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第十四章 整式的乘法与因式分解教案

发布时间:2013-11-27 12:31:13  

课题:14.1.1同底数幂的乘法

教学目标:理解同底数幂的乘法法则,运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题.通过“同底数

幂的乘法法则”的推导和应用,?使学生初步理解特殊到般再到特殊的认知规律。 教学重点:正确理解同底数幂的乘法法则以及适用范围。

教学难点:正确理解同底数幂的乘法法则以及适用范围。

教学过程:

一、回顾幂的相关知识:

nna的意义:a表示n个a相乘,我们把这种运算叫做乘方.乘方的结果叫幂;a叫做底数,?n是指数.

二、导入新知:

1231.问题:一种电子计算机每秒可进行10次运算,它工作10秒可进行多少次运算?

2.学生分析:总次数=运算速度×时间

3.得到结果:10×10=(10?????10)=10. ???10)×(10×10×10)=(10?10??12315

?????

12个10

3???????15个104.通过观察可以发现10、10这两个因数是同底数幂的形式,所以我们把像10×10的运算

叫做同底数幂的乘法.根据实际需要,我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法.

123155.观察式子:10×10=10,看底数和指数有什么变化?

三、学生动手:

1.计算下列各式:

52 32mn (1)2×2(2)a·a (3)5·5(m、n都是正整数)

2.得到结论:(1)特点:这三个式子都是底数相同的幂相乘.相乘结果的底数与原来底数相同,指数是原来两个幂的指数的和.

mn3.a·a表示同底数幂的乘法.根据幂的意义可得:

a·a=(a?a????a)·(a?a????a)=a?a????a=amnm+n 12123

?????

m个a

m+n??????????n个a(m+n)个a a·a=a(m、n都是正整数),即为:同底数幂相乘,底数不变,指数相加

四、学以致用:

1.计算:

256 m3m+1 (1)x·x (2)a·a (3)x·x

43 mnp 2.计算:(1)2×2×2(2)a·a·amn

13?1?26 24 3.计算:(1)(-a)×a(2)(-a)×a (3)(-)×??2?2?

24766 4.计算:(1)(a+b)×(a+b)×[-(a+b)]

347 (2)(m-n)×(m-n)×(n-m)

25322 (3)a×a×a+a×a×a

五、小结:

1.同底数幂的乘法的运算性质,进一步体会了幂的意义.了解了同底数幂乘法的运算性质.同底数幂的乘法的运算性质是底数不变,指数相加.

2.注意两点:一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质;二是运用这个性质计算时一定

mnm+n是底数不变,指数相加,即a·a=a(m、n是正整数).

1

六、作业:

必做题: 选做题:

板书设计

教学反思:

2

课题:14.1.2幂的乘方

教学目标:经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能

力和有条理的表达能力。了解幂的乘方与积的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题。

教学重点:会进行幂的乘方的运算,幂的乘方法则的总结及运用。

教学难点:会进行幂的乘方的运算,幂的乘方法则的总结及运用。

教学过程:

一、回顾同底数幂的乘法:

mnm+na·a=a(m、n都是正整数)

二、自主探索,感知新知:

41.6表示_________个___________相乘.

242.(6)表示_________个___________相乘.

33.a表示_________个___________相乘.

234.(a)表示_________个___________相乘.

三、推广形式,得到结论:

mn 1.(a)=____×____×?×____ =____×____×?×____=_______

mn即 (a)= ______________(其中m、n都是正整数)

2.通过上面的探索活动,发现了什么?

幂的乘方,底数__________,指数__________.

四、巩固成果,加强练习:

1.计算:(1)(10) (2)[(

2535234 34)](3)[(-6)] 327s3(4)(x) (5)-(a) (6)-(a)

2.判断题,错误的予以改正。

5510 336 (1)a+a=2a( ) (2)(x)=x( )

2466 (3)(-3)·(-3)=(-3)=-3( )

3333426(4)x+y=(x+y) ( ) (5)[(m-n)]-[(m-n)]=0 ( )

五、新旧综合:

在上节课我们讲到,同底数幂相乘在不同底数时有两个特例可以进行运算,上节我们讲了一种情况:底数互为相反数,这节我们研究第二种情况:底数之间存在幂的关系

323 1.计算:2×4×8

3422nn2237 2.计算:(1)(x)·x (2) 2(x)-(x) (3) [(x)]

六、提高练习:

342324521.计算:(1)5(P)·(-P)+2[(-P)]·(-P)

m2nm-120021990 (2)[(-1)]+1+0―(―1)

2m82.若(x)=x,则m=______

3m2123.若[(x)]=x,则m=_______

m2m9m4.若x·x=2,求x的值。

2n3n45.若a=3,求(a)的值。

mn2m+3n6.已知a=2,a=3,求a的值.

七、附加练习:

34 n+122n+1323 1.[-(x+y)] 2.(a)×(a) 3.(-3)

342442m+nm-n32m-n3m 4.a×a×a+(a)+2(a) 5.(x)2×(-x)+x×(-x)

3

八、小结:

掌握幂的乘方的运算法则,会进行幂的乘方的运算。

九、作业:

必做题: 选做题:

板书设计

教学反思:

4

课题:14.1.3积的乘方

教学目标:经历探索积的乘方的运发展推理能力和有条理的表达能力.学习积的乘方的运算法则,

提高解决问题的能力.进一步体会幂的意义.理解积的乘方运算法则,能解决一些实际问题.

教学重点:积的乘方运算法则及其应用;幂的运算法则的灵活运用.

