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证明勾股定理

发布时间:2013-11-27 08:03:31  

勾股定理的应用

一、引言

七年级上册的数学有讲到如何精确地画出根号2。老师说,要画一个2×2的,边长都为1的方格。然后在里面再做出一个菱形(表示方格面积的一半)。这个菱形的边长就是根号2。当时有人就埋怨方法的麻烦了,老师就回答用勾股定理会简便许多。还有印度数学家什迦逻(1141年-1225年)曾提出过“荷花问题”: “平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲;出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边, 渔人观看忙向前,花离原位二尺远;能算诸君请解题,湖水如何知深浅?”用勾股定理就可以很简便的解出。就勾股定理,我查阅了一些资料,弄清楚了它的意义以及它的2种证明方法。

二、提出问题

1、什么是勾股定理?

2、怎么证明勾股定理?

三、问题求解 (1)中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾,较长的直角边叫做股,斜边叫做弦。

勾股定理用文字表述:在任何一个的直角三角形中,两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方(也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等)。勾股定理示意图

用数学式表达:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么

(2)针对它的证明方法,我查阅了一些相关的资料,通过我自己的整理和理解,得出了2种证明方法。

方法一:(课本的证明)

做8个全部相同的直角三角形,设它们的直角边长分别为a和b,斜边长为c,再做3个边长分别为a,b

c

的正方形,把它们拼成两个大正方形,如下图所示:

由上图可知,两个大正方形的边长都是a加b,所以面积是相等的。用方程表

1示它们的面积关系,得:(a+b)2=c2+4× ab 2

(a+b)(a+b)=c2+2ab

a(a+b)+b(a+b)=c2+2ab

a2+ab+ab+b2=c2+2ab

a2+b2+2ab=c2+2ab

a2+b2=c2

方法二:(利用相似三角形性质证明)

在直角三角形ABC中,设直角边AC和BC的长度分别为a和b,斜边AB的长度为c。过点C做AB的垂线CD,垂足是D。如图所示:

在直角三角形ABC与直角三角形ACD中,

因为角ADC=角ACB=90度

角CAD=角BAC,

所以它们互为相似的直角三角形。

因为它们互为相似的直角三角形,所以它们在各个线

段上的三角形边长的比值都是相同的。即ADAC = ACAB

对角相乘得AC2=AD·AB,

同理可证,右边的直角三角形BCD与直角三角形ABC也是互为相似的直角三角形的。从而有了BCAB = BDBC

对角相乘得 BC2=BD·AB,

因为(AC2=AD·AB)=(BC2=BD·AB)

所以 AC2+BC2= AD·AB+BD·AB

AC2+BC2=(AD+BD)·AB

AC2+BC2=AB·AB

AC2+BC2=AB2

即a2+b2=c2.

四、总结与感想 随着数学水平的提高,很多数学的定理和公式都被人们一一推敲了出来,

勾股定理就是其中的一个重大的发现。勾股定理是人们认识宇宙中形规律的自然起点,无论在东方还是西方文明起源过程中,都有着很多动人的故事。勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛,比如用它就可以很方便地把引言中的问题解决掉。答案是3.75尺。从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等,运用勾股定理数学家还发现了无理数,就如引言中的画根号2一样。

我想说的是,虽然勾股定理看似简单,只是一句话,但是它的意义以及作用是无穷大的。认识和掌握勾股定理对初一的无理数有着一定的帮助。我作为一个初一的学生,能力毕竟有限,只能把勾股定理推敲到这里。以后我一定会再接再厉,玩转勾股定理!

2013.11

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