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二元一次方程组的应用

发布时间:2013-11-28 09:25:36  

二元一次方程 组的应用 xxyy

一、行程问题
基本数量关系

路程=时间×速度 速度=路程/时间 路程=时间×速度之和 路程=时间×速度之差

时间=路程/速度 同时相向而行 同时同向而行

船在顺水中的速度=船在静水中的速度+水流的速度 船在逆水中的速度=船在静水中的速度-水流的速度

V1
A

V2 S
B

S=T(

V1

+

V2



同时同地同向在同一跑道进行比赛

A

B

当男生第一次赶上女生时

男生跑的路程-女生跑的路程=跑道的周长

同时异地追及问题 乙的路程-甲的路程=甲乙之间的距离

T(

V 乙

- V甲 )=s

t
乙 甲

S

例1.某站有甲、乙两辆汽车, 若甲车先出发1h后乙车出发, 则乙车出发后5h追上甲车; 若甲车先开出30km后乙车出 发,则乙车出发4h后乙车所 走的路程比甲车所走路程多10 km.求两车速度.

解:设甲乙两车的速度分别为

x Km/h、y Km/h 根据题意,得 5y=6x 解之得 X=50 Y=6o 4y=4x+40 答:甲乙两车的速度分别为 50km、60km 5y

若甲车先出发1h后 乙车出发,则乙车 出发后5h追上甲车
若甲车先开出30km后乙 车出发,则乙车出发4h 后乙车所走的路程比甲车 所走路程多10km.

x
4y

5x

30km

4x

例2.一列快车长230米,一列慢 车长220米,若两车同向而行, 快车从追上慢车时开始到离开慢 车,需90秒钟;若两车相向而行, 快车从与慢车相遇时到离开慢车, 只需18秒钟,问快车和慢车的速 度各是多少?

解:设快车、慢车的速 度分别为xm/s、ym/s 根据题意,得
90(x-y)=450

快车长230米,慢车长220 米,若两车同向而行,快 车从追上慢车时开始到离 开慢车,需90秒钟




220m





450m

解:设快车、慢车的速 度分别为xm/s、ym/s 根据题意,得
90(x-y)=450 18(x+y)=450

若两车相向而行,快车 从与慢车相遇时到离开 慢车,只需18秒钟
X=15 Y=10

解之得

答:快车、慢车的速度分别为15m/s、10m/s
230m 甲 乙 220m

230m

甲 乙

220m

450m

18s

例3.甲、乙两人在周长为400m的 环形跑道上练跑,如果相向出发, 每隔2.5min相遇一次;如果同向出 发,每隔10min相遇一次,假定两人 速度不变,且甲快乙慢,求甲、乙 两人的速度.

解:设甲乙两人的速度分 别为xm/min、ym/min 根据题意,得
2.5(x+y)=400

甲、乙两人在周长为 400m的环形跑道上练 跑,如果相向出发,每 隔2.5min相遇一次

A

B

解:设甲乙两人的速度分 别为xm/min、ym/min 根据题意,得
2.5(x+y)=400 10(X-Y)=400
甲 乙

甲、乙两人在周长为400m的 环形跑道上练跑,如果同向出 发,每隔10min相遇一次

解之得

X=100 答:甲乙两人的速度分别 Y=60 为100m/min、60m/min

A

B

环形跑道追及问题等 同于异地追及问题
甲 乙

A

B

C

例4.已知A、

B两码头之间的距离为 240km,一艏船航行于A、B两码头之间, 顺流航行需4小时 ;逆流航行时需6小时, 求船在静水中的速度及水流的速度.

练习.一辆汽车从甲地驶往乙地,途中要过一桥。用 相同时间,若车速每小时60千米,就能越过桥2千米; 若车速每小时50千米,就差3千米才到桥。问甲地与 桥相距多远?用了多长时间?