教学难点:积的乘方运算法则及其应用;幂的运算法则的灵活运用.

教学过程:

一、回顾旧知:

1.同底数幂的乘法 ;2.幂的乘方。

二、 创设情境,引入新课:

31.问题:已知一个正方体的棱长为2×10cm,?你能计算出它的体积是多少吗?

333 32.提问:体积应是V=(2×10)cm,结果是幂的乘方形式吗?底数是2和10的乘积,虽

3然10是幂,但总体来看,它是积的乘方。积的乘方如何运算呢?能不能找到一个运算法则??有前两节课的探究经验,请同学们自己探索,发现其中的奥秒.

三、自主探究,引出结论:

1.填空,看看运算过程用到哪些运算律,从运算结果看能发现什么规律?

2( )( )(1)(ab)=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=ab

3( )( )n( )( ) (2)(ab)=__=__=ab(3)(ab)=__=__=ab(n是正整数)

2222.分析过程:(1)(ab) =(ab)·(ab)= (a·a)·(b·b)= ab,

333(2)(ab)=(ab)·(ab)·(ab)=(a·a·a)·(b·b·b)=ab;

(3)(ab)=(ab)?(ab)?????(ab)=(a?a?????a)·(b?b?????b)=abnnn

??????????????

n个ab

nnn?????n个bn个a3.得到结论:积的乘方:(ab)=a·b(n是正整数)

把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,也就是说积的乘方等于幂的乘积.

4.积的乘方法则可以进行逆运算.即:

nnn a·b=(ab)(n为正整数)

a·b=(a?a?????a)·(b?b?????b)──幂的意义 nn

?????

n个a?????n个b

=(a?b)?(a?b)?????(a?b)──乘法交换律、结合律 ?????????

n个(a?b)

n =(a·b) ──乘方的意义

5.结论:同指数幂相乘,底数相乘,指数不变.

四、巩固成果,加强练习:

3322341.计算:(1)(2a) (2)(-5b) (3)(xy) (4)(-2x)

2.计算:

3233327 223(1)2(x)·x-(3x)+(5x)·x(2)(3xy)+(-4xy)·(-xy)

(3)(-2x)·(

3p33122 232223x)(4)(-xy)+7(x)·(-x)·(-y) 2p578

mm(5)[(m-n)]·[(m-n)(m-n)] (6)(0.125)×8 (7)(0.25)×4 (8)2×4×(

3.已知10=5,10=6,求10

五、小结: mn2m+3n8101m) 8的值.

5

1.总结积的乘方法则,理解它的真正含义。

2.幂的三条运算法则的综合运用。

六、作业:

必做题: 选做题:

板书设计

教学反思:

6

课题:14.1.4整式的乘法(1)

教学目标:探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则,并运用

它们进行运算.让学生主动参与到探索过程中去,逐步形成独立思考、主动探索的习惯,培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力.

教学重点:单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则. 教学难点:单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则. 教学过程:

一、回顾旧知:

回忆幂的运算性质:

mnm+nmnmnnnn a·a=a (a)=a (ab)=ab(m,n都是正整数)

二、创设情境,引入新课:

521.问题:光的速度约为3×10千米/秒,太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×10秒,你

知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?

525272.学生分析解决:(3×10)×(5×10)=(3×5)×(10×10)=15×10

523.问题的推广:如果将上式中的数字改为字母,即ac·bc,如何计算?

5252ac·bc=(a·c)·(b·c)

52=(a·b)·(c·c)

5+2 =abc

7 =abc

三、自己动手,得到新知:

522321.类似地,请你试着计算:(1)2c·5c;(2)(-5ab)·(-4bc)

2.得出结论:单项式与单项式相乘:把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.

四、巩固结论,加强练习:

1.计算:

2(1)(-5ab)·(-3a)

32 (2)(2x)·(-5xy)

2.小民的步长为a米,他量得家里的卧室长15步,宽14步,这间卧室的面积有多少平方米?

3.计算:

(1)2abc?(?2ab) (2) (?3x)?x

(3)(-10xy)(2xyz) (4)(-2xy)(-3xy)(-

(5) 3(x-y)·[-2342233223231xy) 44334(y-x)][ -(x-y)] 152

4.判断:

(1)单项式乘以单项式,结果一定是单项式( )

(2)两个单项式相乘,积的系数是两个单项式系数的积( )

(3) 两个单项式相乘,积的次数是两个单项式次数的积( )

(4)两个单项式相乘,每一个因式所含的字母都在结果里出现( )

5.计算:0.4xy·(

mn21233xy)-(-2x)·xy 23m+n26.已知a=2,a=3,求(a)的值。

7

7.求证:5·3·2-3·6能被13整除

五、小结:

1.单项式与单项式的乘法法则。

2. 单项式与单项式的乘法法则的熟练运用。

六、作业:

必做题: 选做题:

板书设计

教学反思:

8 22n+1nnn+2

课题:14.1.4整式的乘法(2)

教学目标:探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则,并运用

它们进行运算.让学生主动参与到探索过程中去,逐步形成独立思考、主动探索的习惯,培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力.

教学重点:单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则. 教学难点:单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则. 教学过程:

一、回顾旧知:

单项式乘以单项式的运算法则:把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.

二、创设情境,提出问题:

1.问题:三家连锁店以相同的价格m(单位:元/瓶)销售某种商品,它

们在一个月内的销售量(单位:瓶),分别是a,b,c。你能用不同方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗?

