2、学习过程中用了哪些数学方法?

3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么?

达标测评

(A)1、判断下列方程是否是一元二次方程;

(1)2x?123x??0( )(2)2x2?y?5?0 ( ) 32

(3) ax2?bx?c?0 ( ) (4)4x2?1?7?0 ( ) x

2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项:

(1)3x2-x=2; (2)7x-3=2x2;

(3)(2x-1)-3x(x-2)=0 (4)2x(x-1)=3(x+5)-4.

3、判断下列方程后面所给出的数,那些是方程的解;

38

(1)2x(x?1)?4(x?1) ±1 ±2;

(2)x2?2x?8?0 ±2, ±4

(B)1、把方程mx2?nx?mx?nx2?q?p (m?n?0)化成一元二次方程的一般形式,再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。

2、要使(k?1)xk?1?(k?1)x?2?0是一元二次方程,则k=_______.

3、已知关于x的一元二次方程(m?2)x2?3x?m2?4?0有一个解是0,求m的值。

拓展提高

1、已知关于x的方程(k?2)x2?kx?x2?1。问

(1)当k为何值时,方程为一元二次方程?

(2)当k为何值时,方程为一元一次方程?

2、思考题:你能给出一元三次方程的概念及一般形式吗?

23.2 一元二次方程的解法(5课时)

第1课时

39

学习目标:1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程,会用直接开平方法解形如x2=a(a≥0)或(mx+n)2=a(a≥0)的方程;会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些一元二次方程;

2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系,体会两者之间相互比较和转化的思想方法;

3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。

重点:掌握用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤。

难点:理解并应用直接开平方法和因式分解法解特殊的一元二次方程。 导学流程:

自主探索

试一试 解下列方程,并说明你所用的方法,与同伴交流.

(1)x2=4; (2)x2-1=0;

解:x=____ 解: 左边用平方差公式分解因式,得

x=____ ______________=0,

必有 x-1=0,或______=0,

得x1=___,x2=_____.

精讲点拨

(1)这种方法叫做直接开平方法.

(2)这种方法叫做因式分解法.

合作交流

(1) 方程x2=4能否用因式分解法来解?要用因式分解法解,首先应

将它化成什么形式?

(2) 方程x-1=0能否用直接开平方法来解?要用直接开平方法

解,首先应将它化成什么形式?

课堂练习 反馈调控

40 2

1.试用两种方法解方程x2-900=0.

(1)直接开平方法 (2) 因式分解法

2.解下列方程:

(1)x2-2=0; (2)16x2-25=0.

解(1)移项,得x2=2. (2) 移项,得_________. 直接开平方,得x??2. 方程两边都除以16,得______ 所以原方程的解是 直接开平方,得x=___. x1?2,x2?2. 所以原方程的解是 x1=___,x2=___.

3.解下列方程:

(1)3x2+2x=0; (2)x2=3x.

解(1)方程左边分解因式,得_______________

所以 __________,或____________

原方程的解是 x1=______,x2=______

(2)原方程即_____________=0.

方程左边分解因式,得____________=0.

所以 __________,或________________

原方程的解是 x1=_____,x2=_________

总结归纳

以上解方程的方法是如何使二次方程转化为一次方程的?用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤分别是什么?

41

巩固提高

解下列方程:

(1)(x+1)2-4=0; (2)12(2-x)2-9=0.

分 析 两个方程都可以转化为( )2=a的形式,从而用直接开平方法求解.

解:(1)原方程可以变形为(_____)2=____,

(2)原方程可以变形为________________________,

有 ________________________.

所以原方程的解是 x1=________,x2=_________.

课堂小结

你今天学会了解怎样的一元二次方程?步骤是什么?它们之间有何联系与区别?(学生思考整理)

达标测评

(A)1、解下列方程:

(1)x2=169; (2)45-x2=0; (3)12y2-25=0;

(4)x2-2x=0; (5)(t-2)(t +1)=0;(6)x(x+1)-5x=0.

(7) x(3x+2)-6(3x+2)=0.

(B)2、小明在解方程x2=3x时,将方程两边同时除以x,得x=3,这样做法对吗?为什么会少一个解?

42

拓展提高

1、解下列方程:

(1)x2+2x-3=0 (2) x2-50x+225=0

(教师引导学生用十字相乘法分解因式。)

2、构造一个以2为根的关于x 的一元二次方程。

第 2 课 时

学习目标:

1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程;

2、理解解方程中的程序化,体会化归思想。

重点:用配方法解数字系数的一元二次方程;

难点:配方的过程。

导学流程

自主学习

自学教科书例4,完成填空。

精讲点拨

上面,我们把方程x2-4x+3=0变形为(x-2)2=1,它的左边是一个含有未知数的________式,右边是一个_______常数.这样,就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

练一练 :配方.填空:

43

(1)x2+6x+( )=(x+ )2;

(2)x2-8x+( )=(x- )2;

3(3)x2+x+( )=(x+ )2; 2

从这些练习中你发现了什么特点?

(1)________________________________________________

(2)________________________________________________ 合作交流

用配方法解下列方程:

(1)x2-6x-7=0; (2)x2+3x+1=0.

解(1)移项,得x2-6x=____.

方程左边配方,得x2-22x23+__2=7+___,

即 (______)2=____.

所以 x-3=____.

原方程的解是 x1=_____,x2=_____.

(2)移项,得x2+3x=-1.

方程左边配方,得x2+3x+( )2=-1+____, 即 _____________________

所以 ___________________

原方程的解是: x1=______________x2=___________

总结规律

用配方法解二次项系数是1的一元二次方程?有哪些步骤?

深入探究

用配方法解下列方程:

44

(1)4x2?12x?1?0 (2)3x2?2x?3?0

这两道题与例5中的两道题有何区别?请与同伴讨论如何解决这个问题?请两名同学到黑板展示自己的做法。

课堂小结

你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程?有哪些步骤?(学生思考后回答整理)

达标测评

(A)用配方法解方程:

(1)x2+8x-2=0 (2)x2-5x-6=0. (3)2x2-x=6

(4)(4)x2+px+q=0(p2-4q≥0).

(5)4x2-6x+( )=4(x- )2=(2x- )2.

拓展提高

已知代数式x2-5x+7,先用配方法说明,不论x取何值,这个代数式的值总是正数;再求出当x取何值时,这个代数式的值最小,最小值是多少?

第 3 课 时

学习目标

45

1、经历推导求根公式的过程,加强推理技能训练,进一步发展逻辑思维能力;

2、会用公式法解简单系数的一元二次方程;

3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。

重点:用公式法解简单系数的一元二次方程;

难点:推导求根公式的过程。

导学流程

复习提问:

1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些?

2、用配方法解方程3x2-6x-8=0;

3、你能用配方法解下列方程吗?请你和同桌讨论一下.

ax2+bx+c=0(a≠0).

推导公式

用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).

因为a≠0,方程两边都除以a,得

_____________________=0.

bx=________, a

bc配方,得 x2+x+______=______-, aa移项,得 x2+

即 (____________) 2=___________

因为 a≠0,所以4 a2>0,当b2-4 ac≥0时,直接开平方,得 _____________________________.

所以 x=_______________________

即 x=_________________________

由以上研究的结果,得到了一元二次方程ax2 +bx+c=0的求根公 46

式:

精讲点拨

、b、c的值,直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法.

合作交流

b2-4 ac为什么一定要强调它不小于0呢?如果它小于0会出现什么情况呢?

展示反馈

学生在合作交流后展示小组学习成果。

① 当b2-4ac>0时,方程有__个________的实数根;(填

相等或不相等)

② 当b2-4ac=0时,方程有___个____的实数根

x1=x2=________

③ 当b2-4ac<0时,方程______实数根.

巩固练习

1、做一做:

(1)方程2x2-3x+1=0中,a=( ),b=( ),c=( )

(2)方程(2x-1)2=-4中,a=( ),b=( ),c=( ).

(3)方程3x2-2x+4=0中,b2?4ac=( ),则该一元二次方程( )实数根。

(4)不解方程,判断方程x2-4x+4=0的根的情况。

47

2、应用公式法解下列方程:

(1) 2 x2+x-6=0; (2) x2+4x=2;

(3) 5x2-4x-12=0; (4) 4x2+4x+10=1-8x. 解 (1)这里a=___,b=___,c=______,

b2-4ac=____________ =_________

?b?b2?4ac所以x==_________=____________ 2a

即原方程的解是 x1=_____,x2=_____

(2)将方程化为一般式,得_________________=0.

因为 b2-4ac=_________

所以 x=_____________=_______________

原方程的解是 x1=________,x2=_____

(3)因为 ___________________,

所以 x=____________=__________=__________ 原方程的解是 x1=________,x2=__________.

(4)整理,得_______________=0.

因为 b2-4ac=_________,

所以 x1=x2=________

课堂小结

1、一元二次方程的求根公式是什么?

2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么?

达标测评

(A)1、应用公式法解方程:

(1) x2-6x+1=0; (2)2x2-x=6;

48

(3)4x2-3x-1=x-2; (4)3x(x-3) =2(x-1) (x+1).

(5)(x-2)(x+5)=8; (6)(x+1)2=2(x+1).

(B)2、某农场要建一个矩形的养鸭场,养鸭场的一边靠墙,墙长25m,另三边用篱笆围成,篱笆长为40m.

(1)养鸭场的面积能达到150m2吗?能达到200 m2吗?

(2)能达到250 m2吗?

拓展提高

m取什么值时,关于x的方程2x2-(m+2)x+2m-2=0

有两个相等的实数根?

第4课时 一元二次方程根的判别式(选学)

学习目标

1、了解什么是一元二次方程根的判别式;

2、知道一元二次方程根的判别式的应用。

49

重点:如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况;

难点:根的判别式的变式应用。

导学流程

复习引入

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)只有当系数a、b、c满足条件b2-4ac___0时才有实数根

观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况:

① 当b2-4ac>0时,方程有__个________的实数根;(填相等

或不相等)

②当b2-4ac=0时,方程有___个____的实数根

x1=x2=________

③当b2-4ac<0时,方程______实数根.

精讲点拨

这里的b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式,通常用“△”来表示,用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根,如对方程x2-x+1=0,可由b2-4ac=_____0直接判断它____实数根; 合作交流

方程根的判别式应用

1、不解方程,判断方程根的情况。

(1)x2+2x-8=0; (2)3x2=4x-1;

(3)x(3x-2)-6x2=0; (4)x2+(3+1)x=0;

(5)x(x+8)=16; (6)(x+2)(x-5)=1; 50

2.说明不论m取何值,关于x的方程(x-1)(x-2)=m2总有两个不相等的实数根.

解:把化为一般形式得___________________

Δ=b2-4ac=______________

=___________________

=______________

拓展提高

应用判别式来确定方程中的待定系数。

(1)m取什么值时,关于x的方程x2-2x+m-2=0有两个相等的实数根?求出这时方程的根.

解:因为Δ=b2-4ac=_______________=______ 因为方程有两个相等的实数根

所以Δ=b2-4ac___0,即__________

解得m=_________________

这时方程的根x=

(2)m取什么值时,关于x的方程x2-(2m+2)x+m2-2m-2=0没有实数根?

课堂小结

1、使用一元二次方程根的判别式应注意哪些事项?

2、列举一元二次方程根的判别式的用途。

达标测评

51

(A)1、方程x2-4x+4=0的根的情况是( )

A.有两个不相等的实数根;B.有两个相等的实数根;

C.有一个实数根; D.没有实数根.

2、下列关于x的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是( )

A.x2+1=0 B. x2+x-1=0 C. x2+2x+3=0 D. 4x2-4x+1=0

3、若关于x的方程x2-x+k=0没有实数根,则( )

A.k<1111 B.k > C. k≤ D. k≥ 4444

1111 B.k > C. k≤ D. k≥ 22224、关于x的一元二次方程x2-2x+2k=0有实数根,则k得范围是( ) A.k<

(B)5、k取什么值时,关于x的方程4x2-(k+2)x+k-1=0 有两个相等的实数根?求出这时方程的根.

6、说明不论k取何值,关于x的方程x+(2k+1)x+k-1=0总有两个不相等的实根.

第 5 课 时(习题课)

学习目标

52 2

能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程,培养探究问题的能力和解决问题的能力。

重点:选择合理的方法解一元二次方程,使运算简便。

难点:理解四种解法的区别与联系。

复习提问

(1)我们已经学习了几种解一元二次方程的方法?

(2)请说出每种解法各适合什么类型的一元二次方程?

精讲点拨

观察方程特点,寻找最佳解题方法。一元二次方程解法的选择顺序一般为:直接开平方法般不采用配方法,其中,公式法是一把解一元二次方程的万能钥匙,,适用于任何一元二次方程;因式分解法和直接开平方法是特殊方法,在解符合某些特点的一元二次方程时,非常简便。

练习一:分别用三种方法来解以下方程

(1)x2-2x-8=0 (2)3x2-24x=0

用因式分解法: 用配方法:

用公式法: 用因式分解法:

用配方法: 用公式法:

练习二:你认为下列方程你用什么方法来解更简便。

53

(1)12y2-25=0; (你用_____________法)

(2)x2-2x=0; (你用_____________法)

(3)x(x+1)-5x=0; (你用_____________法)

(4)x2-6x+1=0; (你用_____________法)

(5)3x2=4x-1; (你用_____________法)

(6) 3x2=4x. (你用_____________法) 对应训练

1、解下列方程

(1)(2x-1)2-1=0; (2)

(3)x2+2x-8=0; (4)3x2=4x-1;

(5)x(3x-2)-6x2=0; (6)(2x-3)2=x2.

2、当x取何值时,能满足下列要求?

(1)3x2-6的值等于21;(2)3x2-6的值与x-2的值相等.

3、用适当的方法解下列方程:

54 1(x+3)2=2; 2

1(1)3x2-4x=2x; (2)(x+3)2=1; 3

(3)x2+(+1)x=0; (4)x(x-6)=2(x-8);

(5)(x+1)(x-1)=22x; (6)x(x+8)=16;

(7)(x+2)(x-5)=1; (8)(2x+1)2=2(2x+1).

4、已知y1=2x2+7x-1,y2=6x+2,当x取何值时y1=y2?

课堂小结

根据你学习的体会,小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法?通常你是如何选择的?和同学交流一下.

拓展提高

1、已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0,则 x2+y2 的值是( )

(A)3或-2 (B) -3或2 (C) 3 (D)-2

2、试求出下列方程的解:

55

x2?12x2

(1)(x-x)-5(x-x)+6=0 (2)2??1 x?1x222

3、某服装厂为学校艺术团生产一批演出服,总成本3000元,售价每套30元.服装厂向24名家庭贫困学生免费提供.经核算,这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润.问这批演出服共生产了多少套?

23.3实践与探索(3课时)

第 1 课 时

学习目标

1、会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解,能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理,进一步培养分析问题和解决问题的能力。

2、会运用方程模型解决面积问题,并能求出最大面积。

3、进一步经历运用方程解决实际问题的过程,发展应用数学的意识,体会方程是刻画现实世界的数学模型。

重点:一元二次方程在实际问题中的应用,列方程解应用题;

难点:会用含未知数的代数式表示等量关系,能根据问题的实际意义,检 56

验所得的结果是否合理。

导学流程

复习提问

1、列方程解应用题的步骤是什么?

2、解方程的方法有几种?通常如何进行选择?请解出课本第18页问题1

所列方程,并检验结果是否合理。

3、请同学们完成课本第29页例7,并检验结果是否合理?

4、请同学们总结列一元二次方程解应用题的步骤。

情境导入

在开始学习这一章时,我们已经动手实验,直观体验长方体的制作过

程,从图中能直观发现长方体的底面是边长为(10-2x)cm的正方形,在

本节课我们再来探讨一下这样的长方体侧面积会不会有最大值?你是如何

获得这个侧面积最大值的?