船在逆水中的速度=船在

静水中的速度-水流的速度

水流方向

轮船航向

船在顺水中的速度=船在 静水中的速度+水流的速度

水流方向

轮船航向

例5.已知A、B两码头之间的距离为240km,一艏 船航行于A、B两码头之间,顺流航行需4小时 ;逆 流航行时需6小时, 求船在静水中的速度及水流 的速度.
解:设船在静水中的速度及水流的速度 分别为xkm/h、ykm/h,根据题意,得 4(x+y)=240 6(x-y)=240 解之得 X=50 Y=10

答:船在静水中的速度及水流的速度 分别为50km/h、10km/h

二、工程问题

工作量=工作时间×工作效率 工作时间=工作量/工作效率 工作效率=工作量/工作时间、

例1.某工人原计划在限定时间内加工一批 零件.如果每小时加工10个零件,就可以超 额完成3 个;如果每小时加工11个零件就可 以提前1h完成.问这批零件有多少个?按原 计划需多少小时 完成?
解:设这批零件有x个,按原计 划需y小时完成,根据题意,得
10y=x+3

解之得

X=77 Y=8

11(y-1)=x

答:这批零件有77个,按计划需8 小时完成

例2.甲乙两家服装厂生产同一规格的上衣和裤 子,甲厂每月(按30天计算)用16天生产上衣,14 天做裤子,共生产448套衣服(每套上、下衣各 一件);乙厂每月用12天生产上衣,18天生产 裤子,共生产720套衣服,两厂合并后,每月 按现有能力最多能生产多少套衣服?
填写下表
工厂 上衣(裤子) 生产天数 生产套数 甲 上衣 裤子 乙 上衣 裤子

16 448

14

12

18

720

工厂
上衣(裤子) 生产天数 生产套数


上衣 16 裤子


上衣 裤子

14 448

12

18

720

解:设该厂用x天生产上衣,y天生产裤 子,则共生产(448/16+720/12)x套衣服, 由题意得
X+y=30 (448/16+720/12)x=(448/14+720/18)y 解之得
X=13.5 Y=16.5

所以88x=88· 13.5=1188

三、商品经济问题

本息和=本金+利息
利息=本金×年利率×期 数×利息税

利息所得税=利息金额×20℅

例1李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元,一年 后全部取出,扣除利息所得税后可得利息43.92元,已 知这两种储蓄的年利率的和为3.24℅,问这两种储蓄 的年利率各是几分之几?(注:公民应交利息所得税= 利息金额×20℅)

解:设这两种储蓄的年利率 分别是x、y,根据题意得
x=2.25% 解之得 y=0.99% 2000x80%+1000y80%=43.92
x+y=3. 24%

答:这两种储蓄的年利蓄分别为2.25%、0.09%

例2。

某超市在“五一”期间寻顾客实行优惠,规定 如下:
一次性购物 优惠方法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠 500元或大于500元 其中500元部分给予九折优惠, 超过500部分给予八折优惠

(1)王老师一次购物600元,他实际付款 530



(2)若顾客在该超市一次性购物 x元,当小于500元 0.9x 但不小于200元时,他实际付款 元; 当x大于或等于500元时,他实际付款 0.8x+50 元 (用的代数式表示)

一次性购物 优惠方法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠 500元或等于500元 其中500元部分给予九折优惠, 超过500部分给予八折优惠

(3)如果王老师两次购物合计820元,他实际付款 共计728元,且第一次购物的货款少于第二次购物 的,求两次购物各多少元? 解:设第一次购物的货款为x元,第二次购物的 货款为y元 x=110 x+y=820 ①当x<200,则,y≥500, 解得 Y=710 由题意得 x+0.8y+50=728

一次性购物
少于200元 低于500元但不低于200元 500元或大于500元

优惠方法
不予优惠 九折优惠 其中500元部分给予九折优惠,超过 500部分给予八折优惠

(3)如果王老师两次购物 合计820元,他实际付款共计 728元,且第一次购物的货款少于第二次购物的,求两次购 物各多少元? x+y=820 X=220 ②当x小于500元但不小于

200元时,y ≥ 500,由题意得

解得

0.9x+0.8y+50=728 x+y=820

Y=600

③当均小于500元但不小 于200元时,且,由题意 得

此方程组无解.

