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为什么是0.618

发布时间:2013-11-26 10:37:55  

为什么是0.618

无处不闪耀光辉的黄金分割
建筑 艺术 生活
你知道黄金比的近似值0.618是怎样求出来的吗
数学的美不同于其 它的美,它是独特 的、内在的,不华 丽,但纯洁、祟高.

如图2-7,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 AC ? BC , 那么点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.
AC BC ? , 得 AC 2 ? AB ? BC 由 AB AC
A
1

AB

AC

设 AB ? 1, AC ? x, 则 BC ?1 ? x
∴ x 2 ? 1? ?1 ? x ?
x1 ?

x

C
图2-7

B

即 x2 ? x ?1 ? 0
?1? 5 , 2 x2 ? ?1 ? 5 (不合题意,舍去) 2

用公式法解这个方程,得 我们在应用 5 近似值时,一般只取精确到小数点后三位数, ? 1 ? 2.236 1.236 因此我们用 5 ? 2.236 x? ? ? 0.618 ∴
AC x 0.618 ? ? ? 0.618 所以,黄金比 AB 1 1 2 2

如图2-8,某海军基地位于点A处,在其正南方向200海里处有一 重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位 于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小 岛D的正南方向.一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给 船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送 达军舰. A 北 (1) 小岛D和小岛F相距多少海里? (2) 已知军舰的速度是补给船的2 倍,军舰在由B到C的途中与补给船 相遇于E处,那么相遇时补给船航行 了多少海里?(结果精确到0.1海里, 其中 6 ? 2.449 )
D 东

B

E

F

C



2-8

如图2-8,某海军基地位于点A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在 B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给 码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向.一艘军舰从A出发,经B到 C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批 物品送达军舰. (1) 小岛D和小岛F相距多少海里?

分析: 连接DF,根据题意得, A DF ? BC , AB ? BC \ ?DFC ? 90?, ?ABC ? 90? ? AB ? 200海里, BC ? 200海里 200 三角形ABC 为等腰直角三角形 \ ?C ? 45? DC 1 且相似比 另外易证, ?DFC~ ?ABC ? \
1 \ DF ? AB ? 100 (海里) 2



2-8



D



?
45o

AC

2

B

E

F 200

C

如图2-8,某海军基地位于点A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在 B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给 码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向.一艘军舰从A出发,经B到 C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批 物品送达军舰. (2) 已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C A 图 2-8 北 的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行 了多少海里?(结果精确到0.1海里,其中 6 ? 2.449)

分析: ∵两船速度之比为

v军舰 v补给船

?

2 1

D 200



∴相同时间内两

船的行程之比为
s军舰 s补给船 2 ? 1
B E

x ?

100 F 200 45o C

若设相遇时补给船的行程DE为x海里,则相遇时军舰 的行程应为 2x 海里.图上哪一部分对应的是军舰的行程?

(2) 已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰 在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么 相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确 到0.1海里,其中 6 ? 2.449 )

A


D

2-8



解: 若设相遇时补给船的行程DE为x海里, x 100 则相遇时军舰的行程应2x为海里, 45o 即 DE ? x海里, AB ? BE ? 2 x海里 B E C F 为等腰直角三角形 另外三角形DFC ? 200 100 6 ? 118.4 \ FC ? DF ? 100 (海里) \ x1 ? 200 ? 答:相遇时 \ EF ? BC ? BE ? FC 3 100 6 补给船航 ? 200 ? ?2 x ? 200? ? 100 x2 ? 200 ? ? 300 ? 2 x (海里) 行了约 3 在Rt?DEF中, 根据勾股定理可得方程 ? 281.6 >200 118.4海里. 2 x 2 ? 1002 ? ?300 ? 2 x ? DE<AB 即DE<200 (不合题意,舍去) 整理,得 3x 2 ? 1200 x ? 100000 ? 0

200



有这样一道阿拉伯古算题:有两笔钱,一多一少,其和等于20,积 等于96,多的一笔被许诺赏给赛义德,那么赛义德得到多少钱? 解: 设赛以德得到的钱,即多的一笔钱数为x,则少的一笔钱数 为20-x,根据题意得 原方程可变形为

x?20 ? x ? ? 96 20 x ? x 2 ? 96

x 2 ? 20 x ? 96 ? 0 2 ? b 2 ? 4ac ? ?? 20? ? 4 ?1? 96 ? 16 >0 - ?- 20? ? 16 20 ? 4 \ x? ? 2 ?1 2 \ x1 ? 12, x2 ? 8 (不合题意,舍去)
答:赛义德得到的多的一笔钱数为12.