2.得到结果:一种方法是先求三家连锁店的总销售量,再求总收入,

即总收入为:________ ;另一种方法是先分别求三家连锁店的收入,再求它们的和, 即总收入为:__________ 。 所以:m(a+b+c)= ma+mb+mc

3.提出问题:根据上式总结出单项式与多项式相乘的方法吗?

4.总结结论:

单项式与多项式相乘:就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。

即:m(a+b+c)= ma+mb+mc

三、巩固练习:

1.计算:

(1)2a·(3a-5b) (2) (ab?2ab)?

(3)(-4x) ·(3x+1)

m+12n-1nm442.若(-5ab)(2ab)=-10ab,则m-n的值为______

32233.计算:(ab)(ab)

2234. 计算:(3ab)+(-2ab)(-4ab) 2222321ab 2

524xy)?(xy2?2xy?y) 233

227226.计算:(-3xy)(5xy)?6x(xy?2y) 25. 计算:(-

7.已知a?2,b?3,求3ab(ab?ab?ab)?ab(2a?3ab?2a)的值

8.解不等式:2x(x?1)?(3x?2)x?2x?x?1

9.若2x?3x?m与x?mx?2的和中不含x项,求m的值,并说明不论x取何值,它的值总是正数

四、小结:

1.单项式与多项式的乘法法则。

2. 单项式与多项式的乘法法则的熟练运用。 22222222

9

五、作业:

必做题: 选做题:

板书设计

教学反思:

10

课题:14.1.4整式的乘法(3)

教学目标:探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则,并运用

它们进行运算.让学生主动参与到探索过程中去,逐步形成独立思考、主动探索的习惯,培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力.

教学重点:单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则. 教学难点:单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则. 教学过程:

一、回顾旧知:

单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法则

二、创设情境,感知新知:

1.问题:为了扩大绿地面积,要把街心花园的一块长a米,宽m

米的长方形绿地增长b米,加宽n米,求扩地以后的面积是多

少?

2. 提问:用几种方法表示扩大后绿地的面积?不同的表示方法之间

有什么关系?

23.得出结果:方法一:这块花园现在长(a+b)米,宽(m+n)米,因而面积为(a+b)(m+n)米.

222方法二:这块花园现在是由四小块组成,它们的面积分别为:am米、an米、bm米、

22bn米,故这块绿地的面积为(am+an+bm+bn)米.(a+b)(m+n)和(am+an+bm+bn)表示同一块绿地的面积,所以有(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

三、学生动手,推导结论:

1.引导观察:等式的左边(a+b)(m+n)是两个多项式(a+b)与(m+n)相乘 ,把(m+n)看成一个整体,那么两个多项式(a+b)与(m+n)相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘,这是一个我们已经解决的问题,请同学们试着做一做.

2.过程分析:(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n) ----单×多

=am+an+bm+bn ----单×多

3.得到结论:多项式与多项式相乘:先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.

四、巩固练习:

1.计算:(1)(x?2y)(x?2xy?3y) (2)(2x?5)(x?5x?6)

(3)(3x222?1)(x?2) (4) (x-8y)(x-y) (5) (x?y)(x2-xy?y2)

22222.先化简,再求值:(a-3b)+(3a+b)-(a+5b)+(a-5b),其中a=-8,b=-6.

3.化简求值:(x?2)(x?3)?3(x?1)(x?1)?(2x?1)(2x?3),其中x=4. 5

4.一块长m米,宽n米的玻璃,长宽各裁掉a米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小),问台面面积是多少?

五、深入研究:

1.计算:①(x+2)(x+3);②(x-1)(x+2);③(x+2)(x-2);④(x-5)(x-6);⑤(x+5)(x+5);

⑥(x-5)(x-5);并观察结果和原式的关系。

2.解不等式组:??(x

?2)(x?3)?x(x?1)?22 (x?1)(x?6)?(x?5)(x?2)?

11

3.求证:对于任意自然数n,n(n?5)?(n?3)(n?2)的值都能被6整除

4.计算:(x+2y-1)

25.已知x-2x=2,将下式化简,再求值.

2(x-1)+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)

六、小结:

1.多项式与多项式的乘法法则,整式的乘法。

2. 单项式与多项式的乘法法则、多项式与多项式的乘法法则的熟练运用。

七、作业:

必做题: 选做题:

板书设计

教学反思:

12 2

课题:同底数幂的除法

教学目标:同底数幂的除法的运算法则及其原理和应用,发展有条理的思考及表达能力。培养探

索讨论、归纳总结的方法.

教学重点:准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算.

教学难点:准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算.

教学过程:

一、创设情境,感知新知:

8 610问题:一种数码照片的文件大小是2K,一个存储量为2M(1M=2K)的移动存储器能存储

多少张这样的数码照片?

1.分析问题:移动器的存储量单位与文件大小的单位不一致,所以要先统一单位.移动存

61016168储器的容量为2×2=2K.所以它能存储这种数码照片的数量为2÷2.

2.问题迁移:由同底数幂相乘可得:2?2?2,所以根据除法的意义2÷2=2 168 88816

3.感知新知:这就是我们本节需要研究的内容:同底数幂的除法。

二、学生动手,得到公式:

8 16 35 1.计算:(1)( )·2=2(2)( )·5=5

57 36 (3)( )·10=10(4)( )·a=a

168532.再计算:(1)2÷2=( ) (2)5÷5=( )

7563 (3)10÷10=( ) (4)a÷a=( )

3.提问:上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系?

