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初中相似三角形教案

发布时间:2013-11-28 09:25:41  

§22.1二次函数

一、教学目标:知识技能:1、理解并掌握二次函数的表达式定义

2、能够运用二次函数解实际问题

数学思考:通过探究实际问题,根据自己的观察,类比推理总结出一般形式,积累数学活动经验,感受思维过程的条理性。体会数学的唯美。

解决问题:能够利用二次函数解决有关问题。

情感态度:通过对新定义事物的探索,提高学生学习数学的热情,增强学生的探究意识,发现新事物的能力。

二、教学重难点:重点:理解并掌握二次函数的定义;

难点:运用二次函数解决实际的相关问题。

三、教学方法:探究法。

四、教学工具:多媒体课件。

五、教学过程设计:

一、课前知识准备:1、有关二次方程的相关知识;

2、函数的定义。

二、复习引入:

1、⑴二次方程的定义

⑵复习前学习函数的定义。

2、引入问题:一玩具厂,有装配工15人,规定每人每天装配玩具190个,但如果每增加一人,那么,每人每天可少装配10个,问增加多少人可使装配总数最多?最多是多少个? 分析可列:y=(190?10x)(15?x)=?x?40x?2850

归纳总结:在这个问题中,函数关系是用自变量的二次式表达的。 一般地,形如y?ax?bx?c(a?0,b,c为常数)的函数叫做二次函数。 注意实际问题中的x的取值范围。

三、应用迁移:P4练习1、2自主完成。

四、回顾总结:反思:(一)小结:二次函数的定义

思想总结:探究法。

(二)反思:本节课的效果。

五、布置作业P4-5,1、2、3、4

六、板书设计: 22

§22.1二次函数

一、定义

二、小结

三、作业

所使用教材义务教育课程标准实验教科书数学九年级(上册)《新时代数学》编写组编上海科学技术出版社第二十三章第2节内容。

23.2相似三角形的判定

(一)本节内容的整体分析:本节计划使用课时6课时,第一课时:三角形相似判定的预备定理,第二课时:三角形相似的判定定理1,第三课时:三角形相似的判定定理2,第四课时:三角形相似的判定定理3,第五课时:两直角三角形相似的判定定理,第六课时:本节内容的整体复习回顾课后习题讲解。

(二)教学目标:(1)知识与技能:进一步深化对相似三角形的判定方法的理解,并能够运用相似三角形的判定方法解决相似三角形的有关问题。

(2)情感态度与价值观:在探索活动中培养学生用科学的态度去探求未知世界的理念,激发学生学习数学的热情。

(3)过程与方法:通过让学生自主探究,动手操作来培养学生的动手能力和逻辑推理能力,通过类比的方法让学生自主探索出三角形相似的判定定理。

(三)教学重难点:教学重点:三角形相似的判定定理

教学难点:如何引导学生发现三角形相似的判定定理的过程

(四)学情分析:学生在学习本节以前已知学过相似形,比例线段的相关知识,学生对相似形有了初步了解,学生在八年级时已经学过三角形全等的判定定理,对于三角形全等已经有了很深的认识以及熟练的掌握了三角形全等的判定定理,通过本大节的学习课培养学生猜想类比推理等能力,对掌握分析比较转化等思想有重要作用。

(五)教学过程设计:

本节内容分为6课时进行讲解,故在实际的教学中分为六课时进行讲授(其中5节新课,1节复习课)。

第1课时:三角形相似判定的预备定理

(一)教学目标:(1)知识技能:理解并掌握三角形相似判定的预备定理,并能够运用相似三角形判定的预备定理解决相似三角形的有关问题。

(2)情感态度与价值观:在探索中培养学生用科学的态度去探求未知世界的理念,激发学生学习数学的热情。

(3)过程与方法:自主探究,老师引导利用类比推理的方法得出三角形相似判定的预备定理。

(二)教学重难点:教学重点:相似三角形判定的预备定理

教学难点:得出相似三角形判定的预备定理的过程。

(三)教学媒体:多媒体课件,直尺,三角板

四、教学过程设计

一、课前知识准备

1、全等三角形的基础知识

2、形似多边形的定义及性质

3、比例线段的性质

4、三角形中位线定理及其证明方法

5、平行四边形的判定及性质

二、复习引入

(一)回顾1、相似图形的概念及其性质2、什么叫相似多边形(三角形)

(二)引入:如图23--15两个三角形相似

BC

图23-15

C'

