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人教版九年级数学下26.1.4二次函数的图象与性质5

发布时间:2013-11-25 08:50:53  

2+bx+c 二次函数y=ax

的图象和性质

二次函数

y ? ?4( x ? 2) ? 1
2

图象的开口方向,对称轴,顶点坐标.
它是由y=-4x2怎样平移得到的? 我们知道,像二次函数y=a(x-h)2+k的图象, 顶点坐标为 ,通过平移抛物线y=ax2可以得 (h,k) 到。 二次函数y=3x2-6x+5也能化成这种形式吗?

例1、怎样把函数y=3x2-6x+5的转化成y=a(x-h)2+k的形式?

?配方:

老师提示:

y ? 3x ? 6 x ? 5 5? ? 2 ? 3? x ? 2 x ? ? 3? ? 5? ? 2 ? 3? x ? 2 x ? 1 ? 1 ? ? 3? ? 2? ? 2 ? 3??x ? 1? ? ? 3? ?
2

提取二次项系数

配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方 整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项 化简:去掉中括号

配方后的表达 式通常称为顶 点式

? 3?x ? 1? ? 2.
2

函数y=3x2-6x+5的图象有何特征
2.根据(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点 坐标. 2

y ? 3? x ? 1? ? 2.

∵a=3>0,∴开口向上; 对称轴:直线x=1; 顶点坐标:(1,2).

直接画函数y=ax2+bx+c的图象
?如何画出函数y=3x2-6x+5的图象?
列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
x …
2

-2

-1

0

1

2

3

4



y ? 3?x ? 1? ? 2
描表、连线



29

14

5

2

5

14

29



通过图象你能看

y ? 3x 2 ? 6 x ? 5

出当x取何值时y
随x的增大而减 小,当x取何值


时,y随x的增大 而增大吗?
x=1

(1,2)

当x<1时y随x的增大而减小;当x>1时,y随x的增大 而增大.

画出y=

1 x2-6x+21的图象. 2

1 2 配方得: y= x -6x+21 2

= 1 (x-6)2+3
2

由此可知,抛物线 y= x2-6x+21 的顶点
是点(6,3),对称轴是直线x=6.

1 2

y

1 2 y= 2 x -6x+21 20

(0,21)

·

(12,21) ·
1

y= 2 (x-6)2+3

怎样画二次函数 15 y=ax2+bx+c (a≠0)的图象?
10

怎样平移抛物线
1 y= 2 x2得到抛物线
1 y=2

(x-6)2+3

x>6 当_____时y随
5

x的增大而增

(4,5)


O

· · (8,5) · (6,3)
5

x<6 当_____时y随x

的增大而减小

x=6

10

x

函数y=ax2+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax2 +bx+c,我们可以利用 配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.

例.求二次函数y=ax2 +bx+c的对称轴和顶 点坐标.

b ? 4ac ? b 2 ? y ? a? x ? ? ? . 2a ? 4a ? 函数y=ax2+bx+c的顶点式
?例.求次函数y=ax2 +bx+c的对称轴和顶点坐标.

2

?配方:

y ? ax2 ? bx ? c

提示:

这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.

? 2 b ? b ? ? b ? 2 c ?配方:加上再 ? a? x ? x? ? ? ? ? ? ? ?减去一次项系 ? a ? 2a ? ? 2a ? a ?数绝对值一半 ? ? 的平方 2 2? ?? b ? 4ac ? b ? a ?? x ? ? ? ? 整理:前三项化为平方形 2 2a ? 4a ? 式,后两项合并同类项 ?? ? ?
b ? 4ac ? b 2 ? ? a? x ? ?

? . 化简:去掉中括号 2a ? 4a ?
2

c? ? 2 b ? a? x ? x ? ? a c? ? 2

提取二次项系数

顶点坐标公式

b ? 4ac ? b 2 ? y ? a? x ? ? ? . 2a ? 4a ?

2

因此,二次函数y=ax2 +bx+c的图象是一条抛物线.
它的对称轴是直线: x ? ? b . 2a
? b 4ac ? b 2 ? 它的顶点是? ? ? 2a , 4a ?. ? ? ?

练习:写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标

?1?. y ? 3x 2 ? 2 x; ?3?. y ? ?2 x
2

?2?. y ? ? x 2 ? 2 x;
1 2 ?4?. y ? x ? 4 x ? 3. 2

? 8 x ? 8;

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
1.顶点坐标与对称轴

2.位置与开口方向
3.增减性与最值 根据图形填表: 抛物线

y=ax2+bx+c(a>0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ? b 直线x ? ? 2a

y=ax2+bx+c(a<0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ? b 直线x ? ? 2a

顶点坐标
对称轴 位置 开口方向

由a,b和c的符号确定

由a,b和c的符号确定

向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

增减性 最值

b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, 最小值为 2a 4a

b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, 最大值为 2a 4a

根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标:

1? y ? 2x 2 ? 12x ? 13; ?
对称轴是x=3,顶点坐标是(3,-5)

? 2? y ? ?5x 2 ? 80x ? 319;
对称轴是x=8,顶点坐标是(8,1)

对称轴是x=0,顶点坐标是(0,12)


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