4.分析:同底数幂相除,底数没有改变,商的指数应该等于被除数的指数减去除数的指数.

mnm-n5.得到公式:同底数幂相除,?底数不变,指数相减. 即:a÷a=a.(a?0)

6.提问:指数m,n之间是否有大小关系?【m,n都是正整数,并且m>n】

三、巩固练习:

82452 1.计算:(1)x÷x (2)a÷a (3)(ab)÷(ab)

2.提问:在公式要求 m,n都是正整数,并且m>n,但如果m=n或m<n呢?

2233mm3.实例研究:计算:3÷3 10÷10 a÷a(a≠0)

2233mm4.得到结论:由除法可得:3÷3=1 10÷10=1 a÷a=1(a≠0)

mnm-n利用a÷a=a的方法计算.

222-20 333-30 mmm-m0 3÷3=3=3 10÷10=10=10 a÷a=a=a(a≠0)

0 这样可以总结得a=1(a≠0)

0于是规定:a=1(a≠0) 即:任何不等于0的数的0次幂都等于1.

mnm-n5.最终结论:同底数幂相除:a÷a=a(a≠0,m、n都是正整数,且m≥n).

四、加强训练:

1.计算:(?c)?(?c) (x?y)

053m?3?(x?y)2 x10?(?x)2?x3 2.若(2a?3b)?1成立,则a,b满足什么条件?

3.若10?x7y,10?49,则102x?y等于? 4

04.若(2x?y?5)无意义,且3x?2y?10,求x,y的值

五、小结:

13

利用除法的意义及乘、除互逆的运算,揭示了同底数幂的除法的运算规律,并能运用运算法则解决简单的计算问题。

六、作业:

必做题: 选做题:

板书设计

教学反思:

14

课题:整式的除法(1)

教学目标:单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法则及其应用和它们的运算算理,发展

有条理的思考及表达能力,提倡多样化的算法,培养学生的创新精神与能力. 教学重点:单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法则及其应用。

教学难点:单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法则及其应用。

教学过程:

一、创设情境,感知新知:

2421问题:木星的质量约是1.90×10吨.地球的质量约是5.08×10吨.?你知道木星的质

量约为地球质量的多少倍吗?

分析:这是除法运算,木星的质量约为地球质量的

2421(1.90×10)÷(5.98×10)倍.

1.90?10241.901024

?21=0.318×103 (1.90×10)÷(5.98×10)=215.98?105.98102421

这也是本节课的研究方向:单项式除以单项式

二、 学生动手,得到法则:

1.仿照上述的计算方法,计算下列各式:

333232(1)8a÷2a (2)5xy÷3xy (3)12abx÷3ab

2.分析特点:(1)单项式相除是在同底数幂的除法基础上进行的。

(2)单项式除以单项式可以分为系数相除;同底数幂相除,只在被除式里含有的字母三部分运算.

3.得到结论:单项式相除,(1)系数相除,作为商的系数;(2)同底数幂相除;(3)对于只在被除数式里含有的字母,连同它的指数作为商的一个因式。

三、巩固练习:

4235341.计算:(1)28xy÷7xy (2)-5abc÷15ab

2324342 (3)(2xy)·(-7xy)÷14xy (4)5(2a+b)÷(2a+b)

352.计算:(1)6xyz?16xy (2)(?0.5ab)?(?7545132ab) 2

(3)1531ab?(?a3b)?(?3a)2 (4)5x3y2?(?15xy) 24

43223(5)(6xyz?3xy)

3.化简求值:求4xy?xy?xy?(xy?2xy)53?43?3322??的值,其中x??2,y?3.

四、小结:

1.单项式的除法法则:单项式相除,

(1)系数相除,作为商的系数;

(2)同底数幂相除;

(3)对于只在被除数 式里含有的字母,连同它的指数作为商的一个因式。

2.应用单项式除法法则应注意:

①系数先相除,把所得的结果作为商的系数,运算过程中注意单项式的系数饱含它前面的符号;

②把同底数幂相除,所得结果作为商的因式,由于目前只研究整除的情况,所以被除式中某 15

一字母的指数不小于除式中同一字母的指数;

③被除式单独有的字母及其指数,作为商的一个因式,不要遗漏;

④要注意运算顺序,有乘方要先做乘方,有括号先算括号里的,同级运算从左到右的顺序进行.

五、作业:

必做题: 选做题:

板书设计

教学反思:

16

课题:整式的除法(2)

教学目标:单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法则及其应用和它们的运算算理,发展

有条理的思考及表达能力,提倡多样化的算法,培养学生的创新精神与能力. 教学重点:单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法则及其应用。

教学难点:单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法则及其应用。

教学过程:

一、回顾单项式除以单项式法则:

单项式相除,(1)系数相除,作为商的系数;(2)同底数幂相除;(3)

对于只在被除数 式里含有的字母,连同它的指数作为商的一个因式。

二、学生动手,探究新课:

21.计算下列各式:(1)(am+bm)÷m; (2)(a+ab)÷a;

22(3)(4xy+2xy)÷2xy.

2.提问:①说说你是怎样计算的 ②还有什么发现吗?

3.分析:以(am+bm)÷m 为例:

(am?bm)?m

1 -------除法转化成乘法 ?(am?bm)?m

= --------乘法分配律

4.总结法则:

多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.