自主学习

1、请同学们自学教材第33页问题1,填写表中空格,看谁做得又快

又对,与同学们交流你的做法。

思考:(1)从你填表数据中,你认为折合而成的长方体的侧面积会不

会有最大值?(2)设剪去的正方形的边长为xcm,则长方体的底面边长为 cm,侧面积为 cm2.如果将剪去的正方形的边长x为自变量,折

合而成的长方体的侧面积为函数y,则可得到 ①.

(3)对于这个函数,我们并不了解它的性质,你能否在平面直角坐标系中

画出相应的点,看看与你的感觉是否一致。

拓展延伸

在上题中,用配方法将得到的①式配方会得出什么结论?能否验证“探

索”中的结论?请同学们合作完成。

57

课堂练习

1、有一个长是宽3倍的矩形铁皮,四周各截去一个完全相同的正方形,做

成高是6cm,容积是300cm3的长方体容器,设矩形的宽为xcm,则长为 cm,长方体的底面长为 cm,宽为 cm,则可列方程

为 。

2、将进价40元的商品按50元出售时,每月能卖500个,已知该商品每涨

价2元,其月销售额就减少20个,为保证每月8000元利润,单价应定为

多少?

课堂小结

请盘点你在本节课中的收获。

达标测评

(A)1、一块长30米、宽20米的长方形操场,现要将它的面积增加一倍,

但不改变操场的形状,问长和宽各应增加多少米?

(B)2、某商店准备进一批季节性小家电,单价40元.经市场预测,销售

定价为52元时,可售出180个;定价每增加1元,销售量将减少10个.商

店若准备获利2000元,则应进货多少个?定价为多少?

(1)本题如何设未知数较适宜?需要列出哪些相关量的代数式?

(2)列得方程的解是否都符合题意?如何解释?

(3)请你为商店估算一下,若要获得最大利润,则应进货多少?定价是多

58

少?

第 2 课 时

学习目标

1、继续探索实际问题中的数量关系,列出一元二次方程并求解,能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理,进一步培养分析问题和解决问题的能力。

2、会运用方程模型解决增长率问题,

3、了解增设辅助未知数的方法,明确辅助未知数的作用。

重点:运用一元二次方程知识解决增长率的问题。

难点:设辅助未知数。

导学流程

课前热身

(1)某磷肥厂今年一月份的磷肥产量为4万吨,若二月份的产量增长率为x,则二月份产量为( ),若三月份的产量的增长率是二月份的两倍,则三月份的产量为( )。

59

(2)某林场现有的木材蓄积量为a立方米,预计在今后两年内木材蓄积量的年平均增长率为p

探究新知

例1:(第18页,问题2)学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.

设这两年的年平均增长率为x,则今年年底的图书数是__________万册;同样,明年年底的图书数又是今年年底的_______倍,即_________________________________万册.可列得方程

____________________=7.2

请同学们自己整理出做题步骤,注意检验结果的合理性。

例2:(第34页,问题2)阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番,那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少?

精讲点拨

①财政净收入翻一番,意味着净收入增长到原来的两倍。

②财政净收入和平均年增长率都是未知数,其中财政净收入是一个辅助未知数,列出方程后,辅助未知数自动消去。

反馈矫正

请一名同学黑板演练,写出完整的步骤。

完成课本“探索” 部分的问题,(关键在于找出不同增长率之间的关系,要求同学分别列出方程即可。)

课堂练习

1、(教材第30页例8)某药品经过两次降价,每瓶零售价由56元降为31.5

元。已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率。

60 ,那么两年后该临场木材蓄积量为( )立方米。

2、哈尔滨市政府为了改善城市容貌,绿化环境,计划经过两年时间,绿地面积增加440,这两年平均每年面积的增长率是( )。

拓展延伸

请同学们认真阅读下面的题目,说出这道题与前面所做例题的区别与联系,然后根据相等关系列出方程。

市第四中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验,重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖,之后逐年增加,到三年级结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.

课堂小结

请说出你在本节课收获了什么?

达标测评

(A)1、某工厂一月份的产值是50000元,3月份的产值达到60000元,这两个月的产值平均月增长的百分率是多少?

2、某商店二月份营业额为50万元,春节过后三月份下降了30%,四月份有回升,五月份又比四月份增加了5个百分点(即增加了5%),营业额达到48.3万元.求四、五两个月平均增长的百分率.

61

(B)3、为了绿化学校附近的荒山,某校初三年级学生连续三年春季上山植树,至今已成活了2000棵.已知这些学生在初一时种了400棵,若平均成活率95%,求这个年级两年来植树数的平均年增长率.(精确到1%)

第 3 课 时

学习目标

1、掌握一元二次方程根与系数的关系,运用根与系数的关系解决相关

待定系数的值。

2、通过对一元二次方程根与系数关系的探讨,经历和体验数学的发现

过程,提高探究性学习的能力。

重点:运用根与系数的关系求相关待定系数的值。

难点:运用根与系数的关系解题必须是在b2-4ac不小于0的情况下。 导学流程

复习引入

1、一元二次方程的一般形式是什么?

62

2、一元二次方程的解法有几种?

3、如何判断一元二次方程根的情况?

4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?

探究新知

1、解下列方程,将得到的根填入下面的表格中,观察表格中两个根的和与

积,它们和原来的方程的系数有什么联系?

(1)x2-2x=0;(2) x2+3x-4=0;(3) 2x2-5x-7=0.

2、请根据以上表格中的观察、发现进一步猜想:若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是x1、x2,则x1?x2,x1?x2,并加以证明。(学生分组交流、讨论,然后归纳总结)

精讲点拨

应用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式

?b?b2?4acx=,可以分别求出x1?x2与x1?x2的值。 2a

一般地,如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 有两个根x1、x2 ,那么:

x1?x2=-

反馈练习

1、下列方程两根的和与两根的积各是多少?

63 bc, x1?x2= .这就是一元二次方程根与系数的关系。 aa

①y2-3y+1=0 ② 3x2-2x=2 ③2x2+3x=0 ④4p(p-1)=3

2、关于x的方程x2-4x+5=0,下列叙述正确的是( )。

A、两根的积是-5; B、两根的和是5;

C、两根的和是4; D、以上答案都不对

3、若1和3是方程x2-px+q=0的两根,则p= ;q= .

思考:通过以上练习,可以发现利用一元二次方程根与系数的关系做题时,应注意哪些事项?

拓展提高

1、已知?、?是方程2x2+3x-4=0的两个实数根,则?+??+?的值是 。

2、已知反比例函数y?ab,当x>0时,y随着x的增大而增大,则关于xx

的方程ax2-2x+b=0的根的情况是( )。

A、有两个正根; B、有两个负根;

C、有一个正根,一个负根; D、没有实数根。

3、已知关于x的方程(k-1)x2+(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实数根x1、x2.(1)求k的取值范围;

(2)是否存在实数k,使方程的两个实数根互为相反数?如果存在求出k的值;如果不存在,请说明理由。

64

课堂小结

1、一元二次方程根与系数的关系是什么?

2、使用一元二次方程根与系数的关系应注意哪些事项?

达标检测

(A)1、已知x1、则x1?x2x2是方程x2-x-3=0的两个实数根,

x1?x22、若方程x2+px+2=0的一个根是2,则另一个根是 ,p= .

3、下列方程中两根之和是2的方程是( )

A、x2+2x+4=0 B、x2-2x-4=0 C、x2+2x-4=0 D、x2-2x+4=0

4、已知x1、x2是方程x2-2x-3=0的两个实数根,则x1?x211?? 。 x1x222

(B)5、先阅读下列材料,然后按要求解答有关问题。

若关于x的一元二次方程x2+(m+1)x+m+4=0两实数根的平方和为2,求m的值。

解:设方程的两实根为x1,x2,那么x1?x2=-(m+1), x1?x2=m+4,

2?(x1?x2)2?2x1x2?(m?1)2?2(m?4)?m2?7?2, 所以 x12?x2

65

即m2=9,解得m=3.

请指出上述解题过程中的错误和不完整之处,并写出正确解答 过程。

6、已知?,?是方程x2+2x-5=0的实数根,求?2????2?的值。

一元二次方程(复习课)

复习目标

1.了解一元二次方程的有关概念。

2.能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方

程。

3.会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。

4.掌握一元二次方程根与系数的关系式,并会运用它解决有关问题。

5. 通过复习深入理解方程思想、转化思想、分类讨论思想、整体思想,

并会应用;进一步培养分析问题、解决问题的能力。

重点:能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。

66

难点:1、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。

2、掌握一元二次方程根与系数的关系式,并会运用它解决有关问题。

复习流程

回忆整理

1.方程中只含有 未知数,并且未知数的最高次数是 ,这样的 方

程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式:________________

( )其中二次项系数是 、一次项系数是 常数

项 。

例如: 一元二次方程7x-3=2x2化成一般形式是

___________________其中二次项系数是 、一次项系数是 常数

项是 。

2.解一元二次方程的一般解法有

(1)_________________ (2)

(3) (4)求根公式法,求根公式是 ___________________________________________

3.一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的判别式

是 ,当 时,它有两个不相等的实数根;当 时,它有两个相等的实数根;当 时,它没有实数根。

例如:不解方程,判断下列方程根的情况:

(1) x(5x+21)=20 (2) x2+9=6x (3)x2 —3x = —5

4.设一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根分别为x1,x2 则x1

+x2= ;x1 2x2= ____________

67

例如:方程2x2+3x —2=0的两个根分别为x1,x2 则x1+x2= ;x1 2x2= _________ 交流提高

请同学们之间相互交流,形成本章的知识结构。

典例精析

例1:已知关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一个解是0,求m的值.

分析:根据根的意义,把x=0代入方程,可得m2-4=0

则m1=2 , m2 = —2,但应注意m-2≠0,则m ≠2因此m = —2.

请问你还可以用什么方法来解决这个问题?

例2:解下列方程:

(1)2 x2+x-6=0; (2) x2+4x=2;

(3)5x2-4x-12=0; (4)4x2+4x+10=1-8x.

(5)(x+1)(x-1)=22x(6)(2x+1)2=2(2x+1).

分析:解题时应抓住各方程的特点,选择较合适的方法。

例3:已知关于x的一元二次方程(m—1)x2 —(2m+1)x+m=0,当m取何值时:

68

(1)它没有实数根。

(2)它有两个相等的实数根,并求出它的根。

(3)它有两个不相等的实数根。

分析:在解题时应注意m—1≠0这个隐含的条件。

巩固练习

(A)1.关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程的条件是

2.已知关于x的方程x2-px+q=0的两个根是0和-3,求p和 q的值

3.m取什么值时,关于x的方程2x2-(m+2)x+2m-2=0

有两个相等的实数根?求出这时方程的根.

4.解下列方程:(1) x2+(+1)x=0;(2)(x+2)(x-5)=1 ;

(3)3(x-5)=2(5-x)。

69 2

5.说明不论m取何值,关于x的方程(x-1)(x-2)=m2总有两个不相等

的实数根。

6、已知关于x的方程x2-6x+p2-2p+5=0的一个根是2,求方程的另一

个根和p的值.(请用两种方法来解)

(B)7、写一个根为x=1,另一个根满足—1<x<1的一元二次方程是

8、x1,x2是方程x2+5x —7= 0的两根,在不解方程的情况下,求下列代数

式的值:

(1)x1+x2

课堂总结

1、这节课我们复习了什么?

2、通过本节课的学习大家有什么新的感受?

答案:

23.1一元二次方程

达标检测(A)

70 22 (2)x1?(x1—3)(x2—3) x2 (3)

1.(1)是一元二次方程;(2)(3)(4)不是一元二次方程。

2.(1)3x2-x-2=0;二次项系数是3;一次项系数是-1,常数项是-2.

(2)2x2-7x+3=0;二次项系数是2;一次项系数是-7;常数项是3.

(3)-3x2+8x-1=0;二次项系数是-3;一次项系数是8;常数项是-1.

3.(1)-1和2;(2)2和-4.

2(B)1. (m+n)x+(m-n)x+p-q;二次项系数是m+n;一次项系数是m-n,常

数项是p-q.

2.k=1;

3.m=-2;

拓展提高

1.(1)k≠3是一元二次方程;(2)k=3是一元一次方程.

2.只含有一个未知数并且未知数的最高次数是3的整式方程式是一元三次方程,它的一般形式是ax3+bx2+cx+d=0.

23.2 一元二次方程的解法(5课时)

第1课时

达标测评

(A)1.(1)x1=13,x2=-13 (2)x1=35,x2=-35

(3)y1=535 ,y2=- (4) x1=0,x2=2 66

(5) t1=2,t2=-1 (6) x1=0,x2=4 (7) x1=6,x2=-

(B)不对。

拓展提高

1. (1)x1=-3,x2=1 (2)x1=45,x2=5

2.答案不唯一。

第2课时

达标测评 2 3

(A)(1) x1=32?4,x2=?32?4 (2) x1=-1,x2=6

(3) x1=2,x2=?

(B)(4)x=

3 2p2?4q933 (5) 244271 ?p?

拓展提高

53时,代数式的值最小,最小值是. 24

第3课时

达标测评 当x=

(A)1.(1) x1=3+22,x2=3?22 (2) x1=2,x2=?

(3) x1=x2=-3 29?739?1 (4) x1= ,x2= 222

(5) x1=-6,x2=3 (6) x1=1,x2=-1

(B)2.(1)能达到150m2和200 m2(2)不能达到250 m2 拓展提高

m=2或m=10

第4课时 (选学)

拓展提高

1.12-4m, = , 12-4m =0 , 3, 1

32. m<- 4

达标测评

(A)1.B 2.B 3.B 4.C

13(B)5.k=2或k=10 ;当k=2时,x1=x2=,当k=10时,x1=x2=. 22

226.提示:b-4 ac=4k+5>0.

第5课时 (习题课)

对应训练

1. (1)x1=1,x2=0 (2) x1=-5,x2=-1 (3) x1=2,x2=-4

12(4)x1=,x2=1 (5) x1=-,x2=0 (6) x1=1,x2=3 33

42. (1)x1=3,x2=-3 (2) x1=-1,x2= 3

3. (1)x1=2,x2=0 (2) x1=-3+3,x2=-3-3 (3) x1=0,x2= -1-

(4)x1=x2=4 (5) x1=2+,x2=2- 72

(6) x1=-4+42,x2=-4-42 (7) x1=

11,x2= 22

34.x=1或x=- 2

拓展提高

1. C 3?3?,x2= 22(8) x1=-

2.(1)x1=2,x2=-1,x3=

3.120套。 1?1?1x4= (2)x1=-,x2=1 222

23.3实践与探索(3课时)

第 1 课 时

达标测评

(A)1.长约增加12.4米,宽约增加8.3米。

2.(1)设定价(52+x)元,则每销售1个,获利润(52+x-40)元,共销售(180-10x)个。

(2)解得方程的解为x1=8,x2=-2,符合题意的解为x1=8,定价为60元时,进货100个。

(3)当定价为55元时,获利最大,此时应进货150个。

第 2课 时

拓展延伸

平均增长率为250.

达标测评

(A)1. 平均月增长的百分率为9.50.

2. 4月份增长15.5月份增长20.

73

(B)每年平均增长率约为620.

第 3课 时

拓展提高 1.-713 2.C 3.(1)k<,且k≠1.(2)不存在. 212

2 3达标测评 (A)1. 1,-3; 2. 1,-3; 3.B 4. 10, -

(B)5.首先由m2=9,可解得m=±3.其次运用根与系数的关系解题应验证根的判别式,当m=3时,b2-4ac<0,方程无实根,应舍去;当m=-3时,b2-4ac=0,符合题意,所以,m=-3.

6. 0

一元二次方程(复习课)

巩固练习

(A)1.m≠1.

2.p=-3,q=0.

3.m=2或m=10;当m=2时,x1=x2=1,当m=10时,x1=x2=3.