记作“?ABC∽?A'B'C',读作?ABC相似于?A'B'C'”

注意:两个三角形相似,用字母表示时,与全等一样应把对应顶点的字母写在对应位置上,这样便于找出三角形的对应角与对应边。

对于?ABC∽?A'B'C';根据相似形的定义,应有?A??A',?B??B',?C??C',ABBCAC?? A'B'B'C'A'C'

问题若将?ABC与?A'B'C'相似比记为k1,?A'B'C'与?ABC的相似比记为k2,那么k1与k2有什么关系?k1?k2能成立吗?(思考,找同学回答)

三探究交流

23-16(1)

B123-16(2)

(一)【探究】1、在?ABC中,D为AB的重点,如图23—16(1),过D点做DB∥BC

?ADE是否与?ABC交AC于E,那么?ADE与?ABC相似吗?若D为AB的三等分点时,

相似?

(1)当D是?ABC的中点时,由DE∥BC,“角”?BAC??DAE,?ADE??B,?AED??C。

(2)“边”由DE是?ABC的中位线则ADAEDE1???,??ADE∽?ABC ABACBC2

思考:能否利用全等三角形和平行四边形知识证明(教师作引导,由学生证明)

若D为AB的三等分点,则由题意证明?ADE∽?ABC如图所示23--16(2)作DB的边中点D1,过D1作D1E1∥BC交AC于E1,由D是AB的三等分点,则D1也为?ABC的三等分点

由(1)知?ADE∽?AD1E1下面只要证明?AD关键是证对应边的比相1E1与?ABC相似,

等,过点D,D1分别作AC的平行线,交BC于点F,F1,设DF与D1E1交于点G,如图所示,则?ADE??DD1G??D1BF(ASA)且四边形DEE1G,D1GFF1,GE1CF1,DECF为平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)。

?DE?D1G?BF?F1F?FC

?AE?EE1?E1C

AD1AE1D1E12???ABACBC3

??AD1E1∽?ABC?

??ADE∽?AD1E1∽?ABC

思考能否用较为简便的方法证明上述过程(教师作以引导,学生自己动手证明)

(二)归纳,猜想

(1)猜想:由以上探究的过程可以猜测:当D为AB上任一点时,如图23--17,过D点作DE∥BC交AC于点E,都有?ADE与?ABC相似。

B

图23-17

此种情况类比以上的探究过程,书本上的证明过程,学生自主证明。 (2)归纳平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似。

(三)应用迁移:课本72页的练习(由学生自己做)。

如图,点D在?ABC的边AB上,DE∥BC交AC于点E,DF∥AC交BC于点F,判断下列比例式是否成立。

(1)ADAEADDEAEDEDFBF?,(2)?,(3)?,(4)?. DBECDBDFECBCACBC

四、回顾总结反思

(一)小结,内容总结:三角形相似判定的预备定理的探究过程及内容

思想归纳:得出三角形相似判定的预备定理所使用的数学思想类比推理

(二)反思:本节课学习的内容。

五、布置作业,72页练习

六、板书设计:

§23.2相似三角形的判定(一)

一、相似三角形,记号,读法,注意

二、探究在?ABC中D为AB的中点,为三等分点时?ADE是否与?ABC相似。 猜想

总结定理

三、小结

四、作业

教案(二)

§23.2相似三角形的判定(二)

(一)教学目标:知识与技能:(1)理解相似三角形判定定理1的内容与方法。

(2)掌握相似三角形判定定理1并能运用解决相关问题。

情感与态度:(1)通过实物演示和电化教学手段,把抽象问题直观化,激发学生的求知欲。

(2)通过主动探究,合作交流,在学习活动中体验获得成功的喜悦。

过程与方法:(1)通过探究全等三角形的判定定理,根据相似三角形判定的预备定理培养学生独立思考问题的能力,渗透类比转化的数学思想方法。

(2)利用相似三角形的判定定理1进行有关判断及计算,训练学生的灵活运用呢你,提高表达能力和逻辑推理能力。

(二)教学重点、难点:重点:理解相似三角形判定定理Ι

难点:掌握并运用相似三角形判定定理Ι进行相关题目的解决。

(三)教学方法:类比推理法

(四)教学媒体:多媒体课件

(五)教学过程设计

一、课前知识准备

1、全等三角形的基础知识

2、相似三角形判定定理

3、比例线段的性质

二、复习引入

(1)复习:1、全等三角形的判定定理

2、相似三角形判定的预备定理

(2)引入:这样的条件才能判定两个三角形相似,根据定义判定两个三角形相似,必须证明对应角想等,对应边成比例,那么能不能像判定三角形全等一样用较少的条件就能判定三角形相似呢?