5.本质:把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式。

三、学以致用:

321.计算:(1)(12a-6a+3a)÷3a;

4332222(2)(21xy-35xy+7xy)÷(-7xy);

2(3)[(x+y)-y(2x+y)-8x]÷2x

(4)?(?3xy)x?2x(3xy)

(5)??2322312?y??9x4y2 ?2?(x?2y)(x?2y)?4(x?y)??6x

22.化简求值:已知x?2y?2008,求?(3x?2y)(3x?2y)?(x?2y)(5x?2y)??8x 的值(2x?y)?y(y?4x)?8x?2x

四、小结:

1.单项式的除法法则

2.应用单项式除法法则应注意:

①系数先相除,把所得的结果作为商的系数,运算过程中注意单项式的系数饱含它前面的符号;

②把同底数幂相除,所得结果作为商的因式,由于目前只研究整除的情况,所以被除式中某一字母的指数不小于除式中同一字母的指数;

③被除式单独有的字母及其指数,作为商的一个因式,不要遗漏; ??

17

④要注意运算顺序,有乘方要先做乘方,有括号先算括号里的,同级运算从左到右的顺序进行.

⑤多项式除以单项式法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.

五、作业:

必做题: 选做题:

板书设计

教学反思:

18

课题:14.2.1平方差公式

教学目标:经历探索平方差公式的过程.会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算,培

养学生观察、归纳、概括的能力.

教学重点:平方差公式的推导和应用.理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式. 教学难点:平方差公式的推导和应用.理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式. 教学过程:

一、学生动手,得到公式:

1.计算下列多项式的积.

(1)(x+1)(x-1) (2)(m+2)(m-2)

(3)(2x+1)(2x-1) (4)(x+5y)(x-5y)

2.提出问题:

观察上述算式,你发现什么规律?运算出结果后,你又发现什么规律?

3.特点:等号的一边:两个数的和与差的积,等号的另一边:是这两个数的平方差。

4.得到结论:

222222 (a+b)(a-b)=a-ab+ab-b=a-b. 即 (a+b)(a-b)=a-b

二、学以致用:

1.下列哪些多项式相乘可以用平方差公式?

(1)(2a?3b)(2a?3b) (2)(?2a?3b)(2a?3b)

(3)(?2a?3b)(?2a?3b) (4)(?2a?3b)(2a?3b)

(5)(a?b?c)(a?b?c) (6)(a?b?c)(a?b?c)

2.认清公式:在等号左边的两个括号内分别没有符号变化的集团是a,变号的是b

三、直接运用:

1.计算:(1)(3x+2)(3x-2) (2)(b+2a)(2a-b)

(3)(-x+2y)(-x-2y)

2.简便计算:

(1)102×98 (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)

3.计算:(1) (?x?2y)(?2y?x) (2)(2x?5)(5?2x)

(3)(0.5?x)(x?0.5)(x2?0.25) (4)(x?6)2?(x?6)2

(5)100.5×99.5 (6)99×101×10001

四、提高训练:

1.证明:两个连续奇数的积加上1一定是一个偶数的平方

2.求证:(m?5)2?(m?7)2一定是24的倍数

五、小结:

1、平方差公式及其几何意义

2、平方差公式的灵活运用

六、作业:

必做题: 19

选做题:

板书设计

教学反思:

20

课题:14.2.2安全平方公式(1)

教学目标:完全平方公式的推导及其应用.完全平方公式的几何解释.视学生对算理的理解,有

意识地培养学生的思维条理性和表达能力.

教学重点:完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释,灵活应用。

教学难点:完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释,灵活应用。

教学过程:

一、提出问题,学生自学:

221.问题:根据乘方的定义,我们知道:a=a·a,那么(a+b) 应该写

2成什么样的形式呢?(a+b)的运算结果有什么规律?计算下列各式,

你能发现什么规律?

22 (1)(p+1)=(p+1)(p+1)=_______; (m+2)=_______.

22(2)(p-1)=(p-1)(p-1)=________;(m-2)=_______.

222.得到结果:(1)(p+1)=(p+1)(p+1)=p+2p+1

22 (m+2)=(m+2)(m+2)= m+4m+4

22 (2)(p-1)=(p-1)(p-1)= p-2p+1

22 (m-2)=(m-2)(m-2=m-4m+4

3.分析推广:结果中有两个数的平方和,而2p=2·p·1,4m=2·m·2,恰好是两个数乘积的

二倍。(1)(2)之间只差一个符号。

22推广:计算(a+b)=_____ ___ (a-b)=_____ ___

二、得到公式,分析公式:

222 222 1.结论:(a+b)=a+2ab+b (a-b)=a-2ab+b

即:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍.

2.几何分析:图(1),可以看出

大正方形的边长是a+b,它是

由两个小正方形和两个矩形

组成,?所以大正方形的面积

等于这四个图形的面积之和. 三、运用公式直接运用:

1.应用完全平方公式计算:

(1)(4m+n) (2)(y-212 22 ) (3)(-a-b) (4)(b-a)2

2.简便计算:

22 2 2 (1)102 (2)99 (3)50.01 (4) 49.9

四、附加练习:

1.计算:(1)(4x?y) (2)(3ab?4abc)

(3)(5x? )= ?10xy?y 2222224

(4)(3a?b)(?3a?b) (5)(x?121) (6)(x?)2 xx

22.在下列多项式中,哪些是由完全平方公式得来的? (1)x?4x?4 (2)1?16a (3)x

?1

22

21

(4)x?xy?y (5)9x2?3xy?2212y 4

五、小结:

全平方公式的结构特征:公式的左边是一个二项式的完全平方;右边是三项,其中有两项是左边二项式中每一项的平方.而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍.

六、作业:

必做题: 选做题:

板书设计

教学反思:

22

课题:14.2.2安全平方公式(2)

教学目标:完全平方公式的推导及其应用.完全平方公式的几何解释.视学生对算理的理解,有

意识地培养学生的思维条理性和表达能力.