4.(1)x1=0,x2=-3-1.

(2)x1=3?533?53,x2=. 22

(3)x1=5,x2=

5.略 13. 3

6.方程的另一个根是4,p=-1或p=3.

(B)7.答案不唯一。

74

8.(1)39 (2)5 (3)17 7

第24章 图形的相似

观察以上图形结合阅读本章的题目以及导语,提出你的猜想:看谁最具有创造力:

1、 2、 3、 4、 5、

利用课余时间通读本章内容:大体写出本章中所学的知识与思想方法,或者你的收获:

备注:本章中题目难度加大的用“★”提示,可以选作,但是最好挑战一下你的能力,“★”越多难度越大,最高为五星级。

§24.1 相似的图形

75

【学习目标】

1、通过实例理解相似图形的概念;

2、会识别相似图形,通过图形识别提高自己的观察能力;

3、能按照要求画出相似的图形,会根据条件制作出相似的图形。

【学习重点】:相似图形的概念

【学习难点】:相似图形的识别与作图

【快乐学习】

1、

2、

3、

你的补充:

76 什么是全等图形: 观察上述图形,写出你的发现: 小组内交流你的发现。

4、 阅读课本第42页,然后快速写出你的答案:

(1)、什么是相似图形。

(2)、生活中还有那些相似图形,请举例并与同学交流补充:

5、 相似图形与全等图形的区别与联系是什么?

【一显身手】

1、请把相似的图形连线:

2、观察下面的图形(a)~(g),其中哪些是与(1)、(2)、(3)相似的?

77

3.下列图形是不是相似图形:

所有的圆形;

所有的正方形;

所有的直角三角形 ;

平面镜中的图形与实际图形;

哈哈镜中的图形与实际图形;

放大镜下的图形与原来的图形

通过以上练习,请自己总结一下,你是如何判断两个图形形似,请写出来并与同学交流,自己补充完整。

【做小画家】

1、请在课本上画一画“试一试”中的四边形。画完后请借助于测量工具,

通过测量计算,请写出有前后两个图形的边长与内角度数的变化,并与同学交流。

2、(★★★)请观察如下图形,看看有什么发现,你能否设计出一个类似

的图案。

78

3、请在课余时间里自己找一幅喜欢的画,在画上打上方格,把图画分成若

干小方格,然后自己再放大(或缩小)一定的比例,画一个方格,然后在每一个方格内画出原图,这样可以自己画一幅放大(或缩小)的图画了。

4、有条件的同学可以观察十字绣的制作过程,看看样品中的图怎样被放大

(或缩小)绣出来的。

【反思小结】

总结本节最大的收获与存在的问题,写下来并与同学交流。

79

§24.2相似的图形性质(1)成比例线段

【学习目标】

1、通过计算作图掌握概念:线段的比、成比例线段。

2、掌握并会推导比例的性质。

3、会用比例的性质进行解题。

【学习重点】

成比例线段、比例的性质

【学习难点】

比例性质的推导与应用。

【用心学习】

1、小学里已经学过了比例的有关知识,下面请同学们口答下列问题:

(1)若a与b的比值和c与d的比值相等,应记为: 。

(2)已知2:3=4:x,则:x= 。

(3)比例的基本性质是什么? 。

(4)地理中的比例尺是指什么? 。

你自己还了解哪些关于比例的知识,写出来,与同学们交流。

2、自主学习完成课本45页试一试与概括:填写下列空格:

(1)、“比例线段”的概念: 。

ac已知四条线段a、b、c、d,如果?(或a:b=c:d),那么a、b、c、bd

d叫做组成比例的 ,线段a、d叫做比例 ,线段b、c叫做比

例 ,线段 叫做a、b、c第四比例项。

80

如果作为比例内项的是两条相同的线段,即

么线段b叫做线段a和c的 。

(2)“比例线段”和“线段的比”的区别 ab,那?(或a:b=b:c)bc

“比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别?

结论:

(3)注意:概念的有序性

线段的比有顺序性,a:b和b:a通常是不相等的。 ac比例线段也有顺序性,如?叫做线段a、b、c、d成比例,而不能说成bd

ac是b、a、c、d成比例。第四比例项也有顺序性,如?中,线段d叫做bd

a、b、c的第四比例项,而不能说成“线段d叫做b、a、c的第四比例项”。

【自主探究训练】

判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段:

(1)a=4,b=6,c=5,d=10;

(2)a=2,b=5,c=2,d=53.

解:

把(1)题中a、b、c、d调换位置可以得到几种情况?哪些情形是成比例线段。成比例线段在大小排序上有何规律?给你四个数据怎样最快的获取成比例线段排序的最大可能性?

总结:如何判断成比例线段,说出你的方法并交流。

81

完成课本练习1.

补充练习:

1、已知m、n、p、q是成比例线段,其中m=2cm,n=6cm,q=27cm,则p=_______cm.

2、(★★)已知三个数1,2、

数成比例关系。

通过以上练习你能得出哪些结论,请自己先写出来,再交流。

自主完成下列结论:

(1)、比例的基本性质 ac如果?(或a:b=c:d),那么ad=bc,即比例的两外项的积等于两内项bd

的积,那么如何证明呢?

证明:

试说出这个性质的逆命题,它是真命题吗?如何证明?

如果a:b=c:d中的两个比例内项相等,即当a:b=b:c时,又可以得到什么结论呢?

(2)合比性质

刚才我们用等式的性质证明了比例的基本性质,如果我们继续用等式的性 82 3,请你再添一个数,使它们构成的四个

质,能否得到比例的其它性质呢?比如:在比例式

会得到什么结果呢?

ac?的两边都加上1,bd

如果两边都减1呢?

ac合比性质:如果?,那么. bd

(3)等比性质 试猜想acema?c?e?????m,与相???????b?d?f?????n?0)bdfnb?d?f?????n等吗?能否证明你的猜想?

等比性质:如果

a. bacma?c?????m,那么=??????(b?d?????n?0)bdnb?d?????n

等比性质中,为什么要b?d?????n?0这个条件?

(4).练习:从ad=bc,可以得到哪些比例?(小组讨论)

以上环节主要用了哪些知识点与方法:

【过关题目】

完成下列问题,你便可以顺利通过本关的学习了,加油啊。

83

1.若m是2、3、8的第四比例项,则m= ;

2.若x是a、b的比例中项,且a=3,b=27,则x= ;

若线段x是线段a、b的比例中项,且a=3,b=27,则x= ;

3.若a:b:c=2:3:7,且a+b+c=36,则a= ; b= ; c= 。 下面的题目有一定的难度,你能解决吗?相信聪明的你会成功的:

4、(★★)已知

5、(★★★)已知 x?y?z,且x+y-z=1,求x、y、z的值。 23412ace5a?c?e的值。 ???,b+d+f≠0,求 bdf7b?d?f

【反思小结】

总结本节的收获与存在的问题,并交流。

§24.2相似的图形性质(2)相似图形的性质

【学习目标】

1、通过自己动手操作猜想验证相似多边形的性质。

2、运用逆向思维猜想形似多边形的判定方法。

3、了解黄金分割

84

【学习重点】

相似多边形的性质

【学习难点】

相似多边形性质的应用。

【动手探究】

用直尺和量角器自己动手完成课本47、48页内容。并写出你的猜想:

【思考总结】

1、相似多边形有哪些性质?具备这些性质的多边形形似吗?图形的性质

与判定有何联系?自己思考一下,然后小组内交流。(可以参照课本49页内容)

2、将以上结论特殊化:

(1) 对于两个相似的三角形有何性质?

(2) 如何判断两个三角形相似?

(3) 对于等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形,以 85

上结论又有何变化?

(有兴趣的同学可以快速翻阅教材后面的内容,把以上问题的主要结论写下来,并与自己的结论对比,同时,结合本环节的学习,总结如何运用逆向思维、特殊化思想来探究学习。)

【一显身手】

1、下列命题中正确的是( )

A:相似多边形是全等多边形 B:不全等的图形不是相似图形

C:全等多边形是相似多边形 D:不相似的图形可能是全等图形

2、下列说法正确的是( )

①所有的梯形都相似 ;②所有的等边三角形都相似 ;③所有的直角三角形都相似;④所有的等腰直角三角形都相似。

A: ①② B: ②③ C: ③④ D: ②④

3、两个相似多边形的最长边分别是10cm 和20cm,其中一个多边形的最短边为5cm ,则另一个多边形的最短边长为__________.

4、如果多边形ABCDEF与多边形ABCDEF相似,且∠A=68,则∠A=_______

5、如图1,点E、F分别在矩形ABCD的边AD、BC上,EF∥AB,AB=6,AD=8,矩形BFEA∽矩形ABCD,则AE=________.

///////0

86

E

A

DBF

C689y

图2 图1

6、上图2所示的相似四边形中,求未知边x,y的长度和角a的大小。

7、(★★★)做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架,已知三角形框架甲的三边分别为50cm,60cm,80cm,三角形框架乙的一边长为20cm,符合条件的三角形框架共有( )种。

A: 1 B: 2 C: 3 D: 4

【深入学习】

自己阅读课本52页材料:黄金分割。并阅读以下材料:

黄金分割是古希腊哲学家毕达哥拉斯发现。一天,毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过,被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引,便站在那里仔细聆听,似乎这声音中隐匿着什么秘密。他走进作坊,拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸,发现它们之间存在着一种十分和谐的关系。回到家里,毕达哥拉斯拿出一根线,想将它分为两段。怎样分才最好呢?经过反复比较,他最后确定1:0.618的比例截断最优美。后来,德国的美学家泽辛把这一比例称为黄金分割律。这个规律的意思是,较大部分与整体这个比等于较小部分与较大部分之比。无论什么物体、图形,只要它各部分的关系都与这种分割法相符,这类物体、图形就能给人最悦目、最美的印象。

黄金分割的定义:将一条线段AB分割成大小两条线段(AP﹥PB),若较短线段与较长线段的长度之比等于较长线段与整条线段之比,即PB:AP=AP:AB(此时线段AP叫做线段PB、AB比例中项),则可得出这一比值等于?1≈0.618?.这种分割称为黄金分割,点P叫做线段AB的黄金分2

割点。

87

(请你根据上面的叙述,通过列方程、解方程说明近似数0.618是如何得出来的。)

如何记住黄金的近似比值:只要记住一句话:“见糖留一把”即可。(解读:唐朝建立的时间是公元618年,而黄金比的近似值是0.618可算是一个巧合,所以将建唐618年谐音即可得到“见糖留一把”,这样不仅记住了数学知识,还记住了历史知识。)

据有关测定,当气温处于人体正常体温(36 ℃ ~37℃)的黄金比值时,人体感到最舒适。因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最适合? 36℃30.618=22.3 ℃ 37℃30.618=22.8 ℃ 22.3 ℃~22.8℃

伟大的数学家华罗庚曾致力于推广“0.618优选法”,把黄金分割原理应用于生产、生活实际以及科学实验中,为国家节约了大量的人力和能源。(有条件的同学可以通过网络学习更多的相关知识和例子)

自己了解关于黄金矩形、黄金三角形的知识并在同学之间交流。

看看能否解决如下问题:

1、(★★)已知线段AB=a,点C是线段AB的黄金分割点,AC﹥BC,则AC=___________

2、根据科学分析,舞台上的主持人应站在舞台前沿的黄金分割点,视觉和音响效果最好。已知学校礼堂舞台前沿宽20米,问举行文娱汇演时主持人应站在何处?(精确到0.1米)

88

【反思小结】

总结本节的收获与存在的问题,并交流。

课余时间自己搜集相关黄金比的知识,并与同学交流。

【学习目标】

1、掌握相似三角形的有关概念及表示方法;

2、能够熟练地找出相似三角形的对应角和对应边;

3、了解相似三角形与全等三角形的关系。 §24.3.1 相似三角形

89

【学习重、难点】

相似三角形的表示方法以及找出对应边、角。

【快乐学习】

1、快速回答:

什么是全等三角形,全等三角形的对应边、对应角有什么关系?

什么是相似多边形,相似多边形的对应边与对应角之间有什么关系?

什么是相似多边形的相似比?

根据以上回答,猜想:什么是相似三角形?相似三角形的对应边、对应角有什么关系?什么是相似三角形的相似比?

2、根据以上回答:阅读课本完成课本做一做,并修正你的猜想。

3、思考:如何表示相似三角形,书写时对应顶点应注意什么?

4、完成课本练习。

自己先独立思考解答,然后小组内交流讨论:

【一显身手】

1、如果△ADE∽△ABC,那么哪些角是对应角?哪些边是对应边?对应角有什么关系?对应边呢?

2、有一块呈三角形形状的草坪,其中一边的长是20m,在这个草坪的图纸 90

上,这条边长5cm,其他两边的长都是3.5cm,求该草坪其他两边的实际长度。

3、如果两个三角形的相似比为1,那么这两个三角形_____

4、若△ABC的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm,那么△A′B′C′的最大边长是_____

5、(★)若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为6 cm和8 cm,那么下式中

一定成立的是( )

A.3AB=4DE B.4AC=3DE

C.3∠A=4∠D D.4(AB+BC+AC)=3(DE+EF+DF)

6、若△ABC与△A′B′C′相似,∠A=55°,∠B=100°,那么∠C’的度数

是( )

A.55° B.100° C.25° D.不能确定

【反思小结】

总结本节的收获与存在的问题,并交流。

补充:相似符号的由来:十六世纪法国数学家维叶特用"="表示两个量的差 91

别。可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得:用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了,于是等于符号"="就从1540年开始使用起来。 1591年,法国数学家韦达在菱形中大量使用这个符号,才逐渐为人们接受。十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了"="号,他还在几何学中用"∽"表示相似,用"≌"表示全等。

§24.3.2相似三角形的判定(1)

【学习目标】

1、

2、 掌握两个三角形相似的判定方法。 会用所学方法判定两个三角形是否相似。

【学习重点】:

三角形相似的判定方法。

【学习难点】:

三角形相似判定方法的运用

【快乐学习】:

一、 看看谁做得最好:

1、

2、

92 判定两个多边形相似的方法是: 由上题你认为判断两个三角形相似的方法是:

3、

4、

5、 列举出你所学到的判定两个三角形全等的判定方法: 类比三角形全等与相似的相同与不同点,自己猜想如何判定两个三角形形似: 在小组内交流所得出的结论,然后探究一下如何验证得出的结论正

确性。(建议:可以小组内同学之间的作图、测量计算的方法来验证)并写出你的收获。

二、 阅读课本第55页至第59页(不包括例题)部分内容,通过思考探

究。对比以上你得出的结论。有何收获?

三、 对于一些特殊的三角形,有何判定方法?写出你的结论和理由。

93

【挑战自我】:

1、 请你判断对错:

(1)、有一对角相等的三角形一定相似。 ( )

(2)、有一对锐角相等的两个直角三角形一定相似.( )

(3)、有一个角等于100°的两个等腰三角形相似。( )

(4)、有一个角等于30°的两个等腰三角形相似。 ( )

(5)、有一对角相等的两个等腰三角形一定相似。 ( )

2、已知,如图1要△ABC∽△ACD,需要条件 ;

3、已知,如图2要使△ABE∽△ACD,需要条件 ;

【深度学习】:你会证明三角形形似的判定定理吗?

1、 阅读课本65页。关于相似三角形与全等三角形的材料,思考,

材料是如何通过三角形全等的知识与面积的知识来证明三角形相似的判定定理的?

2、

【总结反思】

今天你有什么收获?

94 结合课本54页做一做你所得到的结论,能否自己找出一个证明三角形相似的判定定理的方法。

新知的获得采用了什么方法?

你还有困难与困惑吗?

【学习目标】

通过自学例题与练习,掌握并会应用相似三角形的判定定理

【学习重点】

如何进行解题后的反思?

