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人教版数学七年级上册知识点总结

发布时间:2013-11-26 08:01:02  

人教版数学七年级上册知识点总结

第一章有理数知识点总结

0的数叫做正数。

0既不是正数也不是负数,是正数和负数的分界线,是整数,

一、正数和负数 自然数,有理数。

(不是带“—”号的数都是负数,而是在正数前加“—”的数。)

2.意义:在同一个问题上,用正数和负数表示具有相反意义的量。

整 数:正整数、0、负整数统称为整数。

数:正分数、负分数统称分数。

(有限小数与无限循环小数都是有理数。)

注:正数和零统称为非负数,负数和零统称为非正数,正整数和零统称为非负

整数,负整数和零统称为非正整数。

⑵按整数、分数分类: 正有理数 正整数 正整数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数

概念:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素:原点、正方向、单位长度

2.对应关系:数轴上的点和有理数是一一对应的。

三、数轴

比较大小:在数轴上,右边的数总比左边的数大 。

3.

求两点之间的距离:两点在原点的同侧作减法,在原点的两侧作加法。 (注意不带“+”“—”号)

代数:只有符号不同的两个数叫做相反数。

概念 (0的相反数是0)

几何:在数轴上,离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。

2.性质:若a与b互为相反数,则a+b=0,即a=-b;反之,

若a+b=0,则a与b互为相反数。

四、相反数 两个符号:符号相同是正数,符号不同是负数。

3.

多个符号:三个或三个以上的符号的化简,看负号的个数,当

概念:乘积为1的两个数互为倒数。

(倒数是它本身的数是±1;0没有倒数)

五、倒数

2.性质 若a与b互为倒数,则a2b=1;反之,若a2b=1,则a与b互为倒数。

若a与b互为负倒数,则a2b=-1;反之,若a2b= -1则a与b互为负倒数。

a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

(若|a|=|b|,则a=b或a=﹣b)

一个负数的绝对值是它的相反数

的绝对值是0

a >0,|a|=a 反之,|a|=a,则a≥0

a = 0, |a|=0 |a|=﹣a,则a≦0

a<0, |a|=‐a

注:非负数的绝对值是它本身,非正数的绝对值是它的相反数。

a (a>0) 的数有2个,他们互为相反数。即±a。

|a|≥0。几个非负数之和等于

0,则每个非负数都等于0。故若|a|+|b|=0,则a=0,b=0

1.数轴比较法:在数轴上,右边的数总比左边的数大。

2.代数比较法:正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数。

两个负数比较大小时,绝对值大的反而小。

⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。

⑵绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并

用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加

得0。

⑶一个数同0相加,仍得这个数。

八、加减法2.加法运算律:两个

加法交换律:两数相加,交换加数的位置,和不变。即a+b=b+a

加法结合律:在有理数加法中,三个数相加,先把前两个数相加或者先把后两

个数相加,和不变。即a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)

3.减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数。

即a-b=a+(﹣)b

⑴两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。

⑵任何数同0相乘,都得0。

1.⑶多个不为0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积为正数;负因数的

个数是奇数时,积为负数,即先确定符号,再把绝对值相乘,

绝对值的积就是积的绝对值。

⑷多个数相乘,若其中有因数0,则积等于0;反之,若积为0,则至

少有一个因数是0。

2.乘法运算律:三个

⑴乘法交换律:两数相乘,交换因数的位置,积相等。即a3b=ba。

九、乘除法 ⑵乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积

相等。即a3b3c=﹙a3b﹚3c=a3﹙b3c﹚。

⑶乘法分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,

在把积相加。即a3﹙b+c﹚=a3b+a3c。

3.除法法则:三个

⑴除以一个(不等于0)的数,等于乘这个数的倒数。

⑵两个数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。

⑶0除以任何一个不等于0的数,都得0。

四则运算法则:先乘除,后加减,有括号先算括号里的。

1.概念:求n个相同因数的积得运算,叫做乘方。乘方的结果叫做幂。一个数可以

看做这个数本身的一次方。

2.法则:先确定幂的符号,然后再计算幂的绝对值。

十、乘方

负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数

的任何正整数次幂都是0

3.混合运算法则:

⑴先乘方,再乘除,最后加减。

⑵同级运算,从左到右的顺序进行。

⑶如有括号,先算括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。在进行

有理数的运算时,要分两步走:先确定符号,再求值。

10的数表示成a310n的形式(其中a

是整数数位只有一位的数,n为正整数)。这种记数的方法叫做科学

记数法。﹙1≤|a|<10﹚

-注:一个n为数用科学记数法表示为a310n1

⑴精确到某位或精确到小数点后某位。

⑵保留几个有效数字

十一、科学记数法 注:对于较大的数取近似数时,结果一般用科学记数法来表示。 例如:256000(精确到万位)的结果是2.63105

0数字起,到末尾数字止,所有的数

字都是这个数的有效数字。

注:⑴用科学记数法表示的近似数的有效数字时,只看乘号前面的数

字。例如:3.03104的有效数字是3,0 。

⑵带有记数单位的近似数的有效数字,看记数单位前面的数字。

例如:2.605万的有效数字是2,6,0,5。

第二章、整式的加减 一、代数式与有理式

1、用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子,叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 2、整式和分式统称为有理式。

3、含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

二、整式和分式

1、没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

2、有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

三、单项式与多项式

1、没有加减运算的整式叫做单项式。(数字与字母的积---包括单独的一个数或字母)

2、几个单项式的和,叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项。

说明:①根据除式中有否字母,将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算,把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时,是以所给的代数式为对象,而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时,是从外形来看。 单项式

1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

4、单独一个数或一个字母也是单项式。

5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。

6、单独的一个数字是单项式,它的系数是它本身。

7、单独的一个非零常数的次数是0。

8、单项式中只能含有乘法或乘方运算,而不能含有加、减等其他运算。

9、单项式的系数包括它前面的符号。

10、单项式的系数是带分数时,应化成假分数。

11、单项式的系数是1或―1时,通常省略数字“1”。

12、单项式的次数仅与字母有关,与单项式的系数无关。

多项式

1、几个单项式的和叫做多项式。

2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4、一个多项式有几项,就叫做几项式。

5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念,但有次数的概念。

7、多项式中次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数。

整式

1、单项式和多项式统称为整式。

2、单项式或多项式都是整式。

3、整式不一定是单项式。

4、整式不一定是多项式。

5、分母中含有字母的代数式不是整式;而是今后将要学习的分式。

四、整式的加减

1、整式加减的理论根据是:去括号法则,合并同类项法则,以及乘法分配率。 去括号法则:如果括号前是“十”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都不变符号;如果括号前是“一”号,把括号和它前面的“一”号去掉,括号里各项都改变符号。

2、同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 合并同类项:

1).合并同类项的概念:

把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。

2).合并同类项的法则:

同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变。

3).合并同类项步骤:

a.准确的找出同类项。

b.逆用分配律,把同类项的系数加在一起(用小括号),字母和字母的

指数不变。

c.写出合并后的结果。

4).在掌握合并同类项时注意:

a.如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后,结果为0. b.不要漏掉不能合并的项。

c.只要不再有同类项,就是结果(可能是单项式,也可能是多项式)。 说明:合并同类项的关键是正确判断同类项。

3、几个整式相加减的一般步骤:

1)列出代数式:用括号把每个整式括起来,再用加减号连接。

2)按去括号法则去括号。

3)合并同类项。

4、代数式求值的一般步骤:

(1)代数式化简

(2)代入计算

(3)对于某些特殊的代数式,可采用“整体代入”进行计算。

五、同底数幂的乘法

1、n个相同因式(或因数)a相乘,记作an,读作a的n次方(幂),其中a为底数,n为指数,an的结果叫做幂。

2、底数相同的幂叫做同底数幂。

3、同底数幂乘法的运算法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。即:am﹒an=am+n。

4、此法则也可以逆用,即:am+n = am﹒an。

5、开始底数不相同的幂的乘法,如果可以化成底数相同的幂的乘法,先化成同底数幂再运用法则。

六、幂的乘方

1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。(am)n表示n个am相乘。

2、幂的乘方运算法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘。(am)n =amn。

3、此法则也可以逆用,即:amn =(am)n=(an)m。

七、积的乘方

1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。

2、积的乘方运算法则:积的乘方,等于把积中的每个因式分别乘方,然后把所得的幂相乘。即(ab)n=anbn。

3、此法则也可以逆用,即:anbn =(ab)n。

八、同底数幂的除法

1、同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即:am÷an=am-n(a≠0)。

2、此法则也可以逆用,即:am-n = am÷an(a≠0)。

九、零指数幂

1、零指数幂的意义:任何不等于0的数的0次幂都等于1,即:a0=1(a≠0)。

十、负指数幂

1、任何不等于零的数的―p次幂,等于这个数的p次幂的倒数。

注:在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。

十一、整式的乘法

(一)单项式与单项式相乘

1、单项式乘法法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式。

2、系数相乘时,注意符号。

3、相同字母的幂相乘时,底数不变,指数相加。

4、对于只在一个单项式中含有的字母,连同它的指数一起写在积里,作为积的因式。

5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。

6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。

(二)单项式与多项式相乘

1、单项式与多项式乘法法则:单项式与多项式相乘,就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项,再把所得的积相加。即:m(a+b+c)=ma+mb+mc。

2、运算时注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号。

3、积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。

4、混合运算中,注意运算顺序,结果有同类项时要合并同类项,从而得到最简结果。

(三)多项式与多项式相乘

1、多项式与多项式乘法法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。即:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。

2、多项式与多项式相乘,必须做到不重不漏。相乘时,要按一定的顺序进行,即一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。在未合并同类项之前,积的项数等于两个多项式项数的积。

3、多项式的每一项都包含它前面的符号,确定积中每一项的符号时应用“同号得正,异号得负”。

4、运算结果中有同类项的要合并同类项。

5、对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时,可以运用下面的公式简化运算:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。

十二、平方差公式

1、(a+b)(a-b)=a2-b2,即:两数和与这两数差的积,等于它们的平方之差。

2、平方差公式中的a、b可以是单项式,也可以是多项式。

3、平方差公式可以逆用,即:a2-b2=(a+b)(a-b)。

4、平方差公式还能简化两数之积的运算,解这类题,首先看两个数能否转化成

(a+b)?(a-b)的形式,然后看a2与b2是否容易计算。

十三、完全平方公式

1、(a±b)2=a2±2ab+b2即:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。

2、公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式。

十四、整式的除法

(一)单项式除以单项式的法则

1、单项式除以单项式的法则:一般地,单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。

2、根据法则可知,单项式相除与单项式相乘计算方法类似,也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑。

(二)多项式除以单项式的法则

1、多项式除以单项式的法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加。

2、多项式除以单项式,注意多项式各项都包括前面的符号。

第三章、一元一次方程

一、方程的有关概念

1.方程:含有未知数的等式就叫做方程.

2. 一元一次方程:只含有一个未知数(元)x,未知数x的指数都是1(次),这样的方程叫做一元一次方程.例如: 1700+50x=1800, 2(x+1.5x)=5等都是一元一次方程.

3.方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解.

注:⑴ 方程的解和解方程是不同的概念,方程的解实质上是求得的结果,它是一个数值(或几个数值),而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程. ⑵ 方程的解的检验方法,首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值,其次比较两边的值是否相等从而得出结论.