教学重点:完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释,灵活应用。

教学难点:完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释,灵活应用。

教学过程:

一、回顾完全平方公式:

222 2221.(a+b)=a+2ab+b 2.(a-b)=a-2ab+b

二、提出问题,解决问题:

1.在运用公式的时候,有些时候我们需要把一个多项式看作一个整体,把另外一个多项式看作另

2外一个整体。例如:(a+b+c)(a-b+c)和(a+b+c),这就需要在式子里添加括号。那么如何加

括号呢?它有什么法则呢?它与去括号有何关系呢?

2.解决问题: 在去括号时:

(1)a+(b+c)=a+b+c (2)a-(b+c)=a-b-c

反过来,就得到了添括号法则:

(1)a+b+c=a+(b+c) (2)a-b-c=a-(b+c)

3.理解法则:如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;?如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.也是:遇“加”不变,遇“减”都变.

4.运用法则:

(1)a+b-c=a+( ) (2)a-b+c=a-( )

(3)a-b-c=a-( ) (4)a+b+c=a-( )

5.判断下列运算是否正确.

(1)2a-b-cc=2a-(b-) (2)m-3n+2a-b=m+(3n+2a-b) 22

(3)2x-3y+2=-(2x+3y-2) (4)a-2b-4c+5=(a-2b)-(4c+5)

6.总结:添括号法则是去括号法则反过来得到的,无论是添括号,还是去括号,运算前后代数式的值都保持不变,?所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确.

三、在公式里运用法则:

21.计算:(1)(x+2y-3)(x-2y+3) (2)(a+b+c)

22 2 (3)(x+3)-x (4)(x+5)-(x-2)(x-3)

2.计算:(1)(a?b?2c) (2)(a?b?c)?(a?b?c)

四、两公式的综合运用:

1.如果kx?36x?81是一个完全平方公式,则k的值是多少?

2.如果4x?kx?36是一个完全平方公式,则k的值是多少?

3.如果x?y?4,那么(x?y)(x?y)的结果是多少?

4.已知a?b?5 ab?1.5,求a?b和 (a?b)的值

5.已知x?222222222222111?3,求x2?2 和(x?)2的值 xxx

23

6.已知a?b?-7 ab?12,求a?b-ab和 (a?b)的值

7.证明(2n?1)?25能被4整除

五、小结:

利用添括号法则可以将整式变形,从而灵活利用乘法公式进行计算,灵活运用公式进行运算

六、作业:

必做题: 选做题:

板书设计

教学反思:

2222

24

课题:14.3.1提公因式法(1)

教学目标:因式公解的概念,和整式乘法的关系,公因式的相关概念,用提公因式法分解因式,

学会逆向思维,渗透化归的思想方法.

教学重点:1.因式公解;2.公因式;3.提公因式法分解因式。

教学难点:1.因式公解;2.公因式;3.提公因式法分解因式。

教学过程:

一、提出问题,感知新知:

1.问题:把下列多项式写成整式的乘积的形式

22 (1)x+x=_________ (2)x-1=_________ (3)am+bm+cm=_ _

2.得到结果,分析特点:根据整式乘法和逆向思维原理,

22 (1)x+x=x(x+1) (2)x-1=(x+1)(x-1)(3)am+bm+cm=m(a+b+c)

分析特点:等号的左边:都是多项式

等号的右边:几个整式的乘积形式。

二、获得新知:

1.总结概念:像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解,也叫把这个多项式分解因式。

2.与整式乘法的关系:是整式乘法的相反方向的变形 。

注意: 因式分解不是运算,只是恒等变形。

形式:多项式=整式1×整式2×···×整式n

3.强化训练:下列代数式变形中,哪些是因式分解?哪些不是?为什么?

2(1)x-3x+1=x(x-3)+1 ;

(2)(m+n)(a+b)+(m+n)(x+y)=(m+n)(a+b+x+y);

222 (3)2m(m-n)=2m-2mn; (4)4x-4x+1=(2x-1);

(5)3a+6a=3a(a+2); (6)x?4?3x?(x?2)(x?2)?3x (7)x?1?x(1?221); (8)18a3bc=3a2b·6ac。 x

224.分解范围:在不同的范围内,分解的结果是不一样的。 如:x?4,在有理数范围里是:(x?2)(x?2)

在实数范围里是: (x?2)(x?2)(x?2)

三、探究新知:

21.分析例题:(1)x+x ;(2)am+bm+cm .

(1)中各项都有一个公共的因式x,

(2)中各项都有一个公共因式m,

2.因此,我们把每一项都含有的因式叫做:公因式。

3.认识公因式:

多项式 14mn?7mn?28mn的公因式是什么?(是7mn)

4.找出公因式:

(1)4a2b2?3ab2?8ab3c;(2)7(2x?3y)2?14(2x?3y)3?21(2x?3y)5; 32233224 25

(3)?12x?2xy?xz; (4)?10x3y2z3?35xy3z2?15x2yz. 2

五、小结:

给出一个多项式,会找出各项的公因式。

六、作业:

必做题: 选做题:

板书设计

教学反思:

26

课题:14.3.1提公因式法(2)

教学目标:因式公解的概念,和整式乘法的关系,公因式的相关概念,用提公因式法分解因式,

学会逆向思维,渗透化归的思想方法.