【学习难点】

三角形相似的判定定理的运用。

【快乐学习】

一、自己学习课本56页至59页例题1~4,学习中注意几个方面:

1、先自己动手做,然后对比课本做法。并关注与课本的不同之处。

2、每一个例题主要用了哪些知识点?

3、将四个例题进行对比分类?

4、步骤的书写应注意什么?

5、与同学交流你的收获把你感受最深的写下了:

二、自主练习:

1、请找出图中所有的相似三角形,并选一对相似三角形加以证明。 95 §24.3.2相似三角形的判定(2)

C

A

D

B

反思总结:

2、如图所示,△ABC中,DE∥BC.AD=3cm,BD=2cm,BC=4cm,求DE的长。

反思总结:

3. (★★★)如图,四边形ABCD是平行四边形,M是BC上一点,且BM:MC=3:4,连接AM交BD于F,求BF:BD的值。

A

D_ A_ D_ E_ B_ C

F

BMC

96

4、(★★★★)已知△ABC中,如图所示,∠A=60°,BD、CE 是△ABC 的两条高,求证:△ADE∽△ABC.

B

C

反思总结:

【挑战自我】(以下两个题目,可以证明你的数学水平的高低,可以课外完成)

1、(★★★★)要做两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,请你想一想应该怎样选择材料可使这两个三角形相似?你选的材料唯一吗?

2、(★★★★★)你能否利用三角形全等与相似的知识设计2个三角形,这两个三角形在关于三个角、三条边的六个元素中,其中有5个元素相等(非对应),但是这两个三角形却不全等。设计出你的两个三角形,并说明设计理由。

【总结反思】

97

今天你有什么收获?

你提出了什么问题?发现了什么?

你还有困难与困惑吗?

对于老师的教学,你有何建议?

§24.3.3相似三角形的性质

【学习目标】

1.探索相似三角形的性质;

2.利用相似三角形的性质解决实际问题。

【学习重点】

相似三角形的性质及应用.

【学习难点】

相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.

【快乐学习】

1、所有的正方形都相似吗?______.

若正方形ABCD边长为1周长为____,面积为_____ . 若边长增大一倍,变为2. 周长为____,面积为_____.

若边长,变为3. 周长为____,面积为_____ . 98

若边长,变为N. 周长为____,面积为_____.

通过填空你发现了什么?_______________________________.

2、什么是相似三角形的相似比?两个相似的三角形有哪些性质?

3、三角形除了边、角之外还有哪些要素?对于两个相似的三角形,以上要素与三角形的相似比有何关系?写出你的猜想?

4、所有的等腰直角三角形都相似吗?观察手中的大小不同的等腰直角三角形三角板,并测量其边长,测量或计算斜边上的高、中线、直角顶角的角平分线以及三角形的周长、面积。与同伴交流你的发现。_______________________________.

5、如何验证或者证明结论的正确性呢?验证可以采用作图、测量计算的方法,但是这一方法具有一定的局限性。那么在数学中最有效的方法便是通过逻辑推理来证明结论的正确性。

以小组为单位,组长分任务完成如下命题的证明(每名同学至少完成一个命题的证明)

(1)相似三角形对应边上的对应高的比等于相似比;

(2)相似三角形对应边上的对应中线的比等于相似比;

(3)相似三角形对应角上的对应角平分线的比等于相似比;

(4)相似三角形的周长的比等于相似比;

(5)相似三角形的面积的比等于相似比的平方。

小组交流并阅读教材,对比课本相应的证明方法,在课本空白处补充好结论以及证明。并写出你的收获。

【一显身手】

1、已知如图,

∽ ,它们的周长分别是60cm和72cm,且99

AB=15cm, 求BC、 、 .

2、△ABC中,BC=54cm,CA=45cm,AB=63cm,另一个与它相似的三角形的最短边为15cm,则周长为_______________。

3、如果两个相似三角形的对应边的比是4:5,周长的和为18cm,那么这两个三角形的周长分别为_______________。

4、(★)△ABC 中DE∥BC,DE把△ABC的面积分成相等的两部分,那么DE:BC等于( )

A、1:2 B、1:4 C、2:2 D、2:2

5、(★★★)梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O,若S△AOD:S△ACD=1:3,则S△AOD:S△BOC等于( )

A、1:6 B、1:3 C、1:4 D、1:

6、(★★)有同一三角形地块的甲、乙两地图,比例尺分别为1:200和1:500,求甲地图与乙地图的相似比和面积比.

7、(★★★)如图,在△ABC中,ED∥BC,且2ED=BC=2cm,△AED的周长为10cm,求梯形BCED3

的周长。

【反思总结】

100

本节你有什么收获?

你提出了什么问题?发现了什么?

你还有困难与困惑吗?

对于老师的教学,你有何建议?

§24.3.4相似三角形的应用

【学习目标】

1、

2、

3、 学习利用三角形相似的知识进行实际测量。 会用三角形相似进行一些等积式的证明 会综合运用三角形相似的知识解决实际问题

【学习重点】

如何探寻三角形相似的条件

【学习难点】

如何运用相似三角形的知识解决问题

【快乐学习】

一、思考:

如何知道学校的国旗旗杆的高度?请写出你的测量或者计算方法:

101

二、 快速阅读课本62页例6思考:

本题主要用了哪个知识点来解决问题?

在这里我们所指的太阳光是平行光线,请完成下面的问题:

已知,如图,AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5m,某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m.

(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影;

(2)在测量AB的投影时,同时测量出DE在阳光下的投影长为6m,请你计算DE的长.

完成下列问题:

如图,有一河流。请你设计一个方案测量这条河流的宽度。

(1)、写出方案,画出示意图;

(2)、指出要测量的线段,并用字母表示;

(3)、根据测量的数据求出河的宽度。

102 三、 阅读课本例7,总结本题中的主要测量方法: 河

四、 自学课本例8总结证明一些类似的等积式的主要思路和方法:并与

同学交流:

如图,在Rt△ABC

交AE于F,若∠FGE=45°。

求证:(1)BD2BC=BG2BE;

(2) (★★★)AG⊥BE;

【一显身手】

1、一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米;

此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为 ( )

A.7.5米 B.8米 C.14.7米 D.15.75米

2、晚上,小华出去散步,在经过一盏路灯时,他发现自己的身影是 ( )

A.变长 B.变短 C.先变长后变短 D.先变短后变长

3、如图,小东设计两个直角来测量河宽DE,

他量得AD=2m,BD=3m,CE=9m,

则河宽DE为 ( ) 4、(★★)小明在某一时刻测得1m量电线杆AB的高度,但其影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上,量得

CD=2m,BC=10m,CD与地面成45°,求电线杆的高度.

103

B C D E F

【深度探究】(可用课余时间)(★★★★)

一、(★★★★★)如图:是小孔成像图:下图中存在三角形形似吗?

C

D

图1 图2

如图2:AB为物体的高度,EF为小孔的高度,CD为倒立的像的高度?(移动屏幕,使得B、F、D在同一条直线上)你能得出并证明三者之间的关系吗?(提示:AB∥EF∥CD,利用三角形相似)

拓展:如图:在梯形ABDC中GF是过对角线交点且平行于底的线段,请问:EF与EG的大小关系并说明理由?图中有哪些面积相等的三角形?

A C

二、透镜成像原理:(★★★★★)

如图:是凸透镜成像的示意图:AB是实物,A′B′是AB成的像,图中AB、CD、A′B′都是平行的,且垂直于B B′,图中有哪些相似的三角形?其中物距OB、像距O B′与焦距0F有与上题类似的结论,你能运用三角形相似的知识证明吗?比较一、二中的证明方法的异同?你有什么收获?

C

D

105

【反思总结】

本节你有什么收获?

你提出了什么问题?发现了什么?

你还有困难与困惑吗?

§24.4 中位线

【学习目标】

1、

2、 掌握三角形的中位线和梯形中位线的概念和定理, 了解三角形的重心及三角形重心的性质。

【学习重点】

三角形中位线定理和梯形中位线定理的理解与应用。

【学习难点】

三角形中位线定理和梯形中位线定理的证明,以及如何恰当地添加中位线辅助解题。

【快乐学习】

环节一:探究发现:

问题.怎样将一张三角形纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形?

提示操作:

(1)剪一个三角形,记为△ABC

(2)分别取AB,AC中点D,E,连接DE

(3)沿DE将△ABC剪成两部分,并将△ABC绕点E旋转180°,得四 106

边形

BCFD

思考:四边形ABCD是平行四边形吗?那么DE与BC有什么位置和数量关系呢?写出你的结论。

如下图:ΔABC中,点D、E是AB与AC的中点,结合上面的操作与你的发现,证明你的结论:(尽可能多的方法)

BC

阅读课本67~68页,自己总结并在小组内交流:

1、总结不同的证明方法,主要用了哪些知识点?

107

2、用符号及文字表达三角形中位线定理的内容。

3、三角形中位线定理的作用。

4、结合例1、例2思考:

(1)、三角形的中线与中位线的区别与联系?

(2)、三角形的中线有何性质?

(3)、三角形的三个顶点、三个三边中点,这六个点中,任选四个点最多可以构成多少个平行四边形?作图说明:

环节二:自己剪一个密度均匀的纸板三角形(或者一个厚度大些的纸张也可以)结合学习课本69页拓展部分内容以及上述环节的学习,验证三角形的重心及其定义和性质。

环节三:自学课本69~60页关于梯形中位线的知识,完成下列问题:

(1)梯形中位线的内容(文字与符号语言)及作用是什么?

(2)自己写出梯形中位线性质的证明,并总结辅助线的作法。

(3)梯形中位线定理与三角形中位线定理有何关系?

(4)梯形面积公式的求法?

108

【一显身手】

1、已知三角形的三条中位线分别为3厘米、4厘米、6厘米,则这个三角形的周长为 。

2、已知等腰梯形的腰长与中位线相等,周长为32厘米,则腰长为

3、(★★★)在梯形ABCD中,AB∥CD。CD<AB,中位线EF与对角线AC、BD交与M、N两点,若EF=18cm,MN=8cm,则AB的长为( )

4、梯形的高是6cm,面积是24cm2,那么这个梯形的中位线长______cm.

5、在△ABC中,∠A=∠B=450,AB=12,则△ABC的重心到AB的距离是( )

6、(★★★)已知,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=4,BC=8,E、F分别是对角线BD、 AC的中点。EF长为( )。(用文字总结结论)

【拓展训练】(共有余力的同学选作)

1、(★★)证明:顺次连结四边形各边中点所得四边形是平行四边形。

把上述问题中的四边形改为等腰梯形、菱形、矩形、正方形结论又是如何?

2、(★★★★)结合图形分析三角形中位线定理:

(1) 定理的已知条件有几个;结论有哪些?用符号语言写出来:

(2) 将上述条件与结论重新搭配,可以得到几个命题?猜想、验证或者

证明命题的真假?由此你可以得到几种中位线的识别方法?

3、(★★★)如右图:在△ABC中,BC=a,B1,B2,B3,B4是AB边的五等分点,

C1,C2,C3,C4是AC边的五等分点,

109

B1C1+B2C2+B3C3+B4C4= 。

【反思总结】

本节你有什么收获?

你提出了什么问题?发现了什么?

你还有困难与困惑吗?

§24.5 画相似图形

【学习目标】:

1、了解位似,位似中心的概念

2、会利用位似法画相似图形

【学习重、难点】:

本节的重点是位似的概念,以及利用位似关系画相似图形,难点是对两个图形位似关系的判断。

【快乐学习】

阅读课本71~72页的内容,按照课本上的的画图步骤,把多边形ABCDE放大到1.5倍 。

思考:

1、两图形中对应边有何关系?对应角呢?这两个多边形相似吗?相似比是多少?为什么?

110

2、什么是位似?位似中心?位似比?

3、反思:

(1)位似由哪些因素决定?

(2)位似变换后所得到的图形与原图形的关系如何?

(3)观察课本上三个图,探索位似中心的位置及如何选择位似中心。

4.总结画相似图形的步骤。

注意:⑴位似图形的概念中包含三个内容:

①位似图形是针对两个图形而言的

②位似图形是相似图形

③位似图形的每组对应点所在的直线都必须经过同一点.

⑵ 位似图形是一种特殊的相似图形,而相似图形未必构成位似关系。

【一显身手】

1、下列命题正确的是( )

A.

B.

C.

D.

全等图形一定是位似图形 相似图形一定是位似图形 相似图形一定是全等图形 位似图形是具有某种特殊位置的相似图形。 111

2、画一个多边形的位似图形,位似中心可选在已知多边形的( )

A:内部 B:外部 C: 边上(包括顶点处) D:任意位置

3、已知△ABC与△A′B′C′是位似图形,点O为位似中心,若AO=8cm,相似比为4:9,则A′O=______

4、取A为位似中心,将任意△ABC扩大2倍.

【拓展训练】(★★★★★)

如何在△ABC中裁出一个最大的正方形,画出图形,并简要说明理由。(提示:1、可以运用位似的知识设计作图;2、注意边的选择)

【反思总结】

本节你有什么收获?

你提出了什么问题?发现了什么?

你还有困难与困惑吗?

对于老师的教学,你有何建议?

§24、6.1用坐标确定位置

【学习目标】:

112

1、知道在平面内,确定点的位置一般需要两个数据;

2、掌握运用直角坐标系和方位坐标的方法来描述物体的位置。

【教学重点】:

建立平面直角坐标系用直角坐标和方位坐标确定物体的位置。

【教学难点】:

建立恰当的坐标系确定物体的位置。

【快乐学习】

一、学前热身;

1、什么是平面直角坐标系?建立了平面直角坐标系以后,平面的点可以用什么来描述?

2、画一个直角坐标系,并描出点A( 1 , 2),B (-3 , 5)

C(0 , 3)

3、某电影院大厅设有42排,每排32个座位.

(1)你将如何找到电影票上所指的位置?

(2)在电影票上,“5排2号”和“2排5号”中的“5”的含义有什么不同?

(3)如果将“5排2号”记作(5,2),那么“2排5号”如何表示?(8,3)表示什么意思?

4、地球仪中是如何通过经纬度来确定位置的?

5、你有什么好的确定位置的方法?

二、自学教材,完成课本上提出的问题与操作。并思考:

本节课主要介绍了哪两种确定地理位置的方法?是如何确定的? 113

参考:(1)用直角坐标系中的点来确定位置:建立合适的直角坐标系,然后用一对有序实数来表示位置。

(2)、用角度和距离确定点的位置:选择观测点为坐标原点,建立直角坐标系,令x轴的正方向为东向,y轴的正方向为北向,再由已知的角度确定被观测点所在的方向,由距离确定其点的位置,这是一种用“极坐标”来确定物体位置的方法,这种方法在军事和地理中经常用到。方向角是以南北方向为准向两边偏,即“北偏东33度”,“北偏西33度”,“南偏东33度”,“南偏西33度”。方向角?的取值范围是“0≤?≤90”。

【一显身手】:完成课本76页练习

【拓展训练】:

1、 (★★★)下图是一个中国棋盘,你能结合棋盘读懂棋谱吗?

棋子最终结果位置如何?你听说过不用象棋和棋盘的对弈者吗?他们是如何通过语言来下棋的?

2、

(★★★)小游戏:请同学们按照行、列来确立自己在班级所 114

处位置的坐标,然后请横、纵坐标相等的同学站起来,请问:

站立的同学位置有何规律?若(1,1)位置的同学为原点,则

位置(4,4)如何用角度和距离的方法确定位置?哪些同学能

够马上说出自己位置的两种表示方法?

【反思总结】

本节你有什么收获?

你提出了什么问题?发现了什么?

你还有困难与困惑吗?

对于老师的教学,你有何建议?

