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14.1 整式的乘法

发布时间:2013-11-25 10:35:30  

14.1 整式的乘法

式再乘方时,应该用幂的乘方的运算性质,指数相乘,而结果算式为指数相加;(3)系数计算错误.

1.同底数幂的乘法

(1)法则:同底数幂相乘,底数不变..,指数相加....

(2)符号表示:am

·an

=_______(m,n都是正整数).

(3)拓展:①当三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有同样的性质,即am·an·?·ar=am+n+?

+r

(m,n,?,r都是正整数).

②法则可逆用,即am+n=am·an

(m,n都是正整数).

谈重点 同底数幂的特征 “同底数幂”是指底数相同的幂,等号左边符合几个同底数幂相乘,等号右边,即结果为一个幂.注意不要忽视指数为1的因式.

【例1】 计算:

(1)103×106;(2)(-2)5×(-2)2;(3)an+2·an+1·a;(4)(x+y)2(x+y)3

.

分析:(1)中的两个幂的底数是10;(2)中的两个底数都是-2;(3)中的三个幂的底数都是a;这三道题可以直接用同底数幂的运算性质计算.(4)要把x+y看作一个整体,再运用同底数幂的乘法法则.

解:(1) (2) (3) (4)

2.幂的乘方

(1)法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘.

(2)符号表示:(am)n

=____(m,n都是正整数).

(3)拓展:①法则可推广为[(am)n]p=amnp

(m,n,p都是正整数) ②法则可逆用:

amn=(am)n=(an)m(m,n都是正整数)

警误区 幂的乘方的理解 不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变);同底数幂的乘法,是转化为指数的加法运算(底数不变).

【例2】 计算:

(1)(102)3;(2)(am)3;(3)[(-x)3]2;(4)[(y-x)4]2

.

分析:解决本题的关键是要分清底数、指数是什么,然后再运用法则进行计算,如(2)中的底数是a,(3)中的底数是-x,(4)中的底数是y-x.

解:(1) (2) (3) (4)

3.积的乘方

(1)法则:积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.

(2)符号表示:(ab)n

=_____(n为正整数).

(3)拓展:①三个或三个以上的数的乘积,也适用这一法则,如:(abc)n=anbncn

.a,b,c可以是任意数,也可以是幂的形式.

②法则可逆用:anbn=(ab)n

.(n为正整数).

警误区 积的乘方的易错点 运用积的乘方法则易出现的错误有:(1)漏乘因式;(2)当每个因

1 【例3】 计算:

(1)(-xy)3;(2)(x2y)2;(3)(2×102)2

;(4)(-2223

ab).

解:(1) (2) (3) (4)

4.单项式乘以单项式

法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.

谈重点 单项式乘以单项式要注意的三点 运用单项式与单项式相乘时要注意:(1)在计算时,应先确定积的符号;(2)注意按运算顺序进行;(3)不要丢掉只有一个单项式里含有的字母.

【例4】 下列计算正确的是( ).

A.3x3·2x2y=6x5 B.2a2·3a3=6a5

C.(2x)3·(-5x2y)=-10x5y D.(-2xy)·(-3x2y)=6x3

y

解析:A结果漏掉了字母“y”,C结果应为-40x5y,D结果应为6x3y2

. 5.单项式与多项式相乘

法则:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加. 即m(a+b+c)=________________.

单项式与多项式乘法法则的理解 单项式与多项式相乘,其实质就是乘法分配律的应用,将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式,再转化为同底数幂相乘.所以熟练掌握同底数幂乘法和单项式乘以单项式,是学好单项式乘以单项式的基础和关键.单项式与多项式相乘,结果是一个多项式,其项数与因式中多项式的项数相同,运算时可以此来检验运算中是否漏乘.

【例5】 计算:

(1)(-3ab)(2a2

b-ab+2); (2)x(x-2)-2x(x+1)-3x(x-5).

6.多项式与多项式相乘

法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.

警误区 多项式乘以多项式的注意点

多项式乘以多项式时,应注意以下几点:(1)相乘时,按一定的顺序进行,必须做到不重不漏;(2)多项式与多项式相乘,仍得多项式,在合并同类项之前,积的项数应等于原多项式的项数之积;(3)相乘后,若有同类项应该合并.

【例6】 计算:

(1)(5a-2b)(2a+b); (2)(a2

-a+1)(a+1).