0.9x+0.9y=728

综上所述,两次购物的分别为 110元、710元或220元、600元

(一)配套与人员分配问题
例1.某车间22名工人生产螺钉与螺母,每人每天平均 生产螺钉1200个或螺母2000个,一个螺钉要配两个螺 母,为了使每天生产的产品刚好配套,应该分配多少 名工人生产螺钉,多少名工人生产螺母? 螺钉数:螺母数=1:2 一个螺钉配两个螺母
解:设分配名x工人生产螺钉,y名工人生产螺母,则一天 生产的螺钉数为1200x个,生产的螺母数为2000y个. 根据题意, 得
x+y =22 2×1200x=2000y

四、配套问题

解得

x=10 Y =12

所以为了使每天生产的产品刚好配套,应安排 10人生产螺钉,12人生产螺母

例2.某工地需雪派48人去挖土和运土,如果 每人每天平均挖土5方或运土3方,那么应该 怎样安排人员,正好能使挖的土能及时运走?
每天挖的土等于每天运的土

解:设安排x人挖土 ,y人动土, 则一天挖土5x ,一 天动土3y方
根据题意,得

x+y=48 5x=3y

解得 X=18
Y=30

所以每天安排18人挖土,30 人运土 正好能使挖的土及时运走

五、配套与物质分配问题

例1.用白钢铁皮做头,每张铁皮可做盒身25 个,或做盒底40个,一个盒身与两个盒 底 配成一套,现有36张白铁皮,用多少张做 盒 身,多少张

做盒 底,可使盒 身与盒 底 正好配套?
解:设用x张白铁皮做盒身,用y张制盒底, 则共制盒身25x个,共制盒底40y个. 根据题意 ,得
x+y=36 2×25x=40y

解得

X=16 Y=20

所以用16张制盒 身,20张制盒 底 正好使盒身与盒底配套

例2.一张方桌由1 个桌面、4条桌腿组成, 如果1立方米木料可以做方桌的桌面50个, 或桌腿300条,现有5立方米的木料,那么 用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料 做桌腿,做出的桌面和桌腿恰好配成方桌? 能配成 多少方桌?
解:设用x立方米做桌面,y立方米做桌腿,则可以做 桌面50x个,做桌腿300y条 根据题意 ,得 x+y=5 4×50x=300y 解得 X=3 Y=2

所以用3立方米做桌面 ,2立方米做桌腿, 恰能配成方桌,共可做成150张方桌。

例3.某车间每天能生产甲种零件120个,或者乙种 零件100个,或者丙种零件200个,甲,乙,丙3 种零件分别取3个,2个,1个,才能配一套,要 在30天内生产最多的成套产品,问甲,乙,丙3 种零件各应生产多少天?
解 : 设甲种零件生产 x 天 , 乙种生产 y 天 , 丙种生产 z 天 . ? x ? y ? z ? 30 根据题意 得 ? ?120 x : 100 y : 200 z ? 3 : 2 : 1 ? x ? y ? z ? 30 ? 化简 得 ? x ? 5z ? y ? 4z ? ? x ? 15 ? 解之得 ? y ? 12 ?z ? 3 ?

答 : 甲 , 乙 , 丙 3 种零件各应生产 15 天 , 12 天 , 3 天 .