教学重点:1.因式公解;2.公因式;3.提公因式法分解因式。

教学难点:1.因式公解;2.公因式;3.提公因式法分解因式。

教学过程:

一、回顾旧知识:

1.因式分解:把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解,也叫把这个多项式分解因式。

2.公因式:我们把每一项都含有的因式叫做公因式。

二、学生动手,总结方法:

1.我们上节课已经学习了公因式,下面请大家根据自己的理解完成下列的因式分解。

323把8ab-12abc分解因式。

2.学生动手

3.分析过程:①先确定公因式:4ab; ②然后用每一项去除以公因式;

③结果:4ab2(2a2b?3bc)。

4.总结方法:以上①②③的分解过程的方法叫做提取公因式.

5.解答过程:

解:8ab-12abc=4ab?2a-4ab?3bc=4ab(2a?3bc)

三、加强练习:

1.因式分解:

3(1)2a(b+c)-3(b+c) (2)3x-6xy+x

32 (3)-4a+16a-18a (4)6(x-2)+x(2-x)

2.简便计算: 323222222

4641631.75?1?10.5?13-21.25?1-10?2 (1) 77727

11

(2)?25.6?13?24.4?0.2?13-13?40? 55

(3)23.1?24?46.2?7

42.1?3.14??3.14?0.7?3.14 (4)5

3.分解因式:

(1)3ax?ax?ax (2)?15xy?20xy?5xy

(3)?xy?xy?xy (4)5(x?2)?a(2?x) 2222243323

27

(5)(x?y)(x?y)?(?x?y) (6)(2a?3b)(7x?y)?(x?5y)(3b?2a)

(7)a(x?3)?b(3?x)?c(x?3)

n?2n3?34.求证:若n为正整数,则能被24整除。 32

四、小结:

灵活运用提公因式法解题。

五、作业:

必做题: 选做题:

板书设计

教学反思:

28

课题:14.3.2公式法(1)

教学目标:运用平方差公式和完全平方公式分解因式,能说出平方差公式和完全平方公式的特点,

会用提公因式法与公式法分解因式.培养学生的观察、联想能力,进一步了解换元的思想方法.并能说出提公因式在这类因式分解中的作用,能灵活应用提公因式法、公式法分解因式以及因式分解的标准。

教学重点:1.平方差公式;2.完全平方公式;3.灵活运用3种方法。

教学难点:1.平方差公式;2.完全平方公式;3.灵活运用3种方法。

教学过程:

一、提出问题,得到新知:

1.观察下列多项式:x?4和y?25,

问题:(1)它们有什么共同特点吗?(2)能否进行因式分解?你会想到什么公式?

2.总结:(1)它们有两项,且都是两个数的平方差;

(2)会联想到平方差公式。

公式逆向:a222?b2?(a?b)(a?b)

如果多项式是两数差的形式,并且这两个数又都可以写成平方的形式,那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式.

二、熟悉,运用公式:

1.填空:

42242b=( ) (3)0.16a=( ) 9

14442222 22 (4)1.21ab=( )(5)2x=( )(6)5xy=( )49 (1)4a=( ) (2)22

2.下列多项式能否用平方差公式进行因式分解:

(1)-1.21a?0.01b (2)4a?625b

(3)16x?49y (4)-4x?36y

3.因式分解:(1)4x?9; (2)(x?p)?(x?p);

(3)x?y ; (4)ab?ab .

三、巩固练习:

1.因式分解: (1)x?xy (2)

2224454222222222331292a?b 5202424(3)(2x?3y)?(3x?2y) (4)5ma?5mb

(5)3xy?3xy (6)a?4b?a?2b

(7) ax?ax?ax?a 32332

29

2.简便计算:(1)4292?1712 ; (2)5152?24?4852?24.

四、小结:

1.平方差公式:a2?b2?(a?b)(a?b)

2.适用范围:它们有两项,且都是两个数的平方差。

3.和提取公因式的综合:

(1)如果多项式各项含有公因式,则第一步是提出这个公因式.

(2)如果多项式各项没有公因式,则第一步考虑用公式分解因式.

(3)第一步分解因式以后,所含的多项式还可以继续分解,?则需要进一步分解因式.直

到每个多项式因式都不能分解为止.

五、作业:

必做题: 选做题:

板书设计

教学反思:

30

课题:14.3.2公式法(2)

教学目标:运用平方差公式和完全平方公式分解因式,能说出平方差公式和完全平方公式的特点,

会用提公因式法与公式法分解因式.培养学生的观察、联想能力,进一步了解换元的思想方法.并能说出提公因式在这类因式分解中的作用,能灵活应用提公因式法、公式法分解因式以及因式分解的标准。

教学重点:1.平方差公式;2.完全平方公式;3.灵活运用3种方法。

教学难点:1.平方差公式;2.完全平方公式;3.灵活运用3种方法。

教学过程:

一、回顾旧知识:

平方差因式分解:a2?b2?(a?b)(a?b)

二、提出问题,得到新知:

问题:根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法,?分析和推测运用完全平方公式分解

因式吗?能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点?

22 22 1.能否把下列各式分解因式?(1)a+2ab+b(2)a-2ab+b你会想到什么公式?

2.分析:整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式.同样道理,把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式.即:

a2?2ab?b2?(a?b)2

3.公式特点:多项式是一个二次三项式,其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数。

三、熟悉运用公式:

1.下列各式是不是完全平方式?

