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何时获得最大利润

发布时间:2013-11-25 09:35:07  

2.6 何时获得最大利润

教材分析

本节课在学生学习了二次函数的图像以及性质的基础上,并学习了把二次函数化为顶点式后,很容易求出最大或最小值.而何时获得最大利润就是当自变量取何值时,函数值取最大值的问题.因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题,从而把数学知识运用于实践.即是否能把实际问题表示为二次函数,是否能利用二次函数的知识解决实际问题,并对结果进行解释.

学情分析

本班的学生都来自农村,学生学习基础参差不齐,特别是实际应用问题分析理解能力较差,在求解实际应用问题时不知如何入手。但本班的学生热爱学习,活泼外向,敢想敢说且小组交流讨论能力强,学生们经常在一起讨论有关数学问题。

设计理念

由于本班的学生具有小组交流讨论能力强的这个特点,所以本人在教学中,要对学生进行适时的引导,并采用小组讨论的方式,让学生掌握本节课的内容,从而发展学生的数学应用能力以及团队合作能力。

教学目标

(一)教学知识点

1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值.

1

2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值,发展解决问题的能力.

(二)能力训练要求

经历销售中最大利润问题的探究过程,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用,发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.

(三)情感与价值观要求

1.体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值.增进对数学的理解和学好数学的信心.

2.认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.

教学重点

1.探索销售中最大利润问题.

2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值,发展解决问题的能力. 教学难点

运用二次函数的知识解决实际问题.

课时安排 1课时

教学方法

在教师的引导下小组讨论交流学习法.

教具准备

多媒体课件,小黑板(小黑板上画正面画有投影片2.6 B) 2

投影片三张 第一张:(记作§2.6 A)

第二张:(记作§2.6 B ) 第三张:(记作§2.6 C) 教学过程

Ⅰ. 创设问题情境,引入新课

[师]前面我们认识了二次函数,研究了二次函数的图象和性质,由简单的二次函数y=x2开始,然后是y=ax2.y=ax2+c,最后是y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c,掌握了二次函数的三种表示方式.怎么突然转到了获取最大利润呢?看来这两者之间肯定有关系.那么究竟有什么样的关系呢?我们本节课将研究有关问题. Ⅱ.讲授新课

一、有关利润问题

投影片:(§2.6 A)

某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.

请你帮助分析,销售单价是多少时,可以获利最多?

没销售单价为x(x≤13.5)元,那么

3

[师] 在解答实际应用问题时,我们首先要弄清楚题目是属于什么类型问题的应用题,然后再找出相关的数量关系。问:这是什么类型的问题?

[生] 这是有关利润问题的应用题。

[师] 利润问题的应用题应该要知道哪些数量关系

[生] 利润,成本价,销售价,利润率,折扣,销售量,销售额 利润=销售价—成本价 总利润=单件利润×销售量

[师] 从题目的内容来看好像是商家应考虑的问题:有关利润问题.不过,这也为我们以后就业做了准备,今天我们就不妨来做一回商家.从问题来看就是求最值问题,而最值问题是二次函数中的问题.因此我们应该先分析题意列出函数关系式.

获利就是指利润,总利润应为每件T恤衫的利润(售价一进价)乘以T恤衫的数量,设销售单价为x元,则降低了(13.5-x)元,每降低1元,可多售出200件,降低了(13.5-x)元,则可多售出200(13.5-x)件,因此共售出500+200(13.5-x)件,若所获利润用y(元)表示,则y=(x-2.5)[500+200(13.5-x)].

经过分析之后,然后再让学生分小组讨论交流问题,大家就可回答以上问题了.

[生](1)销售量可以表示为500+200(13.5-x)=3200—200x.

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(2)销售额可以表示为x(3200-200x)=3200x-200x2.

(3)所获利润可以表示为(3200x-200x2)-2.5(3200-200x)= -200x2+3700x-8000.

(4)设总利润为y元,则

y=-200x2+3700x-8000

∵-200<0

∴抛物线有最高点,函数有最大值.

当销售单价是9.25元时,获得最大利润,最大利润是9112.5元. [师] 上面的分析方法我们是从销售单价是多少元入手的,那能不能

从降价多少元入手的呢?请大家小组分析讨论一下;

设销售单价降低x元时,那么

经过学生依照上面的分析方法,然后交流讨论并独立计算后得出答案

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当销售单价是9.25 元时,获得最大利润,最大利润是9112.5 元 。

[师]通过这道题,我们可以得出,从不同的方向入手,会得到不同的列式方程,第一个分析法是直接假设未知数(销售价)为多少元是入手,第二个分析法是间接假设未知数(降价)为多少元是入手而列出不同的函数关系,所以我们在学习中,思考问题时应该要从不同的角度,不同的方向去思考。

二、做一做

[师] 还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000.

我们还曾经利用列表的方法得到一个猜测,现在验证一下你的猜测是否正确?你是怎么做的?与同伴进行交流.

[生] 因为表达式是二次函数,所以求橙子的总产量y的最大值即是求函数的最大值.

所以y=-5x2+100x+60000

=-5(x2-20x+100-100)+60000

=-5(x-10)2+60500.

当x=10时,y最大=60500.

[师]回忆一下我们前面的猜测正确吗?

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[生]正确.

三、议一议(投影片§2.6 B)

(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.

(2)增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?

[生]图象如上图.

(1)当x<10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加;当x>10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小.

(2)由图可知,增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵,都可以使橙子总产量在60400个以上.

四、补充例题

投影片:(§2.6 C)

已知——个矩形的周长是24 cm.

(1)写出这个矩形面积S与一边长a的函数关系式.

(2)画出这个函数的图象.

(3)当a长多少时,S最大?

[师]分析:还是有关二次函数的最值问题,所以应先列出二次函数关系式.

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[生](1)S=a(12-a)=a2+12a=-(a2-12a+36-36)=-(a-6)2+36.

(2)图象如右上图:

(3)当a=6时,S最大=36.

Ⅲ.随堂练习

P65

解:设销售单价为;元,销售利润为y元,则 y=(x-20)[400-20(x-30)]

=-20x2+1400x-20000

=-20(x-35)2+4500.

所以当x=35元,即销售单价提高5元时,可在半月内获得最大利润4500元.

Ⅳ.课时小结

本节课经历了探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会了二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受了数学的应用价值. 学会了分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值,提高解决问题的能力.

Ⅴ.课后作业 习题2.7 1、2

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