【阅读材料】:

GPS定位系统

GPS(Global Positioning System)即全球定位系统,是由美国建立的一个卫星导航定位系统,利用该系统,用户可以在全球范围内实现全天候、连续、实时的三维导航定位和测速;另外,利用该系统,用户还能够进行高精度的时间传递和高精度的精密定位。

115

GPS计划始于1973年 ,已于1994年进入完全运行状态。GPS的整个系统由空间部分、地面控制部分和用户部分所组成:

空间部分;太空部分

GPS的空间部分是由24颗GPS工作卫星所组成,这些GPS工作卫星共同组成了GPS卫星星座,其中21颗为可用于导航的卫星,3颗为活动的备用卫星。这24颗卫星分布在6个倾角为55°的轨道上绕地球运行。卫星的运行周期约为12恒星时。每颗GPS工作卫星都发出用于导航定位的信号。GPS用户正是利用这些信号来进行工作的。

控制部分:

GPS的控制部分由分布在全球的由若干个跟踪站所组成的监控系统所构成,根据其作用的不同,这些跟踪站又被分为主控站、监控站和注入站。主控站有一个,位于美国克罗拉多(Colorado)的法尔孔(Falcon)空军基地,它的作用是根据各监控站对GPS的观测数据,计算出卫星的星历和卫星钟的改正参数等,并将这些数据通过注入站注入到卫星中去;同时,它还对卫星进行控制,向卫星发布指令,当工作卫星出现故障时,调度备用卫星,替代失效的工作卫星工作;另外,主控站也具有监控站的功能。监控站有五个,除了主控站外,其它四个分别位于夏威夷(Hawaii)、阿松森群岛(Ascencion)、迭哥伽西亚(Diego Garcia)、卡瓦加兰(Kwajalein),监控站的作用是接收卫星信号,监测卫星的工作状态;注入站有三个,它们分别位于阿松森群岛(Ascencion)、迭哥伽西亚(Diego Garcia)、卡瓦加兰(Kwajalein),注入站的作用是将主控站计算出的卫星星历和卫星钟的改正数等注入到卫星中去。

用户部分:地面接收

GPS的用户部分由GPS接收机、数据处理软件及相应的用户设备如计算机气象仪器等所组成。它的作用是接收GPS卫星所发出的信号,利用这些信号进行导航定位等工作。 以上这三个部分共同组成了一个完整的GPS系统。

116

§24.6.2图形的变换与坐标

【学习目标】:

1、知道在平面内,确定点的位置一般需要两个数据;

2、掌握运用直角坐标系和方位坐标的方法来描述物体的位置。

【教学重点】:

建立平面直角坐标系用直角坐标和方位坐标确定物体的位置。

【教学难点】:如何确立变换后图像的相应坐标点的坐标。

【快乐学习】

一、想一想:我们初中主要学习了哪些图形的变换,其中哪些图形在变换前后是全等的?哪些是相似的?分别有哪些主要特征?

二、阅读课本76页例题:并完成下列问题:

图形的平移:

向右平移a(a>0)个单位后坐标为

点A(x,y)

向左平移a(a>0)个单位后坐标为

点A(x,y)

向上平移a(a>0)个单位后坐标为

点A(x,y)

向下平移a(a>0)个单位后坐标为

点A(x,y)

117 ( ) ( ) ( ) ( )

用文字写出体现上述变化的规律:

拓展学习:

自己随便写一个直线的解析式然后在直线上任取2点,将这两点分别向右平移1个单位,再向下平移2个单位,写出对应坐标并求出经过平移后的两点的直线的解析式。

小组内整理一下不同直线对应的解析式的变化,你能发现一条直线平移前后的变化规律吗?(我们可以称这种方法为取特殊点法)

提示:左右平移应将变量x本身进行加减(注意:左加右减)相应的平移单位;上下平移应将变量y本身进行加减(注意:下加上减)相应的平移单位;最后整理成一般形式即可。这个规律适应所有的函数图像。你能举例说明吗?

三、 学习课本77页“思考”,并完成“试一试”,然后完成下列问题: 图形的对称:

关于y轴对称

点A(x,y)

关于x轴对称

点A(x,y)

关于原点o中心对称

118 ( ) ( )

点A(x,y)

文字总结上述规律:

( )

拓展:你能用上述平移中的“取特殊点”法发现函数图像分别关于x轴、y

轴、原点对称的规律吗?(可以以直线为例)写出你的发现过程:

(提示:与点的变换规律类似)

四、 学习课本78页“思考”,之后小结将图形因某一中心进行放大或缩

小后各顶点坐标的变化。位似比为1:2的两个位似图形。

【一显身手】:

1、已知△ABC各顶点的坐标为A(2,1),B(0,3),C(4,0)

(1)把△ABC向上平移一个单位,所得三角形三个顶点坐标为___________ ____

___

(3)把△ABC先向下平移一个单位,再向左平移一个单位,所得三角形三

个顶点坐标为______________

2、(★★★)若已知点M(-1,0),点N(0,1),则直线MN与y轴对称的直线

解析式是__________,与x轴对称的直线解析式是__________,关于原点成

中心对称的直线的解析式是: 将直线MN向右平移1个单位,

然后向

119 (2)把△ABC向右平移一个单位,所得三角形三个顶点坐标为___________

下平移一个单位,所得到的直线的解析式是:

3、(★★)在平面直角坐标系中A(2,3); B(7,4);C(8,5)

(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出△A1B1C1各顶点的坐标;

(2)将△ABC向右平移6个单位,作出平移后的△A2B2C2,并写出△A2B2C2各顶点的坐标;

(3)观察△A1B1C1和△A2B2C2,它们是否关于某直线对称?若是,

请在图上画出这条对称轴。

【反思总结】

本节你有什么收获?

你提出了什么问题?发现了什么?

你还有困难与困惑吗?

对于老师的教学,你有何建议?

§24.7复习课

【复习目标】

120

1.能理清本章的知识及其联系,画出知识结构图。

2.会运用相似三角形的识别方法、性质进行有关问题的简单的说理或计算,提高解决实际问题的能力,培养应用数学知识的意识。

3.能用坐标来表示物体的位置,感受点的坐标由于图形的变化而相应地也发生变化,体会到数与形之间的关系。

4、通过复习,形成知识体系,整体把握本章内容。

【复习过程】

1、 结合目录,阅读课本,理清本章知识,自己画出知识结构图。(可参

考课本单元小结)然后同学之间交流修正。

2、快速浏览本章中所有例题、证明、绘图,分类整理各类题型与方法,然后与同学之间进行交流修正。

3、(★★★★)课外结合上述两个环节,自己出一份测试题,题目多少、形式不限,但是尽可能的考察到本章所学的知识点,尽可能的联系生活实际。然后小组内交换做题,看看谁出的题目最好。

图形的相似单元自我检测

一、选择题

121

1、两个相似三角形的面积比为 4:9,周长和是20 cm,则这两个三角形

的周长分别是( )

A、8cm和12cm B、 7cm和13cm C、9cm和11cm D、4cm和16cm

AD2 2、如图 1,已知 DE//BC,且?,那么?ADE与?ABC的面积比DB3

S?ADE:S?ABC等于( )

A、2:5 B、2:3 C、4:9 D、4:25

3、如图2,?ABC∽?ADB,下列关系成立的是( )

A、?ADB=?ACB B、?ADB=?ABC

C、?CDB=?CAB D、?ABC=?BDC

4、如图3,已知?ABC中,DE//FG//BC,且AD:DF:FB=1:2:3,则

S?ADE:S四边形DFGE:S四边形FBCG等于( )

A、1:9:36 B、1:4:9 C、1:8:27 D、1:8:36

ACB

1

CB2B3C

5、下列说法中,正确的是( ) A、所有的等腰三角形都相似 B、所有的菱形都相似 C、所有的矩形都相似 D、所有的等腰直角三角形都相似

6、小明在华联超市的北偏西300方向上,则华联超市在小明的( ) A: 北偏西300 B:南偏东600 C: 南偏东300 D: 北偏西600

7、若两个相似三角形的面积之比为2:3,则它们对应角的平分线之比为。( )

6623A、 B、 C、 D、 3232

8、用一个3倍放大镜照一个?ABC,下面说法中正确的是( )

122

A、?ABC放大后,?A是原来的3倍

B、?ABC放大后,周长是原来的3倍

C、?ABC放大后,面积是原来的3倍

D、 以上都不对

9、四边形ABCD与四边形A/B/C/D/位似,O为位似中心,若OA : O A/

= 1:3,则S四边形ABCD:S四边形A/B/C/D/=( )

A: 1:9 B: 1:3 C: 1:4 D: 1:5

10、如图4,?C?900,CD?AB于D,DE?BC于E,则与Rt?CDE相似的

直角三角形共有( )

A、4个 B、3个 C、 2个 D、1个

11、如图5,?ABC中,BD、CE是高,且BD、CE交于F点,则图中与?AEC

相似(不包括其本身)的三角形个数是 ( )

A、1 B、2 C、3 D、4

12、如图6,在?ABC中,M是BC边的中点,AD是∠A的平分线,BD⊥AD

于D,AB=12,AC=18,则MD的长为( )

A、3 B、4 C、5 D、6

C

A

4DBB5

C6MC

二、填空题,

a?2b9?,则a:b?_____. 13、已知2a?b5

14、同一时刻,一竿高为2 m,影长为 1.2 m,某塔的影长为 18 m,则塔高为_____.

15、在比例尺为1:4 00O的平面图上,量得某学校的校园的周长是60cm,则此学校校园的实际周长是_____米.

16、一个多边形的边长依次为l、2、3、4、5、6,与它相似的另一个多边

形的最大边长为8,那么另一个多边形的周长是_____.

17、梯形的面积为12cm2,高为3cm,则梯形的中位线为__________. 123

18、?ABC中,G是的重心,且AG=12,GC=6,BG=10.则三中线的和为_______

19、若三角形的三边a:b:c?8:3:7,且2c?a?b?3,则此三角形的周长

为_____.

20、点P(-2,2)沿x轴的正方向平移4个单位得到点P/的坐标为

__________.

三、解答题

21、如图:△ABC中,∠B=90,点D、E在BC上,且AB=BD =DE =EC,求证:△ADE ∽ △CDA

A

B

DEC

22、如图,一油桶高1m,桶内有油,一根木棒长1.2m,从桶盖的小口处斜插入桶内,一端插到桶底,另一端到小口,抽出木棒量得棒上未浸油部分长0.48m.求桶内油面的高度。

23、已知,如图,EF是平行四边形ABCD外的////BEFD直线,AA,BB,CC,DD都垂直于EF,ABCD为垂足,求证:AA+CC=BB+DD

124 ////一条////

F

D/

E

B/

A/

C/

24、如图(1)、( 2 ),在两个全等的直角三角形中,∠C=∠C/=900,AC=6,BC=8,AB=10,分别在两个三角形中画出如图所示的正方形DEFG和正方形C/MNP。 通过计算比较一下,哪个正方形的边长大些?

A

E(1)

F

B

AB/

C/

N(2)

总结自己存在的问题,分析原因,制定弥补方案。

答案:

§24.1 相似的图形

【一显身手】

125

1、略;2、(1)~(a),(2)~(d),(3)~(g);3、相似、相似、不一定相似、相似、不一定相似、相似。

§24.2相似的图形性质(1)成比例线段

【自主探究训练】

1、不成比例;2、成比例。方法提示:按照大小排列后计算是否成比例。 补充练习:

3(3) x=9;2、所添的数可以是:23;; 23

【过关题目】

4、m=12;2、x=9或-9;x=9;3、a= 6; b= 9; c=21;4、

5、x?1;y?1;z?1 6435; 7

§24.2相似的图形性质(2)相似图形的性质

【一显身手】

1、C;2、D;3、10;4、68°;5、9;6、x=27;y=24;a=85°7、c 2

黄金分割练习1、5?1a;2、距离一边12.4米或者7.6米 2

§24.3.1 相似三角形

【一显身手】:1、略;2、其他两边都是14米;3、全等;4 ;24;5、D;

6、C

§24.3.2相似三角形的判定(1)

126

【挑战自我】:

1、错、对、对、错、错;2、∠ADC=∠ACB或者∠ACD=∠B;3、∠ADC=∠AEB或者∠ACD=∠B或者∠BDC=∠BEC(2.3题还可添加公共角两边对应成比例)

§24.3.2相似三角形的判定(2)

自主练习:

7、△ABC∽△CBD∽△ACD(证明略)

8、ED=2.4

3、解:因为BM:MC=3:4可设比例系数为x,则BM=3x,MC=4x;

所以在平行四边形ABCD中AD=BC=7x;

因为:在平行四边形ABCD中AD∥BC

所以:∠DBC=∠ADB; ∠DAM=∠AMB;

所以:△AFD∽△MFB

所以:BF:FD=BM:AD=3x:7x=3设BF=3a则FD=7a

7

所以:BF:BD=3a:10a=3:10

4、提示:先证明△ADB∽△AEC,得出AE:AD=AC:AB然后根据公共角∠A,运用两边对应成比例及夹角相等来证明结论。

【挑战自我】

1、方案1:另两边长分别为2.5;3

方案2:另两边长分别为1.6;2.4

45方案3:另两边长分别为; 33

2.令一个三角形三边分别是4、5、x;另一三角形y、4、5然后,令他们相似。根据对应边成比例,求得x=25/4;y=16/5,检验能构成三角形,故符合条件。

§24.3.3相似三角形的性质

【一显身手】

1、BC=20、

=18、=30;2、54;3、8,10;4、D; 127

5、C;6、相似比:甲:乙=5:2,面积比:甲:乙=25:4

7、9㎝

§24.3.4相似三角形的应用

二、(2)10m;三、略

四、(1)提示:证明△BGD∽△BCE,(2)提示:由BD2BC=BG2BE及AD是斜边的中线,也是高线,可得出BA=2BD,而BD2BC=2DB2=BA2故:BA2=BG2BC可得到△BAG∽△BEA从而正的垂直关系。

【一显身手】

1、A;2、D;3、B;4、AB=(5+

【深度探究】

111EFDF+=(提示:由△DEF∽△DAB可得=,ABCDEFABBD

EFBFDFBFEFEF由△BEF∽△BDC可得:=,而+=1,所以+=1即CDBDBDBDABCD

111+=) ABCDEF

EFDFGCEG拓展:EF=EG(提示:===,所以EF=EG) ABBDACAB

面积相等的三角形:△ABD与△ABC;△CDA与△CDB;△AEC与△BED;△GEC与△EFD;△AEG与△BEF 111二、相似三角形略,结论:+= OBO B?OF

提示:过A′作A′M∥B B′交CD于点M则构成梯形MA′CA,图形便于上题基本相同,也可以用其他方法。

§24.4 中位线

【一显身手】1、26;2、8;3、26;4、4;5、2;6、2(连结梯形对角线中点的线段等于上下低差的一半)

【拓展训练】

1、提示:连结对角线,运用中位线定理;

等腰梯形——菱形 菱形——矩形

矩形——菱形 正方形——正方形

2、略;3、2a

§24.5 画相似图形 32)m 2五、

128

【一显身手】

4、 D;2、D;3、18;4、略

【拓展训练】

提示:

如图:先在△ABC的边BC上作正方形DEFG,(过AB上任取一点G作GD⊥BC于点D,然后,以GD为边作正方形)然后连结并延长BF交AC于点I,过点I作IJ⊥BC于点J,然后,以IJ为边作正方形KIJH为所求。

需要进一步探讨的是:每一条边上都可以作出一个正方形,但是哪一个正方形面积最大呢?可以发现其边长等于所在底边与底边上的高的积除以二者的和,这样,要使边长大,可以是二者的和最小的即可,这样,经过计算实验(也可以推理论证)知,三边中其长度居于中间的边上的正方形面积最大。(注意思考探究等腰三角形)

§24、6.1用坐标确定位置

本节略(请小组内自行讨论确立答案)

