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1.1 具有相反意义的量

发布时间:2013-09-17 19:20:11  

第一章 有理数

1.1 具有相反意义的量

教学目标:

(1)通过实例,感受引入负数的必要性和合理性,能应用正负数表示生活中具有相反意义的量。

(2)理解有理数的意义,体会有理数应用的广泛性。

(3)通过实例的引入,认识到负数的产生是来源于生产和生活,会用正、负数表示具有相反意义的量,能按要求对有理数进行分类。

重点、难点:

1、重点:正数、负数的意义,有理数的意义,能正确对有理数进行分类。

2、难点:对负数的理解以及正确地对有理数进行分类。

教学过程:

一、创设情景,导入新课 大家知道,数学与数是分不开的,现在我们一起来回忆一下,小学里已经学过哪些类型的数?

学生答后,教师指出:小学里学过的数可以分为三类:自然数(正整数和零)、分数 (小数包括在分数之中),它们都是由于实际需要而产生的.

为了表示一个人、两只手、??,我们用到整数1,2,??

为了表示“没有人”、“没有羊”、??,我们要用到0.

但在实际生活中,还有许多量不能用上述所说的自然数、零或分数、小数表示。 所以,在小学我们已经学过自然数和分数,这些数能否满足我们日常生活、社会生产以及数学自身发展的需要呢?

二、合作交流,解读探究

1、具有相反意义的量

某市某一天的最高温度是零上5℃,最低温度是零下5℃。要表示这两个温度,如果只用小学学过的数,都记作5℃,就不能把它们区别清楚。它们是具有相反意义的两个量。 现实生活中,像这样的相反意义的量还有很多??例如,珠穆朗玛峰高于海平面8848米,吐鲁番盆地低于海平面155米,“高于”和“低于”其意义是相反的。 “运进”和“运出”,其意义是相反的。

同学们能举例子吗?

学生回答后,教师提出:怎样区别相反意义的量才好呢?

待学生思考后,请学生回答、评议、补充。

教师小结:同学们成了发明家.甲同学说,用不同颜色来区分,比如,红色5℃表示零下5℃,黑色5℃表示零上5℃;乙同学说,在数字前面加不同符号来区分,比如,△5℃表示零上5℃,×5℃表示零下5℃??.其实,中国古代数学家就曾经采用不同的颜色来区分,古时叫做“正算黑,负算赤”.如今这种方法在记账的时候还使用.所谓“赤字”,就是这样来的。 现在,数学中采用符号来区分,规定零上5℃记作+5℃(读作正5℃)或5℃,把零下5℃记作-5℃(读作负5℃)。这样,只要在小学里学过的数前面加上“+”或“-”号,就把两个相反意义的量简明地表示出来了。

一对意义相反的量,一个用正数表示,另一个用负数表示。 让学生用同样的方法表示出前面例子中具有相反意义的量: [

1

高于海平面8848米,记作+8848米;低于海平面155米,记作-155米;

为了便于区分这些具有相反意义的量,数学上规定:在具有相反意义的一对量中,把其中的一种量用正数表示,而另一种量用负数表示,一般地人们把零上温度、高出海平面、存入、上升、前进、盈利等记为正数,零下温度、低出海平面、支出、下降、后退、亏损等记为负数。

【强调】用正数、负数表示实际问题中具有相反意义的量包含两个要素:一是意义相反;二是它们都是数量,所谓量,就得带上单位,而且是同类的量。

【做一做】在下列横线上填上适当的文字,使其前后构成具有相反意义的量。

(1)收入1000元, 200元;

(2)亏损1万元, 3万元。

2、正数、负数概念

教师讲解:什么叫做正数?什么叫做负数?强调,数0既不是正数,也不是负数,它是正、负数的界限,表示“基准”的数,零不是表示“没有”,它表示一个实际存在的数量。并指出,正数,负数的“+”“-”的符号是表示性质相反的量,符号写在数字前面,这种符号叫做性质符号。