探究,交流:在全等三角形判定定理中有一条是“角边角”的判定定理,能否类比此条件就行三角形相似的判定。

问题:如图23--18,在?ABC和?A'B'C'中,?A??A',?B??B',求证:

?ABC∽?A'B'C'

B图23-18

C'

证明:在?ABC的边AB(或延长线)上截取AD?A'B',过点D作DE∥BC,交AC于点E,则:?ADE∽?ABC

??ADE??B,?B??B'

??ADE??B'

??A??A',AD?A'B'

又??ADE≌?A'B'C'(ASA)

??A'B'C'∽?ABC

归纳:定理1,如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似(可以简单说成:两角对应相等的两个三角形相似)。

三、应用迁移:课本73页第1小题

已知:在?ABC中,AB?AC,在?A'B'C'中A'B'?A'C'。

(1)如果?A??A',求证:?ABC∽?A'B'C'。

(2)如果?B??B',求证:?ABC∽?A'B'C'。

四、整理反思:

(一)小结:内容总结:相似三角形判定定理1

思想归纳:类比推理的数学思想

(二)反思:如何利用判定定理1解决实际问题

五、布置作业73页练习2,3

六、板书设计:

§23.2相似三角形的判定(二)

一、回顾

二、定理Ι

三、小结,作业

教案三

相似三角形的判定定理(二)

(一)教学目标:知识与技能(1)理解相似三角形判定定理2的内容与方法

(2)掌握相似三角形判定定理2并能运用其解决相关问题

情感与态度(1)通过实物演示和电化教学手段把抽象问题直观化,激发学生的求知

(2)通过合作探究,体会数学的直观美。

过程与方法(1)通过回顾全等三角形的判定定理结合相似三角形判定的预备定理运用类比猜想的方法

(2)利用相似三角形的判定定理二进行相关的运用,解决相关问题,训练学生的灵活运用能力,提高表达能力和逻辑推理能力。

(二)教学重难点:重点:理解相似三角形判定定理二

难点:掌握并运用相似三角形判定定理二解决相关问题。

(三)教学方法:类比推理猜想法

(四)教学媒体:多媒体课件

(五)教学过程设计

一、课前知识准备:

1、全等三角形的基础知识

2、学过的相似三角形判定定理

3、相似三角形相似判定定理得出方法

二、复习引入

(1)复习:1、全等三角形的判定定理

2、相似三角形判定的预备定理及判定Ι

(2)引入:回顾相似三角形的判定定理1得出的过程,类比三角形全等的判定定理那么能否像判定三角形全等一样,用其它条件来判定三角形相似呢?

探究,交流:在全等三角形判定定理中有一条是“边角边”的判定定理,能否类比此条件判定三角形相似呢?

类比猜想定理2,如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(可简单说成:两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似)

证明:已知:如图23--19,在?ABC和?A'B'C'中,ABAC?,?A??A',求证:A'B'A'C'

?ABC∽?A'B'C'。

BB'

图23-19

C'

证明:在?ABC的边AB(或延长线)上,截取AD?A'B',过点D作DE∥BC交AC于点E,则?ADE∽?ABC,

?ABAC?,AD?A'B'ADAE

ABAC??A'B'AE

ABAC又??, A'B'A'C'

ACAC??A'C'AE

?A'C'?AE

又因为在?ADE和?A'B'C'中?A??A',??ADE??A'B'C',即?ABC∽?A'B'C'。 总结概括判定相似三角形的判定定理3

(三)应用迁移,P74--P75练习

(四)回顾总结反思(一)小结,内容总结,相似三角形判定定理2的探索过程及内容 思想总结,类比推理

(二)反思学生学的过程

(五)布置作业:P74--P75练习

六板书设计

§23.2相似三角形的判定(二)

一、相似三角形的判定定理

二、小结

三、作业

§23.2相似三角形的判定定理(三)

(一)教学目标:知识与技能(1)理解相似三角形判定定理3的内容与方法

(2)掌握相似三角形判定定理3并能运用其解决相关问题

情感与态度:(1)通过实物演示和电化教学手段,把抽象问题直观化,激发学生的求知欲

(2)通过合作探究,体会数学的直观美

过程与方法:(1)通过回顾前三节讲过的内容,利用类比推理的方法让学生自主探究相似三角形判定定理3.