本节课选取了一些几何和现实生活中的题材,让同学 们经历列一元二次方程解决问题的过程.当我们在建构 方程数学模型,刻画现实世界、解决实际问题时,应注 意哪些重要环节? 整体地、系统地审清问题 把握问题中的等量关系 正确求解方程并检验解的合理性 你还有哪些新的、有价值的收获吗?

《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同所立.甲行率七, 乙行率三,乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙行各几 何.” 大意是说:已知甲、乙二人同时从同一地点出发,甲的速度为7, 乙的速度为3,乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东 方向走了一段后与乙相遇,那么相遇时,甲、乙各走了多远? 解:如图所示,甲、乙二人同时从点0出发,在点B处相遇.
3x 设相遇时甲的行程为7x步,乙的行程为3x步, O B 即 OA ? 10步, AB ? (7 x ? 10)步, OB ? 3x步 10 7x -10 根据题意得 (7 x ? 10) 2 ? 102 ? (3x) 2 \ x1 ? 3.5 , x2 ? 0 (不合题意,舍去) A 甲的行程: 3.5 ? 7 ? 24.5(步) 乙的行程: 3.5 ? 3 ? 10.5(步)

s甲 7 v甲 7 \ ? ? ? s乙 3 v乙 3





有100米长的篱笆,想围成一个矩形露天羊圈, 要求面积不小于600平方米,在场地的北面有一堵 长50米的旧墙。现请你设计矩形

羊圈的长和宽使它 符合要求,你有多少种设计方案呢?

有100米长的篱笆,想围成一个矩形露天羊圈,要求面积不小 于600平方米,在场地的北面有一堵长50米的旧墙。现请你设 计矩形羊圈的长和宽使它符合要求,你有多少种设计方案呢?
利用场地北面的旧墙,使矩形的长与旧墙平行, 设矩形与墙垂直的一边长为x米,

则另一边为(100-2 x )米
若S=600

m

2

25 ? 5 13



则有 x (100-2 x )=600 , 即

解得

x1 =25+5
2

13,

x 2=25-5 13

x- 50 x +300=0
50-10 13

2

∵旧墙长50米,∴100-2 x≤50,即x≥25 ∴

x =25-5 13

不合题意,舍去

则100-2 x = 50-10

13

有100米长的篱笆,想围成一个矩形露天羊圈,要求面积不小 于600平方米,在场地的北面有一堵长50米的旧墙。现请你设 计矩形羊圈的长和宽使它符合要求,你有多少种设计方案呢? 充分利用50米的旧墙,即矩形的一 边长是50米,

50

用100米篱笆围成矩形羊圈,
则矩形的另一边长为25米, S=50×25=1250 ( 所以设计符合要求 25
2

m )

作业

课本P66

习题2.8

1. 2.

阅读课本P66~68,预习下一节内容

数学美的魅力 1
古埃及胡夫金字塔 古希腊巴特农神庙

文明古国埃及的金字塔,形似方锥,大 小各异。但这些金字塔底面的边长与高 这比都接近于0.618.

古希腊的一些神庙,在建筑时高和宽也 是按黄金比0.618来建立,他们认为这样 的长方形看来是较美观;其大理石柱廓 ,就是根据黄金分割律分割整个神庙的.

数学美的魅力 2
上海东方明珠电视塔

上海黄浦江畔的东方明珠塔,是亚 洲第一,世界第三高塔,它的塔身 竟高达462.85米,仿佛一把刺天长 剑,直冲云霄。要建造这样高而瘦 长搭塔身,在造型上难免有些单调 ,然而设计师巧妙地在塔身上装置 了晶莹耀眼的上球体、下球体和太 空舱,它既可供游人登高俯览城市 景色,又使笔直的塔身有了曲线变 化,更妙的是,设计师有意将上球 体选在295米之间的位置,这个位 置恰好在塔身5比8的地方,这 0.618 的比值,使塔身显得非常协 调、美观.

数学美的魅力 3
雕塑断臂女神维纳斯的体型完全与黄金比相符,即以人的肚脐 为分界点,上身与下身之比,或者说下身与全身之比约是0.618 这样的身体给人的感觉就是非常的匀称,充满着美感. 著名画家达?芬奇的蒙娜丽莎构图就完美的体现了黄金分割在 油画艺术上的应用。通过下面两幅图片可以看出来,蒙娜丽莎 的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割,使得 这幅油画看起来是那么的和谐和完美.


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