§24.6.2图形的变换与坐标

【一显身手】

5、(1)A(2,2),B(0,4),C(4,1),(2)A(3,1),B(1,3),C(5,0),

(3)A(1,0),B(-1,2),C(3,-1)

6、y=-x+1;y=-x-1;y=x-1;y=x-1

A1(-2,3),B1(-7,4),C1(-8,5);A2(8,3),B2(13,4),C2(14,5)

对称轴:x=3

129

图形的相似单元自我检测

一、D B C D C C B A A C A

二、19:13;14、30M;15、2400;16、28;17、4㎝;18、42、

19、18;20(2,2)

三、21、提示:计算公共角的两边成比例。

22、0.6m

23、提示:作平行四边形的对角线,过交点作垂线,利用梯形的中位线。

1202424、(1)的边长为;(2)的边长为,故(2)的边长长些。 737

提示:可以利用正方形的边长与所在直角三角形的一边之比加上边长与该边上高长之比的和等于1这一结论来计算。(可以利用三角形的性质来证明,可类比§24.3.4相似三角形的应用中关于小孔成像的结论证明方法。同时也是§24.5 画相似图形中拓展训练的特例。

第25章 解直角三角形

25.1 锐角三角函数(1)

学习目标

1、正弦、余弦、正切、余切的定义。

2、正弦、余弦、正切、余切的应用。

学习重难点

重点:正弦、余弦、正切、余切的定义。

难点:正弦、余弦、正切、余切的应用。

导学流程

A、情境导入

我们学过的直角三角形的知识有勾股定理,还有上节课的拓展提高中提到的直角三角形的边角关系,那么直角三角形的边角关系究竟是怎样的,这就是本节课我们所研究的问题。

130

B、明确目标

由直角三角形相似的知识探究出在直角三角形中,对边与斜边、斜边与斜边、斜边与对边的比值是唯一确定的,从而引出锐角三角函数的定义。

C、自主学习

自学课本88—89页,弄懂锐角三角函数的定义,搞清直角三角形的边角关系,能够根据直角三角形的两边求出某一锐角的三角函数值,时间为12分钟。

D、合作交流

同桌之间讨论0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0,cotA>0的原因和关系式sin2A?cos2A=1,tanA2cotA=1的推导过程。

E、展示反馈

合作交流后,由一名同学展示答案,其他同学认真听完后,还有其他方法的继续补充。

F、精讲点拨

知识点一:锐角三角函数的定义的理解

在Rt△ABC中,对于锐角A有sinA=?A的对边?A的邻边,cosA=, 斜边斜边

tanA=?A的对边?A的邻边,cotA=. ?A的邻边?A的对边

sinA、cosA、tanA、cotA分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切,统称为锐角∠A的三角函数.

注:(1)锐角A的三角函数的定义是在直角三角形中相对其锐角定义的,其本质是两条线段长度之比,没有单位,它们只与∠A的大小有关,而与三角形的边长无关。

(2)对于每一个锐角A的确定值,它的正弦、余弦、正切和余切都有唯一确定的值和它对应;反之,对于每一个确定的正弦、余弦、正切和余切值,都有唯一的锐角与之对应。

(3)sinA、cosA、 tanA和 cotA是整体符号,如不能把sinA看作sin.A,离开了∠A的sin没有意义。

(4)任意锐角的正弦、余弦、正切和余切的值都是正实数,并且0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0,cotA>0。

ab(5)因为sinA=c为斜边,a为直角边),所以0<sinA<1;因为cosA=cc

131

(c为斜边,b为直角边),所以0<cosA<1。因为sinA=

22ab ,cosA=,所cca2b2a2b2a2?b2c2

以sinA+cosA=()?()?2?2??2?1。 2cccccc

知识点二:锐角三角函数的定义的应用

利用锐角三角函数的定义解题时,一定要结合图形来理解,做到“脑中有‘图’,心中有‘式’”,决不能死记硬背。如图所示:在Rt△ABC中,∠

ababbbaC=90°,sinA=,cosA=,tanA=,cotA=;sinB=,cosB=,tanB=,ccbacac

38、在直角三角形ABC中,∠C=90?,sinA=,求cosA的值。 5

J、拓展提高

1已知∠A为锐角,sinA=,求∠A的其他三角函数值。 3

锐角三角函数(2)

学习目标

掌握特殊锐角三角函数值。

学习重难点

重点: 掌握特殊锐角三角函数值。

难点:理解并掌握特殊锐角三角函数值的应用方法。

导学流程

A、情境导入

复习锐角三角函数的概念,拿出一副三角板,你能求出各个锐角的三角函数值吗?

B、明确目标

自己求出30?,45?,60?的三角函数值,熟记并应用,熟练应用在一个直角三角形中,30?所对的直角边等于斜边的一半。

C、自主学习

自学课本90-91页,熟记并应用30?,45?,60?的三角函数值,时间7分钟。

D、合作交流

同桌之间讨论“在一个直角三角形中,30?所对的直角边等于斜边的一半”, 133

的不同证明方法。

E、展示反馈

同桌之间互相提问30?,45?,60?的三角函数值,达到不出错误为止;由一名同学展示“在一个直角三角形中,30?所对的直角边等于斜边的一半”的证明过程。

F、精讲点拨

(1)对于特殊角的三角函数值,可结合下图中的数据和各函数的定义来加以计算,从而记住结果:

1 1

1

(2)通过30?,45?,60?的三角函数值,我们可以得到如下规律:

在0?~90?之间,一个锐角A

的正弦值(正切值)随角度的增大(或减小)而增大(或减小)。

在0?~90?

之间,一个锐角A的余弦值(余切值)随角度的增大(或减小)而减小(或增大)

G、课堂小结

通过表格的形式,熟记特殊锐角的三角函数值,并能熟练应用。

H、达标检测

1.计算:

(1)Sin60?-cos45? (2) cos60?+tan60?

(3)sin30?+cos30? (4)sin45?-cos30?

(5)tan60?-tan30?

134

2.在△ABC中,∠A=30°,tanB=,AC=2,求AB.

I拓展提高

1. 如图,在△ABC中,D是AB的中点,DC⊥AC,且tan∠BCD1=, 3C求SinA、cosA、tanA的值.

E

AB D

锐角三角函数(3)

学习目标

掌握用计算器求锐角三角函数值和用锐角三角函数值求锐角的方法。 学习重难点

重点:用计算器求任意一个锐角的三角函数值以及用计算器通过一个锐角的三角函数值来求出这个锐角的度数。

难点:由角的度数求出它的相应函数值以及由函数值确定角的度数时的按键顺序的掌握,同时应注意有“度、分、秒”的使用方法。

导学流程

A、情境导入

这节课我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角.

B、明确目标

掌握用计算器求锐角三角函数值和用锐角三角函数值求锐角的方法。

C、自主学习

自学课本91-93页,记住用计算器求锐角三角函数值和用锐角三角函数值 135

求锐角的步骤,时间10分钟。

D、合作交流

同桌之间讨论求一个锐角余切值的理论根据和操作方法,以及已知一个锐角的余切值求这个锐角的操作方法。

E、展示反馈

同桌之间互相检查课本中例题的操作过程是否准确,相互指出错误加以改正。

F、精讲点拨

1、 求已知锐角的三角函数值

例2 求sin63°52′41″的值.(精确到0.0001)

解 先用如下方法将角度单位状态设定为“度”:

(SETUP)

显示

显示结果为0

.897859012.

所以sin63°

52′41″≈

0.8979

例3 求cot70

°45′的值.

(精确到0.

0001)

在角度单位状态为“度”的情况下(屏幕显示

),按下列顺序依次按键:

所以cot70°45′≈0.3492.

2、 由锐角三角函数值求锐角

例5 已知cotx=0.1950,求锐角x.(精确到1′)

1分析 根据tanx?,可以求出tanx的值,然后根据课本中的例4的cotx

方法就可以求出锐角x的值.

G、课堂小结

用sin、 cos、tan 键

136

1.用计算器求下列各式的值

(1)sin67°38′24″;(2)tan63°27′;(3)cos18°59′27″.

2.根据下列条件求∠A的度数(用度分秒来表示):

(1)cos∠A=0.6753;(2)tan∠A=87.54;(3) sin∠A=0.4553.

I拓展提高

一梯子斜靠在一面墙上。已知梯长4米,梯子位于地面上的一端离墙壁2.5米,求梯子与地面所成的锐角。

25.2 解直角三角形(1)

学习目标

1. 理解解直角三角形的概念,理解俯角、仰角的概念。

2. 能够解直角三角形。

学习重难点

重点: 锐角三角函数在解直角三角形中的灵活运用

难点:要求学生善于将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系,从而解决问题.

导学流程

A、情境导入

1.在三角形中共有几个元素?

2.直角三角形ABC中,∠C=90°,a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢?

B、明确目标

知道什么是解直角三角形,解直角三角形的工具是什么以及怎样应用?

C、自主学习

自学课本94-96页,理解解直角三角形的概念,仰角俯角的概念,并能简 137

单的应用直角三角形的边角关系解决实际问题,时间为15分钟。

D、合作交流

看完课本后,自己做完课后练习题,同桌之间相互检查,做错的地方相互讨论指正。

E、展示反馈

由小组中的一名同学,回答练习题答案,其他同学根据自己的答案指出异同点。

F、精讲点拨

解直角三角形的理论根据:

(1)边角之间关系 sinA=aba cosA= tanA= ccb

(2)三边之间关系

a2 +b2 =c2 (勾股定理)

(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°.

直角三角形的概念:

在直角三角形中,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形.

做题步骤:一定要逻辑合理。

例如例2 如图25.3.2,东西两炮台A、

B相距2000米,同时发现入侵敌舰C,炮台

A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向,炮

台B测得敌舰C在它的正南方,试求敌舰与

两炮台的距离.(精确到1米)

图25.3.2

138

解 在Rt△ABC中,

∵ ∠CAB=90°-∠DAC=50°,

BC=tan∠CAB, AB

∴ BC=AB2tan∠CAB

=20003tan50°≈2384(米).

AB∵ =cos50°, AC

AB2000∴ AC=≈3111(米). ?cos50?cos50?

答: 敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.

解直角三角形,只有下面两种情况:

(1) 已知两条边;

(2) 已知一条边和一个锐角.

即:除直角外的5个元素(3条边和2个锐角)只要知道其中的2个元素(至少有一个元素是边),就可以求出其余的3个元素。

G、课堂小结

1、在直角三角形中,除直角外还有五个元素,知道两个元素(至少有一个

是边),就可以求出另三个元素.

2、解决问题要结合图形。

3、将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决;今后,我们要善于用数学知识解决实际问题.

H、达标检测

1、如图所示,站在离旗杆BE底部10米处的D点,目测旗杆的顶部,视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°,并已知目高AD为1米.算出旗杆的实际高度.(精确到1米)

2、海中有一个小岛A,该岛四周10海里内暗礁.今有货轮四由西向东航行,开始在A岛南偏西55°的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°

139

的C处.之后,货轮继续向东航行, 船有无触礁的危险?要解决这个问题,我们可以将其数学化,如图:

请与同伴交流你是怎么想的? 怎么去做?

3.某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).

I、拓展提高

3在Rt△ACB中,∠ACB=90°,sinB=,D是BC上一点,DE⊥AB于E,5

140

CD=DE,AC+CD =9,求BE、CE的长。

解直角三角形(2)

学习目标

1、理解坡度、坡角的概念

2、继续巩固解直角三角形的知识,提高学生的应用能力。。

学习重难点

重点: 锐角三角函数在解直角三角形中的灵活运用

难点:要求学生善于将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系,从而解决问题.

导学流程

A、情境导入

分组练习,互问互答,巩固勾股定理和锐角三角函数定义等内容,回顾仰角与俯角等概念。在修路、挖河、开渠和筑坝时,设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度,何为倾斜程度呢?

B、明确目标

使学生养成“先画图,再求解”的习惯;灵活运用坡度、坡角在实际问题情境下的应用,以及熟练应用直角三角形的边角关系。

C、自主学习

自学课本97-98页,理解坡度、坡角的概念,并能熟练应用于实际问题中,时间为10分钟。

D、合作交流

看完课本后,对于课本中的例4,有不懂的地方,同桌之间交流,再解决不了得地方小组讨论解决,然后自己做完课后练习题,同桌之间相互检查,做错的地方相互讨论指正。

E、展示反馈

由小组中的一名同学,回答练习题答案,其他同学根据自己的答案指出异同点。

F、精讲点拨

141

内容总结

坡角是斜坡与水平线的夹角;坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。

h坡角与坡度之间的关系是:i==tan a。 l

坡度越大,坡角就越大,坡面就越陡。

方法归纳

在涉及梯形问题时,常常首先把梯形分割成我们熟悉的三角形、平行四边形,再借助这些熟悉图形的性质与特征来加以研究。

G、课堂小结

坡度、坡角的的概念,坡度与坡角的关系,以及它们在实际问题中的实际应用。

H、达标检测

1、如图,有一斜坡AB长40m,坡顶离地面的高度为20m,求此斜坡的倾斜角.

2.如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=135°.

(1)求坡角∠ABC的大小;

(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ). ┌ 142

I、 拓展提高

3.如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽两米,坡度由原来的1:2改成

1:2.5,已知原背水坡长BD=13.4米, 求: (1)原背水坡的坡角 和加宽后的背水坡的坡角 ; (2)加宽后水坝的横截面面积增加了多少?(精确到0.01)

A B E F

25.3 测量

一、学习目标

1、复习巩固相似三角形的知识。

2、掌握测量方法。

二、教学重点难点

3、重点:掌握测量方法。

4、难点:理解并掌握测量方法。

三、导学流程

A、情境导入

当你走进学校,仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时,你也许很想知道

143

操场旗杆有多高?你有哪些可行的方法?

B、明确目标

能够根据所学的旧知识,总结出测量方法,写出具体的测量过程和计算过程,画出相应的几何图形。

C、自主学习

带着情境导入中的问题,看课本86-87页,看完后自己总结出测量方法,方法尽可能全,画出相应的几何图形,写出测量过程和计算过程,时间为7分钟。

D、合作交流

将自己预习的结果,和同桌交流,特别是测量方法是否全面,几何图形画的是否准确,测量步骤是否合理,计算过程是否准确,相互指出错误,彼此改正。如果同桌意见不统一,可进行小组交流,将争执点拿到小组内讨论,组织出自己认为较准确的答案。

E、展示反馈

由各个小组推荐一名成员回答问题结果,全班同学认真听完后,找出自己比较认同的结果。

F、精讲点拨

根据所学的知识可利用相似三角形的知识来解决这个问题.

方法一:站在操场上,请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度,再根据你的身高,便可以利用△ABC∽△A′B′C′计算出旗杆BC的高度.如图

图25.1.1

144

这种

方法二:如果就你一个人,又遇上阴天,还是利用相似三角形的知识.如图

如图25.1.2所示,站在离旗杆BE底部10米处的D点,目测旗杆的顶部,视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°,并已知目高AD为1.5米.现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上,并记为△A′B′C′,用刻度直尺量出纸上B′C′的长度,再乘以500,得到BC的长,再加上AD的长,便可以算出旗杆的实际高度.这种方法的关键是利用比例尺=图上距离。 实际距离 图25.1.2

我们利用图25.1.2(1)中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度,而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系.我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系(即勾股定理),那么它的边与角又有什么关系?这就是本章要探究的内容

G、课堂小结

H

1.某建筑物在地面的影长为36米,同时高为1.2米的侧杆影长为2米,那么该建筑物的高为-----米。

2.垂直于地面的竹竿的影长为12米,其顶端到期影子顶端的距离为13米,如果此时测得某小树的影长为6米,则树高---------米。

3、如图,小明在地面上放置了一个平面镜E来测量铁塔AB的高度,镜子与铁塔的距离EB=20米,镜子于小明的距离ED=2米,小明刚好从镜中看到铁塔的顶端A。已知小明眼睛的高度CD=1.5米,则铁塔AB的高度是 145

---------。

A C

B D E

4. 在平静的湖面上,有一枝红莲,高出水面1米,阵风吹来,红莲被风吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,问这里水深多少?