(2)利用相似三角形的判定定理三进行相关的运用,解决相关问题,训练学生的灵活运用能力,提高表达能力和逻辑推理能力。

(二)教学重难点:重点:理解相似三角形判定定理3

难点:掌握并运用相似三角形判定定理3解决相关问题

(三)教学方法:类推,才想法。

(四)教学工具:多媒体。

(五)教学过程设计

一、课前知识准备

1、前三节学过的相似三角形的判定定理

2、类比推理的方法

二、复习引入

(1)复习全等三角形判定的定理

2、前三节学过相似三角形的判定定理

(2)引入:回顾相似三角形判定定理1,判定定理2的得出过程,类比三角形全等的判定定理,那么能否像判定三角形全等一样,利用对应三边的关系来判定两三角形相似?

探究交流:在全等三角形判定定理中有一条是“边边边”的判定定理,能否类比此条判定三角形相似?类比猜想定理3,如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应关系成比例,那么这两个三角形相似(可简单的说成:三边对应成比例的两个三角形相似)。 请同学们仿照定理1和定理2给出证明。

(三)应用迁移:P75页例1,练习2,3学生自主完成

(四)回顾总结反思:(一)小结:内容总结:相似三角形的判定定理3的探索过程及内容。思想总结,类比的思想方法

(二)反思:本课时学生学到的东西

五布置作业:P77--1,3两题

板书设计:

§23.2相似三角形的判定(三)

一、相似三角形的判定定理

二、小结

三、作业

§23.2相似直角三角形的判定

(一)教学目标:知识与技能:(1)理解相似三角形判定定理的内容和方法

(2)掌握相似直角三角形判定定理并能运用其解决相关问题

情感与态度:(1)通过电化教学手段:把抽象问题直观化,激发学生的学习兴趣

(2)通过合作探究,体会数学的直观美。

过程与方法:(1)通过回顾前几节学过的内容,利用类比推理的方法让学生他牛相似直角三角形的判定定理

(2)利用直角三角形的判定定理进行相关的运算,解决相关问题,提高学生的灵活运用能力,提高表达嫩里和逻辑推理能力。

(二)教学重难点:重点:理解相似直角三角形的判定定理

难点:掌握并会运用相似直角三角形的判定定理解决相关问题。

(三)教学方法:类比,推理法

(四)教学工具:多媒体课件

(五)教学过程设计:

一、课前知识准备:

1、回顾全等直角三角形的判定定理

2、前几节学过的相似三角形的判定定理

二复习引入

(一)(1)复习全等直角三角形的判定定理

(2)前几节课所使用的方法

(二)引入:判定两个直角三角形全等时,除根据一般三角形全等判定定理外,还有“HL”方法,类似地,判定两个直角三角形相似,除了上面一般三角形的三个判定定理外,是否也有特殊方法呢?

?探究,交流,例4,如图23--22,在Rt?ABC和Rt?A'B'C'中,?C??C'?90,

ABAC?,判断Rt?ABC与Rt?A'B'C'是否相似?为什么? A'B'A'C'

解:设

由 图23-22

ABAC??k,则AB?kA'B',AC?kA'C' A'B'A'C'

BC?AB2?AC2?k2A'B'2?k2A'C'2

?kA'B'2?A'C'2

?kB'C'

ABACBC????kA'B'A'C'B'C'

??ABC∽?A'B'C'

归纳:猜想上述过程可作为判定两直角三角形相似的依据

总结:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。

(三)应用迁移:课本78页练习1,2,3,有学生自主完成

四、回顾,总结,反思

(一)小结,内容总结,直角三角形判定的定理的探索过程及内容

思想归纳:类比全等三角形判定的定理得出相似直角三角形的判定定理

(二)反思:本节课所学的内容

五、布置作业:P78页练习

六、板书设计:

§23.2相似三角形的判定(四)