小学学过的不等于零的数都是正数,在正数前面加上“-”号就是负数。

(1) 为了强调,有时候在正数前面加上“+”号,但通常把“+”号省略不写。

(2) 对于负数的概念,不能简单理解为带“-”号的数。

(3) 0既不是正数,也不是负数。

【做一做】(1)如果运入3吨记作+3吨,那么运出1吨记作 。

(2)如果下降3m记作-3m,那么上升4m记作

3、给出新的整数、分数概念

引进负数后,数的范围扩大了。过去我们说整数只包括自然数和零,引进负数后,整数包括正整数、负整数和零,同样分数包括正分数、负分数。

4、给出有理数概念

整数和分数统称为有理数。

5、有理数的分类 为了便于研究某些问题,常常需要将有理数进行分类,需要不同,分类的方法也常常不同根据有理数的定义可将有理数分成两类:整数和分数。有理数还有没有其他的分类方法? 待学生思考后,请学生回答、评议、补充。 教师小结:按有理数的符号分为三类:正有理数、负有理数和零。在有理数范围内,正数和零统称为非负数。向学生强调:分类可以根据不同需要,用不同的分类标准,但必须对讨论对象不重不漏地分类。

【注意】有限小数或无限循环小数是分数。

①按数的“整分性”分类 ②按数的“正负性”分类

?1、、23......?正整数如:????正整数??正有理数??整数?零:0????正分数?负整数如:-1、-2、-3......? ??有理数?0?有理数????负整数12??负有理数??正分数:如:,5.2,......???23?分数??,?负分数????负分数,如:-1,-3.5,-3,......??57??

2

需要注意的几个问题:

(1) 正数和零称为非负数。

(2) 负数和零称为非正数。

(3) 某些具有共同性质的东西合在一起,就成为一个集合,如所有的整数合在一起组成

整数集。

三、应用迁移,巩固提高

1、【做一做】(1)如果收入15元记作+15元,那么支出20元记作元。

(2)如果水位升高1.2米记作+1.2米,那么水位下降0.8米记作 米。

(3)汽车向东行驶3千米记作3千米,那么汽车向西行驶3千米记作( )

A、3千米 B、-3千米 C、6千米 D、0千米

(4)如果某地中午的气温是1℃,到傍晚下降了3℃,那么傍晚的气温是( )

A、4℃ B、2℃ C、-2℃ D、-3℃

(5)把下列各数填入相应集合的括号内:

27,―5.8,2 002, ,―1,90%,3.14,0, ,

―2,1,―0.01,π.

(1)整数集合:{ ? } ;

(2)分数集合:{ ?};

(3)负有理数集合:{ ?} ;

(4)正有理数集合:{ ?};

(5)非负整数集合:{ ?}.

2、课堂练习:课本P5练习

四、总结反思,拓展升华

引导学生回答如下问题:本节课学习了哪些基本内容?学习了什么数学思想方法?应注意什么问题?

【总结】(1)理解具有相反意义的量,能用正负数表示相反意义的量。

(2)对有理数能按要求分类。

【反思】(1)“+2℃”中的“+”可省略吗?(2)“-2℃”中的“-”可省略吗?

【拓展】如果用字母表示一个数,那么 -a 可能是什么样的数,一定为负数吗? ( -a可能是正数,可能是负数,也可能是零.)

附:

故事:虚伪的零下

在日常生活和生产中大量存在着具有相反意义的量,引入负数完全是实际的需要。

历史上,负数曾经到非议,直到16世纪,欧洲大多数的数学家都还不承认负数,他们觉得“0就是什么也没有”,还有什么东西能够比“什么也没有”还小呢?德国数学家史蒂芬说:“负数是虚伪的零下”,仅是些记号而已。法国数学家帕斯卡则认为,从0减去4是胡说八道。

最早发现负数的是我们中国人,我国的“孟子”一书中就有“邻国之民不加少,寡人之民不加多”其中“加少”就是减少,即加上了负数的意思。秦汉时的古代算经“九章算术”的方程里明确提出:以卖为正,则买为负;余钱为正,亏钱为负。三国时(公元3世纪)魏国人刘徽在“九章算术”的注解中,则更进一 3

步概括了正、负数的意义,他明确提出,两种得失相反的数,分别叫做正数和负数。负数概念的产生,是世界科学史上的一项重大的发现,也是我国人民对数学发展作出的一项重大贡献,我们应该引以自豪!另外,印度数学家在公元625年(比我国迟几百年),婆罗摩捷多已经提出了负数的概念。他用“财产”表示正数,用“欠债表示负数,并用它们解释正负数的加减法运算。

五、作业

课本P5-6

六、教后反思:

4

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