5.在一棵树的10米高B处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处.另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,求这棵树的高度.

J、拓展提高

6.在河的两岸有对应的A、B两点,请你利用相似三角形的知识设计一个方案测量并求出AB的距离。并说明理由。

单元测试题

一、耐心填一填:

1.在△ABC中,如果∠C=90°,∠A=45°,那么tanA+sinB=________; △ABC

为____对称图形(填“轴”或“中心”).

2.某飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为60°, 此时飞

机与该地面控制点之间的距离是______米. 146

3.在△ABC中,∠C为直角,若

则∠A的度数是_____,cosB的值是

___.

4.如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=45°,把△ADC沿AD对折,点C落在C′处, 则BC′与BC之间的数量关系是_______.

'

AA

aDC

BDCBCADB

5.sin60°2cos30°+sin245°=_________.

6.如图,矩形ABCD(AD>AB)中AB=a,∠BDA=θ,作AE交BD于E,且AE=AB,试用a

与θ表示:AD=______,BE=_______.

1 7.求值:sin60

°3cos45°=__________. 22

5,则sinB=________. 13

9.如果∠A是锐角,cosA=0.618,那么sin(90°-A)的值为________.

10.若tanα+cotα=3, α为锐角,则tan2α+cot2α=_______.

二、精心选一选:

11.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BC=3,AC=4,设∠BCD=α,则

tanα的值为( ) 3434 A.; B.; C.; D. 4355

12.若α是锐角,sinα=cos50°,则α的值为( )

A.20° B.30° C.40° D.50°

13.令a=sin60°,b=cos45°,c=tan30°,则它们之间的大小关系是( )

A.c<b<a B.b<a<c; C.a<c<b D.b<c<a 8.已知:Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=

14.若∠A为锐角,且

sinA=,则∠A的度数为( ) 2

A.30° B.45° C.60° D.90°

15.已知△ABC中,∠B=60°,AB=6,BC=8,则△ABC的面积为( )

147

16.已知Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=

A.1; C.; D.1

2

1,则cosB的值为( ) 2

17.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴的夹角为60°,且点A坐标为

(- 2,0),点B在x轴上方,设AB=a,那么点B的横坐标为( ) aaaaA.2-; B.2+; C.-2-; D.-2+ 2222

三、细心算一算:

18.(7分)我人民解放军在进行“解放一号”军事演习时,于海拔高度为600米的某海岛顶端A处设立了一个观察点.上午九时, 观察员发现“红方C舰”和“蓝方D舰”与该岛恰如在一条直线上,并测得“红方C舰”的俯角为30°, 测得“蓝色D舰”的俯角为8°,请求出两舰之间的距离.(参谋数据

: °=0. 14,cot8°=7.12)

A

BCD

19.(8分)如图,有一位同学用一个30 °角的直角三角板估测他们学校的旗杆AB的高度,他将30°角的直角边水平放在1.3米高的支架CD上, 三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上,他又量得D、B的距离为15米,试求旗杆AB的高度.(精确到0.1米)

B

148

20.(8分)为申办2010年冬奥会,须改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中,要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B为圆心,半径与AB等长的圆形危险区,现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°,树的底部B 点的俯角为30°,问距离B点8米远的保护物是否在危险区内?( 的近似值取1.73)

C?

?

DB

四、用心想一想:

21.某村计划开挖一条长1500米的水渠,渠道的断面为等腰梯形,渠道深0.8米,下底宽1.2米,坡角为45°,实际开挖渠道时,每天比原计划多挖土20立方米, 结果比原计划提前4天完工,求原计划每天挖土多少立方米

?

22.如图,MN是表示某引水工程的一段设计路线,从M到N的走向为南偏东

30°,在M的南偏东60°方向上有一点A,以A为圆心,500 米为半径的圆形区域为居民区,取MN上另一点B,测得BA的方向为南偏东75°,已知MB=400米,通过计算回答,如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区?

149

23.如图,某港口有一灯塔A,灯塔A的正东有B、C两灯塔,以BC为直径的半圆

区域内有若干暗礁,BC=18海里,一船在M处测得灯塔A、C分别在船的南偏西60°和南偏西15°方向,船沿MN方向行驶6海里恰好处在灯塔C的正北方向N处.

(1)求CN的长(精确到0.1海里); (2)若船继续沿MA方向朝A行驶,是否有触

礁的危险?

(参考数值

:= 1.

414,0=0.2588,cos150=0.9658,tan15°=0.2680,

cot15°

=3.732)

24.如图,已知测速站P到公路L的距离PO为40米,一辆汽车在公路L上行驶, 测得此车从点A行驶到点B所用的时间为2秒,并测得∠APO=60°,∠

BPO=30°,计算此车从A到B的平均速度为每秒多少米?(结果保留四个有效数字),并判断此车是否超过了每秒22米的限制速度.

150

ABl

P

答案:

25.1.1 1.MN ,PN,PN,MN. 2.

6.选A. 7.选B.

8.解析:第一种方法,可以应用 si2nA?co2sA=1得,34cosA=?sin2A=?()2?。 55BDADAB. 3.选A. 4.选A. 5.选B. ??ABACBC

3第二种方法,利用定义,根据sinA=,设BC=3x,AB=5x,由勾股定理得 5

4x4AC=4x,所以cosA==。 5x5

拓展提高

1解析:利用定义,根据sinA=,设在直角三角形ABC中,∠C=90?,BC=x, 3

AB=3x,

根据勾股定理得,AC=(3x)2?x2?22x,?cosA?

x22x222x?22. , cotA=4x22x22?, 3x3TanA=?

25.1.2

1.(1)?21?231?32?23(2)(3)(4)(5) 。 22223

151

2.解析: ∵tanB=3,∴∠B=60°,又∵∠A=30°,∴∠C=90, ∵sinB=AC2AC??4. , ∴AB=sinBAB3

2?

拓展提高

解析:如图示,过点D作DE⊥CD, ∵DC⊥AC, ∴AC//DE,

1 ∵D是AB的中点, ∴E是BC的中点,∴DE=AC 2

1∵tan∠BCD=,∴设DE=x,CD=3x, ∴AC=2x,在直角三角形ACD中, 3

∠ACD=90°AC=2x, CD=3x, ∴AD=4x2?9x2?x。

∴sinA=3x

x?32x23x3,cosA??,tanA??. 13132x2x

25.1.3

巩固练习:1、(1) sin67°38′24″≈0.9248.

(2)tan63°27′≈2.0013;

(3)cos18°59′27″≈0.9456.

2、(1)∵cos∠A=0.6753,∴∠A≈47°31′21″;

(2) ∵tan∠A=87.54,∴∠A≈89°20′44″;

(3) ∵ sin∠A=0.4553∴∠A≈27°5′3″.

2.5拓展提高:如图,cos∠A==0.625,∴∠A≈51°19

4C 所以梯子与地面所成的锐角的度数约51°19′4″.

A B 25.2.1 达标检测:

1、解析:在直角三角形ABC中,∠BAC为34°,AC=10,

所以BC=103tan34°≈0.67310=6.7,所以BE=AD+BC=6.7+1=7.7≈8(米). 答:旗杆的实际高度为8米。

152

2、解析: 如图,∠ABC=90°-55°=35°, ∠ACD=90°-25°=65°,BC=20海里.

A作AE⊥BD,垂足为点E,在Rt△ACE中,∠ACE=65°,CE=AE3cot65°, 在Rt△ABE中,BE= AE3cot35°,因为BE-CE= 20,所以AE3cot35°- AE3cot65°=20,解得AE=20÷(cot35°- cot65°)=20.79>10. 货轮继续向东航行, 船没有触礁的危险.

3、解析:如图,∠BDC=40°, ∠BAC=35°,DC=4m. 在Rt△BDC中, ∠BDC=40°,DC=4m,所以BC=43tan40°≈3.356,在Rt△BAC中, AC=cot35°33.356≈4.793,所以AD=4.793-4=0.793≈0.79(m)。 答:调整后的楼梯多占0.79m.

3拓展提高:解析:因为sinB=,∠ACB=90°, DE⊥AB, 5

DEAC3所以sinB=??, DBAB5

设DE=CD=3k,则DB=5k,所以CB=8k,所以AC=6k,AB=10k,因为AC+CD=9, 所以6k+3k=9,所以k=1,所以DE=3,DB=5,所以BE=4。

DEBEBD5过C作CF⊥AB于F,则CF//DE,所以???,求得CFBFBC8

2432CF=,BF? 55

1212所以EF=,所以在Rt△CEF中,CE=CF2?EF2?. 55

25.2.2

1.30°;

2.(1)17°、(2)约为10180.8立方米。

3.(1)27°,22°;(2)约为23.96平方米。

25.3

达标检测

1、21.6 2、2.5 3、15米

4、解析:设这里的水深为x米,根据题意得,

x2?22?(x?1)2 ,解得 x=1.5

所以,这里的水深为1.5米。

5、解析:设这棵树高为x米,根据题意得,

153

x-10+x2?202=10+20 整理得 80x=1200 解得x=15

所以 ,这棵树高为15米。

拓展提高:

6、解析:如图,可以在过点B所作AB的垂线上取两点C、D,使CD=CB,并在C处立上标杆,在CD的垂线上找出一点E,使E、C、A三点在同一直线上,这时测得DE的长就是河宽AB。

理由如下:∵AB⊥BD,DE⊥BD,∴∠ABC=∠EDC=90°.

在△ABC和△EDC中,∠ABC=∠EDC,CD=CB,∠ACB=∠ECD,

∴△ABC≌△EDC, ∴AB=ED。 A

D C B

E 单元测试题:

1.

1+,轴 2、

米 3、60

°, 4、BC′

=BC 5、2 222

12; 8. 9.0.618 10.7 8136、AD=a2cotθ,BE= 2a2sinsinθ

; 7.

11.A 12.C 13.A 14.B 15.A 16.A 17.D 18.3234米 19.10.0米

20.AB=6.92米<8米时,不在危险区内 21. 100m3

22.BC=AC=200(不改变方向,输水线路不穿过居民区.

23.圆半径为9.7>9,没有危险

24.v=23.09,超过22米限制.

第26章 随机事件的概率导学案

26、1、1 什么是概率

学习目标:

知识与技能目标: 1.能在简单的问题中预测事件的概率. 154

2.知道所求具体问题概率的意思.

过程与方法目标: 通过活动,感受数学与现实生活的联系;提高用数学知

识来决问题的能力.

情感与态度目标: 通过对概率问题的探索,使学生体会概率在现实生活中

的广泛应用,使学生更好地认识世界,并形成自己的看

法,促进形成正确的世界观及辩证唯物主义的观点

学习重点难点:

学习重点:对概率定义的理解和简单事件的概率的计算。

学习难点:用概率对事件进行认识。

导学流程:

情景导入:

问题:

(1)如果天气预报说:“明日降水的概率是80%,那么你会带雨具吗?”

(2)有两个工厂生产同一型号足球,甲厂产品的次品率为0.001,乙厂产品的次品率是0.01.若两厂的产品在价格等其他方面的条件都相同,你愿意买哪个厂的产品?

自主学习:一、自学课本106页至108页内容,大约用五分钟时间,完成

以下学习任务:

(1)掌握概率的定义,

(2)学习课本中表26.1.1,并把表格补充完整。

(3)如何从频率的角度解释某一具体的概率值?

(4)除实验外我们还可以用什么方法求概率?

合作交流:在自学的基础上,跟同桌交流书中所有问题的答案,答案不统

一的,前后桌的同学再讨论后统一答案。

关注的结果个数精讲点拨:( 1 ) P(关注的结果)= 所有机会均等的结果的个数 ( 2 ) 实验频率跟理论概率是统一的。

练习达标:(分层练习)

A组

1.掷一枚普通正六面体骰子,求出下列事件出现的概率:

155

P(掷得点数是6) =________ ; P(掷得点数小于7)= _________ ; P(掷得点数为5或3)= _________ ; P(掷得点数大于6)= ___________ .

2.甲产品合格率为98,乙产品的合格率为80,你认为买哪一种产品更可靠?

3.阿强在一次抽奖活动中,只抽了一张,就中了一等奖,能不能说这次抽奖活动的中奖率为百分之百?为什么? 4.从一副扑克牌(除去大小王)中任抽一张2

P(抽到红心) = ________ P(抽到黑桃) = _______ P(抽到红心3)= ________ P 抽到5)= __________

5.有5张数字卡片,它们的背面完全相同,正面分别标有1,2,2,3,

42现将它们的背面朝上,从中任意摸到一张卡片,则:

P(摸到1号卡片)= _______ P(摸到2号卡片)= ________ P(摸到3号卡片)= _______ P(摸到4号卡片)= ________ 6. 任意翻一下日历,翻出1月6日的概率为________.翻出4月31日的概率为 ________.

B组

1. 某商场为了吸引顾客,设立了一个可以自由转动的转盘,并规定:顾客每购买100元的商品,就能获得一次转动转盘的机会2如果转盘停止后,指针正好对准红、黄或绿色区域,顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券(转盘被等分成20个扇形)2甲顾客购物120元,他获得购物券的概率是多少?他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少? 2.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节,是一种竞猜游戏,游戏设置了如图所示的翻奖牌,如果只能在9个数字中选中一个翻牌,试求以下事件的概率(1)得到书籍;(2)得到奖励;(3)什么奖励也没有

C组

1. 用4个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏.

11(1)使摸到白球的概率为 ,摸到红球的概率为 2121(2)使摸到白球的概率为 ,摸到红球和黄球的概率都是 . 24你能用8个除颜色外完全相同的球分别设计满足如上条件的游戏吗?

课堂小结: 1、概率的概念 2、怎样预测简单事件的概率 (由学生小结) 达标测评:

(1)班级里有15个女同学,27个男同学,?班上每个同学的名字都各自写在一张小纸条上,放入一个盒中搅匀.

①如果班长闭上眼睛随便从盒中取出一张纸条,那么每个同学被抽中的可能性是多少?男同学被抽中的可能性是多少?女同学被抽中的可能性是多少?

②如果班长已经抽出了6张纸条──2个女同学、4个男同学,他把这6张纸条放在桌上,闭上眼睛在盒中余下的纸条中再抽第7张纸条,?那么这时余下的每个同学被抽中的可能性是多少?男同学被抽中的可能性是多少?女同学被抽中的可能性是多少?

(2)在分别写有1~20的20张小卡片中,随机地抽出1张卡片,?试求以下事件的概率.

①该卡片上的数字是5的倍数; ②该卡片上的数字不是5的倍数; ③该卡片上的数字是素数; ④该卡片上的数字不是素数.

157

(3)抛掷一枚普通的硬币三次,有人说连续掷出三个正面和先掷出两个正面,?再掷出一个反面的机会是一样大吗?

拓展提高:1、李琳的妈妈在李琳上学时总是叮咛她:“注意,别被来往的车辆碰着”,但李琳心里很不舒服,“哼,我市有300万人口,每天的交通事故只有几十件,事件发生的可能性太小,概率为0。”你认为她的想法对不对?

2、甲、乙两人进行掷骰子游戏,甲的骰子六个面有两个面是红色,其余面是黄、蓝、白、黑;乙的骰子六个面中,分别是红、黄、蓝、白、黑、紫,规则是各自掷自己的骰子,红色向上的得2分,其他各色向上都是1分,共进行10次,得分高的胜,你认为这个规则公平吗?

布置作业:课本第115页习题2、3、4

26、1、2 在复杂情况下列举所有机会均等的结果

学习目标:

知识与能力目标:能在复杂情况下,用画树状图法或列表法预测事件的概率。

过程与方法目标:通过预测概率解决实际问题,知道概率与我们的实际生活紧密相关。

情感与态度目标:通过对实际问题中概率的探索,学会用辩证唯物主义的观点认识客观世界。

学习重点难点:

重点:用树状图法、列表法预测事件的概率。

158

难点:用概率分析事件。

导学流程:

情境导入:

1、什么是概率?