一、相似直角三角形的判定定理

二、小结

三、作业

§23.3相似三角形的性质

一、教学目标:知识技能:1、理解并掌握相似三角形边的性质,周长,面积的性质

2、能够运用相似三角形对应边的性质,周长和面积的性质解决相关问题

数学思考1、通过操作,观察,猜想类比,证明等教学活动,积累数学活动经验,感受数学思维过程的条理性,进一步提高学生的数学思维能力和推理论证能力。

解决问题:能够利用相似三角形的周长与面积的性质解决有关问题。

情感态度:通过对性质的发现和论证的过程,感受数学活动充满着探索过程,以及数学结论具有确定形,提高学生的学习热情,增强学生的探究意识

(二)教学重难点:重点:理解并运用相似三角形对应边,周长和面积的性质 难点:运用相似三角形的相关性质解决相关问题。

本节课时安排:分两课时进行讲解:第一课时:相似三角形对应边的性质

第二课时:相似三角形周长和面积的性质

教学过程:

第一课时 相似三角形的性质(一)

(三)教学方法:类比推理,猜想归纳法

(四)教学工具:多媒体课件

(五)教学过程设计:

一、课前知识准备

(1)相似三角形相关知识

(2)三角形中位线,高线,等其它相关知识

二、复习,引入

1、(1)复习相似三角形的判定定理

(2)复习什么是三角形的中线,高线等

2、引入:我们知道,两个相似三角形,它们的对顶角相等,对应边成比例,除此之外,两个相似三角形还有哪些性质呢?

猜想:定理1,相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 证明:我们以对应边上的高为例,证明如下:

已知:如图23--24,?ABC∽?A'B'C',它们的相似比为k,AD,A'D'是对应高。 求证:ADAB??k A'D'A'B'

B图23-24

证明:

??ABC∽?A'B'C'

??B??B'

又??BDA??B'D'A'

?Rt?ABD∽Rt?A'B'D'

ADAB???kA'D'A'B'

利用类比推理的方法可验证上述定理的正确性,对于对应中线与对应角平分线由学生自己动手证明。

三、应用迁移:P82,练习1,2自主完成。

四、回顾总结,反思(一)小结:相似三角形的性质(一)

思想总结:探究法

(二)反思:本节课的内容

五、布置作业,P82练习2

六、板书设计:

§23.3相似三角形的性质

一、定理1

二、小结

三、作业

相似三角形的性质(二)

(三)教学方法:类比推理,猜想归纳法。

(四)教学工具:多媒体课件,尺规等相关教具。

(五)教学过程设计:

一、课前知识准备

1(1)相似三角形的判定定理。

(2)三角形周长、面积的相关计算公式。

二、复习引入

复习1、相似三角形的判定定理

2、三角形周长、面积的相关计算公式

引入:思考:相似三角形周长的比和面积的比分别于相似比有什么关系? 我们知道?ABC∽?A'B'C',且它们的相似比为k. 那么,ABBCCA???k,由等比性质,得: A'B'B'C'C'A'

AB?BC?CA?k A'B'?B'C'?C'A'

归纳总结:定理2,相似三角形周长的比等于相似比。

如果?ABC∽?A'B'C',它们的相似比为k,AD,A'D'是对应高,根据三角形面积计算公式及定理1,得:

S?ABC

S?A'B'C'1BC?ADBCAD????k2 B'C'?A'D'B'C'A'D'

2

归纳总结:定理3,相似三角形面积的比等于相似比的平方。

(三)应用迁移:P84--二1,2,3,4自主完成。

(四)回顾总结反思:(一)小结:相似三角形的性质

思想总结:归纳总结法

(二)反思:本节课所讲的内容

(五)布置作业:P85--3,4,6

(六)板书设计:

§23.3相似三角形的性质(二)

一、相似三角形的性质(二)

二、小结

三、作业

§23.4相似三角形的性质

一、教学目标知识技能:1、理解并掌握相似多边形的周长和面积的性质

2、能够运用多边形的周长和面积的性质解决相关问题。

数学思考:通过把多边形转化三角形,体会转化思想在几何中的作用,同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。

解决问题:1、学会把多边形问题转化为三角形问题来解决的方法

2、能利用相似多边形的周长与面积的性质解决有关问题。

情感态度:通过对性质的发现和论证过程,提高学生的学习热情,增强学生的探究意识。

(二)重点与难点:重点:相似多边形的周长、面积的性质的理解与运用。

难点:探索证明相似多边形面积的性质。

(三)教学方法:类比推理法。

(四)教学工具:多媒体课件。

(五)教学过程设计:

一、课前知识准备:1、多边形的周长、面积。

2、相似多边形的相关性质。

二、复习引入

复习:(1)多边形的相关知识

(2)相似多边形的相关性质

引入:与相似三角形一样,根据定义,两个相似多边形的对应角相等,对应边成比例。此外,相似多边形还有哪些性质。

E(1)

图23-27(2)

探究:如图23--27,已知多边形ABCDE∽多边形A'B'C'D'E',对应顶点作对角线AC、AD和A'C'、A'D'。

此时?ABC与?A'B'C'有什么关系?

