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平行线分线段成比例经典例题与变式练习(补充)

发布时间:2013-11-26 13:44:52  

平行线分线段成比例

平行线分线段成比例定理及其推论

1. 平行线分线段成比例定理

BCEFABDEABAC

如右图,如果l1∥l2∥l3,则,,. ???

ACDFACDFDEDF

ABC

DEF

l1l2l3

2. 平行线分线段成比例定理的推论:如右左图,在三角形 中,如果DE∥BC,则

ADAEDE

??

ABACBC

A

E

E

D3. 平行的判定定理:如右右图,如果有那么DE∥BC。

ADAEDE

??,ABACBC

B

D

ACC

专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用

D

【例1】 如图,DE∥BC,且DB?AE,若AB?5,AC?10,求AE的长。

B

C

111

【例2】 如图,已知AB//EF//CD,若AB?a,CD?b,EF?c,求证:??.

c

a

b

A

C

EF

D

C

【巩固】如图,AB?BD,CD?BD,垂足分别为B、D,AC和

BD相交于点E,EF?BD,垂足为F.证明:

111

. ??

ABCDEF

B

A

E

【巩固】如图,找出S?ABD、S?BED、S?BCD之间的关系,并证明你的结论.

B

F

D

A

EF

B

【例3】 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD, AB?12,CD?9,过对角线

交点O作 EF∥CD交AD,BC于E,F,求EF的长。

DE

C

F

A

B

【巩固】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD?a,BC?b,E,F分别是AD,BC的中点,AF交BE于P,CE交DF于Q,求PQ的长。

AE

DB

F

C

专题二、定理及推论与中点有关的问题

(1)如图(1),在?ABC中,M是AC的中点,E是AB上一点,且AE?AB,连接EM【例4】

1

4

并延长,交BC的延长线于D,则

BC

?_______. CD

EFAF

? FCFD

(2)如图(2),已知?ABC中,AE:EB?1:3,BD:DC?2:1,AD与CE相交于F,则的值为( )A. B.1 C. D.2

5

2

32

A

E

M

E

B

D(2)

C

B

(1)

CD

【例5】 如图,在?ABC中,D为BC边的中点,E为AC边上的任意一点,BE交AD于点O. (1)当(2)当

AE1AO

的值; ?时,求

AC2ADAE11AO

的值; ?时,求

AC34AD

A

O

AE1AO

(3)试猜想时的值,并证明你的猜想. ?

ACn?1AD

BDC

【例6】 如图,AD是?ABC的中线,点E在AD上,F是BE延长线与AC的交点. (1)如果E是AD的中点,求证:

AF1

?; FC2

AF1AE

成立,若E是AD上任意一点(E与A、D ??

FC2ED

(2)由(1)知,当E是AD中点时,

不重合),上述结论是否仍然成立,若成立请写出证明,若不成立,请说明理由.

D

C

【巩固】如图,已知?ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上的一点,且BE?AC,延长BE

交AC于F。求证:AF?EF。

AF

E

B

D

C

【例7】 如图,?ABC中,D为BC边的中点,延长AD至E,延长AB交CE的延长线于P。若

AD?2DE,求证:AP?3AB。

A

B

P

E

C

【巩固】如图, ?ABC中,BC?a,

若D1,E1分别是AB,AC的中点,则D1E1?a;

?

若D2、E2分别是D1B、E1C的中点,则D2E2????a??a; 2?2?413?7若D3、E3分别是D2B、E2C的中点,则D3E3???a?a??a;

2?4

?8

1a

3

1

2

A

D1D2D3DnB

E1

E2E3

En C

…………

若Dn、En分别是Dn-1B、En-1C的中点,则DnEn?_________.

专题三、利用平行线转化比例 【例8】 如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,直线l平行于BD,且与AB、DC、

BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P.

求证:PM?PN?PR?PS

A

B

l

RS

N

P

【巩固】已知,如图,四边形ABCD,两组对边延长后交于E、F,对角线BD∥EF,AC的延长线交EF于G.求证:EG?GF.

B

E

D

GF

【例9】 已知:P为?ABC的中位线MN上任意一点,BP、CP的延长线分别交对边AC、AB于

D、E,求证:

ADAE

??1 DCEB

EM

P

B

ADN

C

【例10】 在?ABC中,底边BC上的两点E、F把BC三等分,BM是AC上的中线,AE、AF

分别交BM于G、H两点,求证:BG:GH:HM?5:3:2

M

B

E

F

C

【例11】 如图,M、N为?ABC边BC上的两点,且满足BM?MN?NC,一条平行于AC的

直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F.

求证:EF?3DE. A D E

【例12】 已知:如图,在梯形ABCD中,AB//CD,M是AB的中点,

分别连接AC、BD、MD、MC,且AC与MD交于点E,DB与MC交于F. (1)求证:EF//CD

A

(2)若AB?a,CD?b,求EF的长.

BM

F

NC

MB

D

C

【巩固】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD?3,BC?9,AB?6,CD?4,若EF∥BC,且

梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等,求EF的长。

A

D

F

CB

?ABCD的对角线相交于点O,【例13】 如图,在AB的延长线上任取一点E,连接OE交BC

于点F,若AB?a,AD?c,BE?b,求BF的值。

D

O

F

EC

AB

【例14】 已知等腰直角?ABC中,E、D分别为直角边BC、AC上的点,且CE?CD,过E、 D分别作AE的垂线,交斜边AB于L,K. 求证:BL?LK.

D

【习题1】 如已知DE∥AB,OA2?OC?OE,求证:AD∥BC.

B

LK

A

C

D

O

A

BE

【习题2】 在?ABC中,BD?CE,DE的延长线交BC的延长线于P, 求证:AD?BP?AE?CP.

ADBECP

【习题3】 如图,在?ABC的边AB上取一点D,在AC取一点E,使AD?AE,直线DE和BC 的延长线相交于P,求证:BPBD ?CPCE

A

D

E

BCP

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