(表示一个事件发生的可能性大小的数)

2、你是如何计算一类事件发生的概率。

(要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果;要清楚所有机会均等的结果;这两种结果个数之比就是关注的结果发生的概率。)

3、一副象棋,正面朝下,任意取其中一只,取到“马”的概率是多少?

1 [P(取到“马” )=] 8探究学习:画树状图预测概率

一、自主学习:自学课本111—113页内容,大约用5分钟时间,解决课本上与例4有关的问题,会用树状图预测概率,从而比较事件发生概率的大小。

二、合作探究:在自主学习的基础上,前后桌四个人一组交流问题的答案,讨论有不同看法的问题,再跟老师交流。

三、精讲点拨:教师征集小组合作中不能解决的问题,之后强调:

①利用树状图,可以比较方便地求出某些比较复杂事件发生的概率.从上而下每一条路径就是一种可能的结果,总频数就是最后一行的频数,就是前面每次出现的频数之积(234=8).

②例4中“先两个正面再一个反面”是有先后顺序的,不同于“两个正面一个反面”。

③问题2思考部分告诉我们画树状图时要画出一样粗细的“树枝”,否则预测的概率就不正确了。

探究学习:用列表法预测概率

一、自主学习:自学课本113页—114页问题3,大约用3分钟时间,然后四个人一组交流。

二、精讲点拨:老师点拨:用画树状图预测概率比较麻烦时,可以用列表 159

法预测概率。

课堂小结:(学生小结后教师概括)初中阶段预测事件的概率的两种方法:

1、画树状图预测概率 2、列表法预测概率

达标测评

1、同时投掷两枚正四面体骰子,下列事件出现的概率相等吗?

(1)所得点数之差的绝对值恰为偶数;

(2)所得点数之差的绝对值恰为奇数;

(3)所得点数之差的绝对值恰为质数。

2、在九九乘法表的运算结果中随意抽取一个,将下列事件出现的概率从小到大排序:(1)恰为偶数;(2)恰为奇数;(3)小于10;(4)大于100;

(5)末尾是0;(6)3的倍数。

3、在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的3个小球,其中一个红色球、两个黄色球.如果第一次先从袋中摸出一个球后再放回,第二次再从袋中摸出一个,那么两次都摸到黄色球的概率是 _____.(要求画树状图解答)

4、在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的3个小球,其中一个红色球、两个黄色球.如果第一次先从袋中摸出一个球后不再放回,第二次再从袋中摸出一个,那么两次都摸到黄色球的概率是 _____.(要求画树状图解答)

5、有两副手套,形状、大小,完全相同,只有颜色不同。黑暗中,任意抽出两只配成一双的概率是多少?

160

拓展提高:

13579,1,,2,,3,,4,,5可22222得到函数图像上的十个点。在这十个点中随即取两个点P(x1,y1),Q1、已知函数y = x – 5,令x =

(x2,y2),则P,Q两点在同一反比例函数图像上的概率是( ) 1472A B C D 9454552、一个不透明的口袋里装有红、黄、绿三种颜色的球(除颜色不同外其余都相同),其中红球有2个,黄球有1个,从中任意摸出1球是红球的概率1是。 2(1)、试求袋中绿球的个数;

(2)、第1次从袋中任意摸出1球(不放回),第2次再任意摸出一球,请你用树状图或列表的方法,求两次都摸到红球的概率。

布置作业:课本115页习题2,3,7

26、2、1用替代物做模拟实验

学习目标:

知识与技能目标

1、学会应用替代物进行模拟实验的方法

2、理解用替代物模拟实验的思想

过程与方法目标

1、通过实际例子的考查,明白用替代物做模拟实验的条件和方法;

2、通过练习,加深对模拟实验的认识。

161

情感与态度目标

1、通过学习模拟实验,感受数学中的转化思想;

2、通过动手操作实验,提高学习的主动性和灵活性。

学习重点与难点:

重点:体会用替代物模拟实验的实际意义和实验方法;

难点:怎么样选择替代物、如何展开实验探索。

导学流程

情境导入

一、教师引导学生回顾预测概率的方法。

二、提出问题:在前面的实验中,我们都有现在的实物作为实验工具,但是如果用实物进行实验有困难,或者有时手边恰好没有相应的实物怎么办?例如:

(1)在“抛一枚均匀硬币”的实验中,没有硬币,怎么办?

(2)在“抛一枚均匀骰子”的实验中,没有骰子,怎么办?

(3)抽屉里有尺码相同的3双袜子和两双黑袜子放在一起,在夜晚不开灯的情况下,随意拿出2只,估计它们恰好是一双的可能性多大?如果手边没有袜子应该怎么办?

自主学习:学生带着问题自学课本117页—119页内容,思考课本中提到的有关问题,大约用5分钟时间。

合作交流一:

对于问题1,给学生充分思考和讨论的时间,然后让学生充分发表其思考和讨论的结果,再填充表26、2、1.

学生积极思考,分组交流合作完成后,教师归纳学生的答案并进行总结。 精讲点拨一:

(1)在“抛掷一枚均匀硬币”的实验中,如果没有硬币,可以用扑克牌,“黑桃”代表“正面”,“红桃”代表“反面”,等等。

(2)在“投掷一颗均匀骰子”的实验中,如果没有骰子,可以用六个不同颜色的球各自代表“1” “2” “3” “4” “5” “6”,等等。

(3)抽屉里有尺码相同的三双黑袜子和一双白袜子,混在一起,在夜晚不 162

开灯的情况下,你随意拿出2只,要用实验估计它们恰好是一双的概率,可以用“新版1元的硬币”代表“黑袜子”, “旧版1元的硬币”代表“白袜子”,等等。

由此可见,用替代物模拟实验所要找的替代物与原来要求的工具要有相同的性质或属性,从而才不会影响实验结果。

合作交流二:课本118页“思考”部分,在学生认真独立思考后,小组讨论完成。

教师鼓励学生积极思考,并对小组讨论得到的答案进行肯定评价,再归纳总结。

精讲点拨二:

(1)摸出了2个白球,但之后一直忘了把它们放回去,这会影响实验结果.

(2)如果不小心把颜色弄错了,用2个黑球和6个白球进行试验,结果一样,只是摸出一双白袜子和摸出一双黑袜子的概率调换了.

用替代物做模拟实验时要注意实验在相同条件下进行。

课堂小结:引导学生回顾怎么用替代物做模拟实验。

达标测评:

1、你认为下面的替代物合理吗?不合理说明理由并提出一个新的合理的

替代方法。

(1) 抽屉中有大小相同的2副白手套和1副黑手套,在黑暗中摸出2只

为一副的可能性有多大?

替代物和方法:

把2双白袜子和1双黑袜子放到一个不透明的袋子中,闭上眼睛摸出2只。

(2) 用一枚硬币抛掷后正面朝上的机会来代替从一个不透明的袋子中的

2个红球、2个黑球中摸出一个红球的机会。

2、一只箱子里共有3个球,其中2个白球,1个红球,它们除颜色外均相 163

同。

(1)、从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少?

(2)、从箱子中任意摸出一个球,不将它放回箱子,搅匀后再摸出一个球,求两次摸出的球都是白球的概率,并画出树状图。

拓展提高:

1、不透明的袋子中,装有红.黄.蓝三种颜色的小球若干个(出颜色外,其余都相同),其中,红球两个(分别标有1.2号),蓝球一个。若从中任意1摸出一个球,它是蓝球的概率为。 4(1) 球袋中黄球的个数;

(2) 第一次任意摸出一个球(不放回),第二次再摸出一个球,请用画树

状图或列表格的方法求两次,摸到不同颜色的球的概率。

2、( 嘉兴)A、B、C、D四张卡片上分别写有-2,,

从中任取两张卡片。

(2)、求取到的两个数都是无理数的概率。

布置作业:课本第123页习题26、2的第1、3、4题

26、2、2用计算器模拟实验

学习目标:

知识与技能目标

1、学会应用计算器进行模拟实验的方法

2、理解用计算器模拟实验的思想

164 5,?四个实数,7(1)、请列举出所有可能的结果(用A、B、C、D表示);

过程与方法目标

3、通过实际例子的考查,明白用计算器做模拟实验的条件和方法;

4、通过练习,加深对模拟实验的认识。

情感与态度目标

5、通过学习模拟实验,感受数学中的转化思想;

6、通过动手操作实验,提高学习的主动性和灵活性。

7、通过合作探究,培养合作学习意识。

学习重点与难点:

重点:体会用计算器模拟实验的实际意义和实验方法;

难点:灵活的应用计算器做模拟实验解决实际问题。

导学流程:

情境导入

1、引导学生回忆:用替代物模拟实验要满足什么条件?

2、在我们用实验来估计机会的过程中,有的实验可能找不到相应的实物模

拟,如彩票。当我们看着满大街各种彩票火热售卖中的时候,可曾想过要试试手气?我们一起学习计算器模拟实验来探索彩票中的数学问题。 探究学习问题2 :用计算器做模拟实验

1、小组讨论:有哪些工具可以用来模拟实验?通过比较得出用计算器产生随机数比较便捷。

2、自主学习:自学课本119页到121页的问题2的“思考”部分,大约用5分钟时间。

3、合作交流:在自主学习的基础上,小组共同完成课本120页表26、2、2。

精讲点拨:教师对学生的答案进行肯定并总结:利用计算器帮助我们产生随机数时,关键在与确定所需要的数的范围,如果我们需要在1—300的范围产生随机数,那么只需将课本例子中的第一步(3)的35改为300即可 探究学习问题3:

1、自主学习:学生独立完成课本121页到122页的问题3,大约用5分钟时间。

165

2、合作交流:在自主学习的基础上,小组合作交流完成表26、2、3及相应的填空题,学生分组合作完成,教师鼓励学生作答。

3、精讲点拨:该实验平均每9次有3次双方不分胜负,经过18次实验,1估计这个概率是,这个估计值与树状图分析得到的概率值相等。 3课堂小结:引导学生回顾怎么用计算器做模拟实验。

达标测评:

1 、 在一副洗好的52张扑克牌中(没有大小王),闭上眼睛,随机地抽出一张牌,求下面这些事件的概率.

(1) 它是10;

(2) 它是方块10;

(3) 它是红桃;

(4) 它是黑色的(黑桃或梅花).

2、盒子里装有2个红球和2个黑球,搅匀后从中摸出一个球,放回搅匀再摸出第二个球,求下列事件发生的概率: 取出的恰是(1) 两个黑球;

(2) 两个红球;(3) 一红一黑;(4) 一红一白.

拓展提高:

1、 垃圾可分为: 有机垃圾、无机垃圾与有害垃圾共三类.为了有效地保护环境,要将日常生活中产生的垃圾进行分类投放.这天,小明把垃圾分装在三个袋中,可他在投放时有些粗心,每袋垃圾都放错了位置.请你列出小明投放垃圾的所有可能情况.

166

2、 下列问题中,所分成的一些事件发生的机会均等吗?若不均等,请你设法将它们重新分类,变成发生机会均等的事件.

(1) 抛掷两枚普通硬币时,分成“没有正面”、“有一个正面”和“有两个正面”这三个事件;

(2) 投掷两枚普通正四面体骰子时,分成“两数之积为奇数”和“两数之积为偶数”这两个事件.

布置作业:课本第123页习题26、2第2、5题

单元过关检测

一、选择

1、下列事件中,必然事件是( )

A、抛掷一个均匀的骰子,出现6点向上

B、两直线被第三条直线所截,同位角相等

C、366人中至少有2人的生日相同

D、实数的绝对值是非负数

2、随机掷两枚硬币,落地后全部正面朝上的概率是( )

111A、 1 B、 C、 D、 2343、在0,1,2三个数中任取两个,组成两位数,则在组成的两位数中是奇

数的概率为( )

1113A、 B、 C、 D、 46244、在一个不透明的口袋中,装有若干个除颜色不同其余都相同的球,如果

1口袋中装有4个红球且摸到红球的概率为,那么口袋中球的总数为( )3个。

A、12 B、9 C、6 D、3

5、将三粒均匀的分别标有1,2,3,4,5,6的正六面体骰子同时掷出, 167

出现的数字分别为a,b,c,则a,b,c,正好是直角三角形三边长的概率是( )

1111A、 B、 C、 D、 7221636126、三人站成一排,通过实验可得,甲站在中间的概率是( )

1111A、 B、 C、 D、 6324二、填空、

1、在掷骰子的实验中,掷出“6”点的概率是______;掷出6点以下的概率是_______;两种概率的和是____________。

2、从均匀装有5个白球,10个红球,15个黑球的袋子中,任意取出一个球,估计取出的球是白球的概率是________。

3、将从1到9这九个数字分别写在九张纸上,将这九张纸洗均匀后从中任意抽出一张,估计它是偶数的概率是_________。

4、准备50张小卡片,上面分别写好1到50,然后将卡片放在袋里搅匀,每次从袋中抽出一张卡片,然后放回搅匀再抽,研究恰好是12的倍数的机会。若用计算器模拟实验,则要在_________到_________范围内产生随机数,若产生的随机数是__________,则代表“抽出的是12的倍数”,否则就不是。

三、解答题

1、十字路口有红、黄、绿三种信号灯,一人骑自行车连续通过两个十字路口,问:

(1 )、两次都遇上红灯的概率是多少?

(2)、一次遇上红灯,一次遇上绿灯的概率是多少?

参考答案

26.1.1

达标练习

A组

1111111、;1;;0 2、甲 3、不能。4、;;; 63445213

168

121115、;;;。 6、;0 5555365

B组

1、

2812、;; 999

C组

1、(1)2个白球2个红球;

(2)2个白球1个红球1个黄球。

4个白球4个红球;4个白球2个红球2个黄球。

达标测评:

19512313(1)①,, ②,,421414363636 1423(2)① ② ③ ④ 5555

(3)是。

拓展提高

1、李琳的想法不对;

112、不公平,红色向上概率对于甲骰子,而其他色向上的概率是。 36

2、一个密码锁有三个拨盘,每个拨盘上有0到9的十个数,开锁时要在每个拨盘上拨出一个数字,若遇到特定的3位数重合就能开锁,问任意一个3位数字正巧把锁打开的可能性有多大?

26.1.2

达标测评

1、事件(1)、(2)出现的概率相等,事件(3)出现的概率最小。

2、概率从小到大排序为:事件(4),事件(5),事件(3),事件(2),事

件(6),事件(1)。

43、 9

14、 3

15、 3

拓展提高

169

1、B

2、(1)x=1. (2)

26.2.1

达标测评

1、(1)不合理(2 )合理 2(1)

拓展提高

51、(1)1(2 ) 621 (2 ) 331 6

2、(1)A、B;A、C;A、D;B、C;B、D;C、D。(2 ) 1 6

26.2.2

达标测评

51111、(1) (2 ) (3)(4) 264252

1112、(1)(2 ) (3)(4)0 442

拓展提高

1、考虑到垃圾不能放入相应的垃圾箱,且已投放的垃圾不可能再次投放,可知只有以下两种情况:

有机垃圾箱放无机垃圾,无机垃圾箱放有害垃圾,有害垃圾箱放有机垃圾;有机垃圾箱放有害垃圾,无机垃圾箱放有机垃圾,有害垃圾箱放无机垃圾。 2(1)两个正面,两个反面,一正一反。

(2)两数之和为奇数,两数之和为偶数。

单元测试题:

一、1、D 2、D 3、B 4、 A 5、B 6、B

15二、1、 , , 1 661 2、 64 3、 9 4、1 50 12 24 36 48

12三、1(1)(2) 9192、 729

170

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