二、等式的性质

等式的性质(1):等式两边都加上(或减去)同个数(或式子),结果仍相等. 等式的性质(1)用式子形式表示为:如果a=b,那么a±c=b±c

(2)等式的性质(2):等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等,等式的性质(2)用式子形式表示为:如果a=b,那么ac=bc;如果

aba=b(c≠0),那么= cc

三、移项法则:把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项.

四、去括号法则

1. 括号外的因数是正数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.

2. 括号外的因数是负数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变.

五、解方程的一般步骤

1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)

2. 去括号(按去括号法则和分配律)

3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边,其他项都移到方程的另一边,移项要变号)

4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)

b5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=a

六、用方程思想解决实际问题的一般步骤

1. 审:审题,分析题中已知什么,求什么,明确各数量之间的关系.

2. 设:设未知数(可分直接设法,间接设法)

3. 列:根据题意列方程.

4. 解:解出所列方程.

5. 检:检验所求的解是否符合题意.

6. 答:写出答案(有单位要注明答案)

七、有关常用应用类型题及各量之间的关系

1. 和、差、倍、分问题:

增长量=原有量3增长率 现在量=原有量+增长量

(1)倍数关系:通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率??”来体现.

(2)多少关系:通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余??”来体现.

2. 等积变形问题:

(1)“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为: ①形状面积变了,周长没变;

②原料体积=成品体积.

(2 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但体积不变. ①圆柱体的体积公式 V=底面积3高=S2h=?r2h

②长方体的体积 V=长3宽3高=abc

3. 劳力调配问题:

这类问题要搞清人数的变化,常见题型有:

(1)既有调入又有调出;

(2)只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;

(3)只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变

4. 数字问题

(1)要搞清楚数的表示方法:一般可设个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c.

十位数可表示为10b+a, 百位数可表示为100c+10b+a. 然后抓住数字间或

新数、原数之间的关系找等量关系列方程(其中a、b、c均为整数,且1≤a≤9, 0≤b≤9, 0≤c≤9)

(2)数字问题中一些表示:两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2或2n—2表示;奇数用2n+1或2n—1表示.

5. 工程问题:

工程问题:工作量=工作效率3工作时间

完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1

6.行程问题:

路程=速度3时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间

(1)相遇问题: 快行距+慢行距=原距

(2)追及问题: 快行距-慢行距=原距

(3)航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度 逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度 抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系.

7. 商品销售问题

商品利润

(1)商品利润率=商品成本价3100%

(2)商品销售额=商品销售价3商品销售量

(3)商品的销售利润=(销售价-成本价)3销售量

(4)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售.有关关系式:商品售价=商品标价3折扣率

(5)商品利润=商品售价—商品进价=商品标价3折扣率—商品进价

8. 储蓄问题

⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税

⑵ 利息=本金3利率3期数

本息和=本金+利息

利息税=利息3税率(20%)

(3)利润=

每个期数内的利息3100% 、 本金

第四章、图形认识初步

4.1多姿多彩的图形

??柱体(棱柱、圆柱)???立体图形?椎体(棱锥、圆锥)1.几何图形? ?球体???平面图形?

2.研究立体图形的方法

(1)平面展开图:有些立体图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当剪开,可以展开成平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。

(2)从不同的方向看(“三视图”)

3.几何图形的形成:点动成线,线动成面,面动成体。

4.几何图形的结构:点、线、面、体组成几何图形。点是构成图形的基本元素。

4.2直线、射线、线段

1.点:表示一个物体的位置,通常用一个大写字母表示,如点A、点B。

2.直线

(1)直线的表示方法:①可以用这条直线上任意两点的字母(大写)来表示;②用一个小写字母来表示。

(2)直线的基本性质:经过两点有一条直线,并且只有一条直线。简述为,两点确定一条直线。

(3)直线的特征:

①直线没有端点,不可量度,向两方无限延伸;

②直线没有粗细;

③两点确定一条直线;