2

7.同底数幂的除法 (1)法则

同底数幂相除,底数不变,指数相减. (2)符号表示

am÷an=_____(a≠0,m,n都是正整数,并且m>n). (3)注意

①应用法则时,必须明确底数是什么,指数是什么,然后按同底数幂相除的法则计算;②运算时

要注意运算顺序,同时还要注意指数为“1”的情况,如:m5÷m=m5-1,而不是m5÷m=m5-0

.

(4)0次幂

任何不等于0的数的0次幂都等于1,即a0

=1(a≠0).

谈重点 同底数幂的除法法则的理解 运用同底数幂相除应注意:(1)适用范围:两个幂的底数相同,且是相除的关系,被除式的指数大于或等于除式的指数,且底数不能为0;(2)底数可以是数,也可以是单项式或多项式;(3)该法则对于三个或三个以上的同底数幂相除仍然成立.

【例7】 计算:

(1)a4÷a2; (2)(-x)5÷x3; (3)xn+3÷xn; (4)(x+1)4

÷(x+1).

8.单项式除以单项式 (1)法则

单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.

(2)步骤

①系数相除;②同底数幂相除;③对于只在被除式里含有的字母的处理(连同指数作为商的一个因式).

单项式除以单项式的结果仍为单项式. 【例8】 计算:

(1)(-0.5a2bc2)÷(-228523222

5

ac); (2)(6×10)÷(3×10); (3)(6xy)÷(-3xy).

9.多项式除以单项式 (1)法则

多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加. (2)注意

①多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决;②运算时不能漏项;③运算时注意符号的变化.

警误区 多项式除以单项式的注意点 (1)要注意商的符号,应弄清多项式中每一项的符号,相除时要带着符号与单项式相除;(2)多项式除以单项式的结果是一个多项式,多项式除以单项式是单项式乘以多项式的逆运算,可以用其进行检验.

【例9】 计算:(1)(6c2d-c3d3)÷(-2c2d); (2)(24m3n-16m2n2+mn3

)÷(-8m).

3

10.整式乘法中的化简求值

整式乘法运算中的化简求值题的主要步骤有:(1)按照题目规定的运算顺序,对原式进行化简;(2)将对应的字母数值代入化简后的结果进行计算;(3)注意代入时,不要代错,在求值时,式子的运算符号和顺序都不变.

11.幂的运算法则的逆向运用

幂的运算法则是以等式形式出现的,受思维定势的影响,习惯于从左边到右边运用它,而忽视从右边到左边的应用,即逆向运用运算法则.其实,有些问题如果逆向运用幂的运算性质,解题会更加

简捷.(1)am+n=am·an(m,n都是正整数).(2)amn=(am)n(m,n都是正整数).(3)anbn=(ab)n

(n为正整数).

12.整式的混合运算

在学习了整式的加减、乘除,乘法公式以后,就可以进行整式的混合运算了.整式的混合运算用到的知识点比较多,除了整式加减、乘除,乘法公式,还要用到去括号、乘法分配律等.

谈重点 整式的混合运算的认识

进行整式的混合运算首先要注意弄清运算顺序,先算什么再算什么,然后注意每一步运算所用到的法则、公式等要准确无误.

【例10】 当y=-16

时,求代数式y(y2-6y+9)-y(y2

-8y-15)+2y(3-y)的值.

【例11-1】 计算:(-32 01412 014mn2m+4n

10·(33

. 【例11-2】 已知:3=6,9=2,求3的值.

【例12】 先化简,再求值:

[(x+y)(x-y)-(x-y)2

+2y(x-y)]÷(-2y),其中,x=-12

,y=2.

13.整式乘法中的开放型问题

结论开放与探索:给出问题的条件,根据条件探索相应的结论,并且符合条件的结论往往呈现多样性,或者相应的结论的“存在性”需要进行推断,甚至探求条件在变化中的结论,这些问题都是结论开放性问题.它要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想,发现规律,得出结论,这类题主要考查我们的发散性思维和所学基本知识的应用能力.

14.与整式除法有关的求值问题 这类与整式的除法有关的求值问题,采用传统的方法很难求解,此时需根据题目的特点灵活变形采用整体代入法求解.首先应认真观察题目的特点,或者先将求值的式子化简再求值,或者同时将已知式和求值式化简.

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