(1)a-4a+4 (2)x+4x+4y

22 2222 (3)4a+2ab+2212b 4(4)a-ab+b(5)x-6x-9 (6)a+a+0.25

2.分解因式:

222(1)16x+24x+9 (2)-x+4xy-4y

3.分解因式:

222 (1)3ax+6axy+3ay (2)(a+b)-12(a+b)+36

四、巩固练习:

因式分解:(1)2x?4x?2x (2)ma?4ma?4m

(3)9(2a?b)?6(2a?b)?1 (4)16y?40xy(a?b)?25x(a?b)

(5)2ax?8axy?8ay (6)a+2ab+b-a-b 224322222222

五、小结:

222a?2ab?b?(a?b)1.完全平方公式:

2.适用范围:它们有三项,首尾两项是两个数的平方,中间一项是这两个数积的二倍。 .

五、作业:

必做题: 31

选做题: 板书设计

教学反思:

补充练习:

因式分解:

1.(3a?2b)

3.?(a22?4c2 2.(a2?b2)2?4a2b2 ?b2)2?2(a2?b2)(a?b)2 4.20(x?y)?x?y

5.2m(a?b)?a?b 6.x?

7.x3y?xy?1 ?y3?x2y?xy2 8.4x2?3y?3xy?4x

因式分解的应用:

1.若4x2?kx?49y2可以分解成完全平方的形式,则k=?

2.已知在三角形ABC的三条边为a,b,c,且三边满足等式

形ABC的形状。

3.当x=?时,代数式a2?b2?c2?ab?bc?ac,判断三角x2?2x?3有最小值为多少?

x2?2x?5恒大于零. 4.设x为任意有理数,求证:

5.已知在三角形ABC的三条边为a,b,c,且三边满足等式

a2?b2?c2?338?10a?24b?26c,判断三角形ABC的形状。

222a,b,ca-b-c-2bc 的符号。 6.已知在三角形ABC的三条边为,试判断

7.比较大小:(1)x3?1和 x2?x ; (2)x5?y5 和x4y?xy4.

32

课题:因式分解的复习

教学目标:掌握运用提公因式法、公式法分解因式,培养学生应用因式分解解决问题的能力.经

历探索因式分解方法的过程,培养学生研讨问题的方法,通过猜测、推理、验证、归纳等步骤,得出因式分解的方法.

教学重点:用提公因式法和公式法分解因式.

教学难点:用提公因式法和公式法分解因式.

教学过程:

一、引入:

在整式的变形中,有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式,这种变形就是因式分解.什么叫因式分解?

二、知识详解:

1.知识点1:因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.

【说明】(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.例如:

(2)因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.怎样把一个多项式分解因式?

2.知识点2 :提公因式法

多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商,像这种分解因式的方法

22叫做提公因式法.例如:x-x=x(x-1),8ab-4ab+2a=2a(4ab-2b+1).

3.探究交流:下列变形是否是因式分解?为什么?

2222(1)3xy-xy+y=y(3x-x); (2)x-2x+3=(x-1)+2;

22n2n+2n+1n(3)xy+2xy-1=(xy+1)(xy-1); (4)x(x-x+1)=x-x+x.

4.典例剖析,师生互动:

用提公因式法将下列各式因式分解.

34(1) -xz+xy; (2) 3x(a-b)+2y(b-a). 小结:运用提公因式法分解因式时,要注意下列问题:

(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并,而且每个括号内不能再分解.(2)如果出现像(2)小题需统一时,首先统一,尽可能使统一的个数少。这时 注意到

nn(a-b)=(b-a)(n为偶数).(3)因式分解最后如果有同底数幂,要写成幂的形式.

5.学生做一做: 把下列各式分解因式.

32(1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b) ;(2) 4p(1-q)+2(q-1)

6.知识点3:公式法

22(1)平方差公式:a-b=(a+b)(a-b).即两个数的平方差,等于这两个数的和与这个数的差

222的积.例如:4x-9=(2x)-3=(2x+3)(2x-3).

22222(2)完全平方公式:a±2ab+b=(a±b).其中,a±2ab+b叫做完全平方式.即两个数的平

方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.例如:222224x-12xy+9y=(2x)-2·2x·3y+(3y)=(2x-3y).

7.探究交流:

下列变形是否正确?为什么?

2222222

(1)x-3y=(x+3y)(x-3y);(2)4x-6xy+9y=(2x-3y);(3)x-2x-1=(x-1).

33

把下列各式分解因式.(1) (a+b)-4a;(2)1-10x+25x;(3)(m+n)-6(m+n)+9.

2222把下列各式分解因式.(1)(x+4)-2(x+4)+1;(2)(x+y)-4(x+y-1).

32228.综合运用:分解因式.(1)x-2x+x; (2) x(x-y)+y(y-x) 小结:解因式分解题时,首先考虑是否有公因式,如果有,先提公因式;如果没有公因

式是两项,则考虑能否用平方差公式分解因式. 是三项式考虑用完全平方式,最

后,直到每一个因式都不能再分解为止.

9.探索与创新题:

22 若9x+kxy+36y是完全平方式,则k= .

210.学生做一做: 若x+(k+3)x+9是完全平方式,则k= .

三、自我评价,知识巩固:

21.若x+2(m-3)x+16是完全平方式,则m的值等于( )

A.3 B.-5 C.7. D.7或-1

n22.若(2x)-81=(4x+9)(2x+3)(2x-3),则n的值是( ) A.2 B.4 C.6 D.8

223.分解因式:4x-9y= .

32234.已知x-y=1,xy=2,求xy-2xy+xy的值.

225.把多项式1-x+2xy-y分解因式。

42426.分解因式(x+x-4)(x+x+3)+10.

四、作业:

必做题: 选做题: 板书设计

教学反思:

2222

34

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