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15.1.1.从分数到分式

发布时间:2013-11-27 10:30:02  

第十五章 分式
15.1 分式 15.1.1 从分数到分式

1.什么是单项式?什么是多项式?什么是整式? 整式


5 6

单项式:数与字母或字母与字母的乘 积. 多项式:几个单项式的和
2 ?7

总结: 单项式和多项式统称为整式。 2.将下列两数相除的形式改写成分数的形式: 5÷6= ; 2÷(-7)= . 3.试用类似分数的形式表示下列整式的除法 90÷x可以用式子 10÷(x-6)可以用式子 (a+b)÷m 可以用式子 来表示。 来表示。 来表示。

1.长方形的面积为10cm2,长为7cm,宽应为

10 7

s?x 长方形的面积为S+x,长为a,宽应为 a
200 33

cm;

;

2.把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱形 容器

中,水面高度为cm

;

把体积为V的水倒入底面积为S

的圆柱形容器中,水面高度为 公顷。

50 3.某村有m人,耕地面积为50公顷,则人均耕地面积为 m

v s

.

4.一辆汽车行驶a千米用b小时,它的平均车速为 的平均车速为

米/小时;一列火车行驶a千米比这辆汽车少用1小时,它

a b



a

千米/小时。

观察下列式子,它们有什么共同点和不同点?
(1)

10 7

200 33

v s?x (2) s a

50 m

a b

a b ?1

A 都是 B (A÷B)的形式

(1)中分数的分子A与分母B都是整数, 而(2)中这些式子的分子A与分母B都是 整式 试给它们起个“名字”。

通过活动2的学习,谈谈你对分式与分数 的认识(异同点)?

相同点
都具有分数的形式

不同点 (观察分母)
分式的分母中含有字母

新知梳理
知识点一 分式

定义: 一般地,如果A,B表示两
个 整式 ,并且B中含有字母,那么式



A B

叫做分式。其中A叫做分子,

B叫做分母。

类比分数、分式的概念及表达形式 : 被除数÷除数=商数
如: 3 ÷ 5

3 = 5

被除式÷除式=商式 v-v0 如: (v÷ t = 类比 t v)
0

整数

整数 分数

整式(A) 整式 (B)

A 分式( ) B

注意:分式是不同于整式的另一类有理式,分母中含有字
母是分式的一大特点.

单项式
整式 多项式

有理式

分式

下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?给它们分家。

整式

识别分式注意: 5 A ”的不一 b x (1)形如“B ? x ? 1 4? x 3 2? 3 定是分式,字母必须在分 母之中; 4 2a ? 5 x2 ? y2 (2)判断一个式子是否 3b 2 ? 5 8 x 是分式,不能把原式变形 后再判断(如约分),只 c x2 1 2 ( x + 1) 根据原形判断; b) 3(a ? x 4 (3)π表示一个常数, 不能看作是表示任意数的 字母。

分式

知识点二

分式有意义的条件

小组讨论:我们知道除数不能为0,分数中分母 不能为0,那么分式中的分母应该满足什么条件?

分式

A B

分式的分母表示除数, 有意义的条件: 。

由于除数不为0,所以分式的分母不为 0 时,

分式有意义,即 B≠0

当B=0时,分

式 A 无意义. B 当B≠0时,分式 A 有意义. B

(三)例题分析讲解:
例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式 才有意义? 2 x? y x 1 x? y 3x x ?1 5 ? 3b

分析:已知分式有意义,就可以知道 2 解: (1)当分母3x ≠ 0即x ≠ 0时,分式 分式的分母不为0,进一步解出分母中3 x 有意义; x 字母的取值范围。 (2)当分母x-1≠0即x≠1时,分式 x ?1 有意义; 1 5 (3)当分母5-3b≠0即b≠ 时,分式 5 ? 3b 3 有意义;

知识点三

A B

分式值为零的条件

=0时分子和分母应满足什么条件?

A 当A=0且B≠0时,分式 B

的值为零

.

例2、当 x 取什么值时,下列分式的值为零 :
(1)

解⑴:

x?2 , 2x ? 5

(2)

| x | ?2 . 2x ? 4

由分子x+2=0,得 x=-2。
而当 x=-2时,分母 2x-5=-4-5≠0。 x?2 所以当x=-2时,分式 的值是零 2x ? 5 。

例2、当 x 取什么值时,下列分式的值为零 :

|x|-2 x?2 , (2) . (1) 2x ? 5 2x ? 4 解⑵ :由分子|x|-2=0,得 x=±2。

当x=2时,分母 2x+4=4+4≠0。 当x=-2时,分母 2x+4=-4+4=0(舍) 所以当x=2时,分式 | x | ?2 的值是零。
若使分式的值为零,需满足两个条件: ①分子值等于零 ②分母值不等于零

2x ? 4

1.填空并判断所填式子是否为分式:
(1)一位作家先用m天写完了一部小说的上集,又用n天

写完下集,这部小说(上、下集)共120万字,这位作
家平均每天的写作量为 。

(2)走一段长10km的路,步行用2x h,骑自行车所用时
间比步行所用时间的一半少0.2h,骑自行车的平均速

度为



(3)甲完成一项工作需t h,乙完成同样工作比甲少用

1h,乙的工作效率为



2.下列式子中,哪些是分式?哪些是整式? 两类式子的区别是什么?
1 x 4 2a ? 5 x , , 3 , , 2 , 2 x 3 3b ? 5 3 x ? y
m ? n x2 ? 2x ? 1 c ,2 , . m ? n x ? 2 x ? 1 3 a ? b) (

分式: 1 4 x m ? n x2 ? 2x ? 1 c , 3 , 2 , , 2 , ; 2 x 3b ? 5 x ? y m ? n x ? 2 x ? 1 3 a ? b) (

整式: x , 2a ? 5 . 3 3

3.下列分式中的字母满足什么条件时,分式有意义?

2 (1) a
x ?1 (2) x ?1

1 (4) x? y
2a ? b (5) 3a ? b

2m (3) 3m ? 2

2 ( 6) x ?1
2

x 2 -4 4.已知分式 , x+2 (1) 当x为何值时,分式无意义? (2) 当x为何值时,分式有意义? (3) 当x为何值时,分式的值为零?
解:(1)当分母等于零时,分式无意义. 即 ∴ x+2=0 x =-2,
x 2 -4 x+2

∴当x = -2时分式

无意义.

(2)由(1)得 当x ≠-2时,分式有意义.

小结
?分式的定义 ?分式有意义 ?分式的值为0

整式A、B相除可 A 写为 B 的形式, 若分母中含有字 A 母,那么 B 叫做 分式。

分母不 等于0

①分子=0 ②分母≠0 ③最后答案

数学思想:类比思想

整体思想

A B≠0 1.分式 有意义的条件是__________. B A B=0 2.分式 无意义的条件是__

________. B A A=0且B≠0 3.分式 值为0的条件是_____________. B A A>0且B>0或A<0且B<0 4.分式 值为正的条件是_____________. B A A>0且B<0或A<0且B>0 5.分式 值为负的条件是_____________. B

巧学速记
分式形状像分数 分母为零无意义

分式值要等于零
分子为零母不零 二者缺一都不行

人生像攀登一座山,而找寻出路,却是 一种学习的过程,我们应当在这过程中,学 习稳定、冷静,学习如何从慌乱中找到生机 .


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