六、比例问题

例1.现有甲乙两种金属的合金10kg,如果加入甲 种金属若干千克,那么这块金属中乙种金属占2份, 甲种金属占3份;如果加入的甲的金属增加1倍,那 么合金中乙种金属占3份,甲种金属占7份,问第一 次加入的甲种金属有多少?原来这块合金种含甲 种金属的百分比是多少 ?
解:设原来这块合金中含甲金属xkg,这块合金中含乙种 金属(10-x)kg,第一次加入的甲种金属ykg.根据题意,得 x+y=3/5(10+y) x+2y=7/10(10+2y) 解得 x=4 y=5

所以第一次加入 的金属5kg,原来这块合金 中含种甲金属40%

甲对乙说:“当我的岁数是你现在的岁数时,你 才4岁.”乙对甲说:“当我的岁数是你现在的岁 数时,你将61岁.”问甲、乙现在各多少岁?
现在年龄 将来年龄 甲比乙大的岁数

甲 乙

X

y

X+(x-y) Y-(x-y)

61 4

x-y

解:设甲、乙现在的年龄分 从问题情境可以知知道甲 别是x、y岁根据题意,得 的年龄大于乙的年龄 y-(x- y)=4 x=42 解得 X+(x-y)=61 y=23 答:甲、乙现在的年龄分别是42、23岁

2。中考链接
随着我国人口增长速度的减慢,初中入学学 生数量每年按逐渐减少的趋势发展。某区2003 年和2004年初中入学学生人数之比是8:7,且 2003年入学人数的2倍比2004年入学人数的3倍 少1500人,某人估计2005年入学学生人数将超 过2300人,请你通过计算,判断他的估计是否 符合当前

的变化趋势。

探究1
养牛场原有30只母牛和15只小牛,1天约需用饲料675 kg;一周后又购进12支母牛和5只小牛,这时一天约需用 饲料940kg。饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需饲 料18-20kg,每只小牛1天约需饲料7-8kg, 你能否通过计算检验他的估计?
解:设: 平均每只母牛1天约需饲料xkg,每只小牛1天约需饲料ykg, (相等关系) 30只母牛和15只小牛,1天约需用饲料675kg 42只母牛和20只小牛,1天约需用饲料940kg 列

解得:

?30 x ? 15 y ? 675 ? ?42 x ? 20 y ? 940 ? x ? 20 ? ?y ? 5

平均每只母牛1天约需饲料20kg,每只小牛1天约需饲料5kg, 答:
李大叔对母牛的估计较准确,对小牛的估计偏高。

探究二
据以往统计资料,甲,乙两种作物的单位面积产量的比是 1:1.5,现要在一块长200m,宽100m的长方形土地上 种植这两种作物,怎样把这块地分为两个长方形,使甲, 乙两种作物的总产量的比是3:4(结果取整数)?

3。开放性问题
联想集团有A型、B型、C型三种型号的电 脑,其价格分别为A型每台6000元,B型每台 4000元,C型每台2500元,我市某中学计划将 100500元钱全部用于购进其中两种不同型号 的电脑共36台,请你设计出几种不同的购买方 案,并说明理由。
反思:未知数不只两个,为了解决问题方便,所以 设三个未知数以帮助解决问题,把问题割裂开来看, 仍属于二元一次方程组,在一个问题里面设三个未 知数,这本身就是一种创造性思维。

例4、用一些长短相同的小木棍按图所式,连续摆正方
形或六边形要求每两个相邻的图形只有一条公共边。已 知摆放的正方形比六边形多4个,并且一共用了110个小 木棍,问连续摆放了正方形和六边形各多少个?

… …
图形 正方形 六边形 关系 连续摆放的个数 (单位:个) x y 正反方形比六边形多 4 个 使用小木棒的根数 (单位: 根) 4+3(x-1)=3x+1 6+5(y-1)=5y+1 共用了 110 根小木棍

1.一个两位数的十位数字与个位数字的和 是7,如果这个两位数加上45,则恰好成 为个位数字与十位数字对调后组成的两位 数,求这个两位数。

一辆汽车从甲地驶往乙地,途中要过一桥。用 相同时间,若车速每小时60千米,就能越过桥 2千米;若车速每小时50千米,就差3千米才到 桥。问甲地与桥相距多远?用了多长时间?


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