④两条直线相交有唯一一个交点。

(4)点与直线的位置关系:

①点在直线上(也可以说这条直线经过这个点);

②点在直线外(也可以说直线不经过这个点)。

(5)两条直线的位置关系有两种——相交、平行

3.射线:直线上一点和它一旁的部分叫做射线。

(1)射线的表示方法:

①用两个大写字母表示,表示端点的字母写在前面,在两个字母前加上“射线”; ②用一个小写字母表示。

(2)射线的性质:

①射线是直线的一部分;

②射线只向一方无限延伸,有一个端点,不能度量、不能比较长短; ③射线上有无穷多个点;

④两条射线的公共点可能没有,可能只有一个,可能有无穷多个。

4.线段:直线上两点和它们之间的部分叫做线段。

(1)线段的特点:线段是直的,它有两个端点,它的长度是有限的,可以度量,可以比较长短。

(2)线段的表示方法:

①用两个端点的大写字母表示;

②用一个小写字母表示。

(3)线段的基本性质:两点的所有连线中,线段最短。简称,两点之间线段最短。

(4)两点的距离:连接两点间的线段的长度叫做这两点的距离。

(5)线段的中点:把一条线段分成两条相等线段的点,叫做线段的中点。 如图,点M将线段AB分成AM=BM两段,M即为线段AB的中点。 M A 1判定:∵ AM=BM(或AM=BM=AB,AB=2AM=2BM),M在AB上,∴ M是线段AB2

的中点。

1性质:∵M是线段AB的中点,∴AM=BM(或AM=BM=AB,AB=2AM=2BM)。 2

(6)线段大小的比较方法:

(1)叠合法;

(2)度量法;

(3)估测法。比较线段的大小与比较数的大小一样,也可以用“>”、“<”或“=”来表示,字母前面的“线段”省略不写。线段的和差与其数量的和差是一致的。

4.3角

1.角:

(1)有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的两条边。

(2)角也可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。射线旋转时经过的平面部分称为角的内部,平面的其余部分称为角的外部。

注意:

①角的大小与边的长短无关,只与构成角的两边张开的幅度大小有关; ②角的大小可以度量,可以比较,也可以参与运算。

2.角的表示方法:

①用角的符号和数字表示一个角;

②用角的符号和小写的希腊字母表示一个角;

③用角的符号和一个大写的英文字母表示一个独立的角(在一顶点处只有一个角);

④用角的符号和三个大写的英文字母表示任意一个角,表示顶点的字母要写在中间。

3.角的分类:按角的大小可分为锐角、直角、钝角、平角、周角等。

4.角的度量单位及换算:

1°=60′,1′=60″,1周角=360°,1平角=180°,1直角=90°, 1周角=2平角=4直角=360°, 1平角=2直角=180°。

5.角的大小的比较方法: B

(1)叠合法:比较两个角的大小时,把角叠合起来使两个角的顶点及一边重合,

另一边落在同一条边的同旁,则可比较大小;

(2)度量法:量出角的度数,就可以按照角的度数的大小来比较角的大小。

6.角的平分线:从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做

这个角的平分线。

如图,射线OC将∠AOB分成两个相等的角,即∠1=∠2,则OC是∠AOB的平分线。

1判定:∵∠1=∠2(或∠1=∠2=∠AOB,∠AOB=2∠1=2∠2 ∴OC平分∠AOB。 2

1性质:∵OC平分∠AOB,∴∠1=∠2(或∠1=∠2=∠AOB,∠AOB=2∠1=2∠2)。 2

C 7.余角与补角

(1)余角:如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角。 B (2)补角:如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角。

(3)互余、互补的性质:同角(或等角)的余角(或补角)相等。

(4)方位角:表示方向的角,它是指正北(或正南)方向线与目标方向线之间

所夹的锐角。习惯上把南或北写在前面,东或西写在后面,用两个方向表示。

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