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13.5.3 角平分线的性质

发布时间:2013-11-25 11:34:00  

华东师大版八年级(上册)

第13章 全等三角形

13.5 .3 角平分线

教学重点、难点:
1.教学重点:掌握角的平分线的性质定理 及其逆定理.

2.教学难点:角平分线定理和逆定理的应


画法:
1.以O为圆心,适当 长为半径作弧,交OA于M, 交OBN于. 2.分别以M,N为 圆心.大于 1/2 MN的长 为半径作弧.两弧在∠A OB的内部交于C. 3.作射线OC.

A










射线OC即为所求.

?

将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条 折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三 条折痕,你能得到什么结论?

A
D

A

O

B

O

B E

结论:在角平分线上的点到角的两边的距离相等

例1:
已知:OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA于D, PE⊥OB于E A
求证: PD=PE 证明: ∵ PD⊥, PE⊥OB, ∴ ∠PDO= ∠PEO= 90° 在△POD和Rt△PEO中 O ∠ PDO=∠PEO ∠ AOC=∠BOC OP=OP
D

P
E

C
B

∴ △PDO≌△PEO(AAS) ∴ PD=PE

想一想:

已知:OM=ON,MC=NC。 求证:OC平分∠AOB。 证明:在△OMC和△ONC中, C OM=ON, MC=NC, OC=OC, ∴ △OMC≌ △ONC(SSS) ∴∠MOC=∠NOC B 即:OC平分∠AOB

A





O

角平分线的性质:

角的平分线上的点到角的两 边的距离相等.
逆命题:

到角的两边的距离相等的点 在角平分线上。

用数学语言表示为: 1、∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q 在∠AOB的平分线上
∴ QD=QE

2、∵ QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE.
∴点Q在∠AOB的平分线上.

思考:
要在S区建一个集贸市场,使它到公路,铁 路距离相等且离公路,铁路的交叉处500 米,应建在何处?(比例尺 1:20 000)


公路 铁路



证明:过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA ,垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上 ∴PD=PE (在角平分线上的点到角的两边的距离相等) A 同理 PE=PF. D ∴ PD=PE=PF. F N PM 即点P到边AB、BC、 CA的距离相等 B C
E

练习:如图,△ABC的∠B的外角的平
分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于 点P.求证:点P到三边AB,BC,CA 所在直线的距离相等. D
C F H


B G





1:角平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2:角平分线的判定结论: 到角的两边的距离相等的点在角平分线上。

做一做

?已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. ?求证:EB=FC.
A

E B D

F C


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