根据多边形ABCDE∽多边形A'B'C'D'E',得:

ABBC?,?B??B' A'B'B'C'

即:?ABC∽?A'B'C'

ACAB?于是,得: A'C'A'B'

同理,你能得出?ACD与?A'C'D',?ADE与?A'D'E'之间分别有什么关系吗?

归纳总结:一般地,两个相似多边形可以被分成个数相同且对应相似的三角形,利用这个性质,可以证明:

结论:定理1、相似多边形周长的比等于相似比,

定理2、相似多边形面积的比等于相似比的平方。

三、应用迁移:P89--练习1,2

(四)回顾总结反思:(一)小结:相似多边形的性质

思想总结:类比推理

(二)反思:本节课授课效果

(五)布置作业,P89--1,3,4,5

(六)板书设计:

§23.4相似多边形的性质

一、相似多边形的性质

二、小结

三、作业

§24.3解直角三角形及其应用(一)

一、教学目标:知识技能:在解决问题中体验引入解直角三角形知识的必要性,初步理解直角三角形的含义,并会利用已知边、角求解未知的边等。

数学思考:1、在研究问题中思考如何把实际问题转化为数学问题,进而把数学问题具体化。

2、在研究解决问题的过程中思考数学问题模型化的切入点一级模型选择时的条件的分析与认定的基本方法。

解决问题:以具体问题引入本节课的学习,解决与直角三角形有关的问题。

情感态度:在解决问题的过程中引发学生的学习要求,让学生在学习需求的驱动下主动参与学习的全过程,并让学生体验到学习需要付出努力的。

(二)重点与难点:重点:解直角三角形的意义以及一般方法。

难点:解直角三角形在解具体问题中的运用。

(三)教学方法:观察法。

(四)教学工具:多媒体课件。

(五)教学过程设计:

一、课前知识准备:(1)直角三角形的性质

(2)简单的三角函数(正弦、余弦)

二、复习引入:(1)复习直角三角形的边角之间的关系。

(2)正弦、余弦。

(3)引入:观察如图24--14,Rt?ABC共有六个元素(三条边,三个角),其中?C?90,那么其余五个元素之间有怎样的关系呢?

(1)三边之间的关系:a?b?___。

(2)锐角之间的关系:?A??B?___。

(3)边角之间的关系:sinA___;cosA___;tanA___。 22?

A图24-14

对于锐角B也有类似(3)的关系吗?

总结:在直角三角形中,除直角外,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形。

本部分是高中的教案部分

使用教材:高中数学必修五。北京师范大学出版社出版。

第一章:数列

本章教材分析:

本章内容:本章通过对一般数列的研究,转入对两类特殊数列——等差数列、等比数列的研究。数列是高中数学重要内容之一,它有着广泛的实际应用,同时还起着承上启下的作用。数列与前面的函数知识有密切的联系;另一方面,学习数列又为继续学习数列的极限等内容做好了准备。数列是培养学生数学能力的良好题材。学习数列,要通过观察、分析、归纳、猜想。还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题,这些都有帮助学生数学能力的提高。 本章教学实践安排13课时,具体分配如下:

§1.数列 约2课时

§2.等差数列 约4课时

§3.等比数列 约4课时

§4.数列在日常经济生活中的应用 约1课时

§1.数列

1.1数列的概念

一.教学目标

1.知识与技能:通过本节学习让学生理解数列的概念,了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的通项公式。

2.情感与态度:通过探究、思考、交流、观察、分析等教学方式,充分发挥学生的主体作用;并通过日常中的大量实例,鼓励学生动手实验,大胆猜想,培养学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度。

3.通过对本节章头图像的学习,让学生体会数学的科学价值,加深学生对数学的理解和认识,激发学生学习数学的兴趣。

二.重难点

重点:理解数列及其有关的概念;了解数列通项公式的含义;会根据数列的前几项写出它的一个通项公式。

难点:根据数列的前几项归纳出数列的通项公式。

三.课时安排:1课时

四.教学方法:探究、引导法。

五.教学工具:多媒体课件。

六.教学过程设计

(一)课前知识准备:学习输的种类

集合的相关概念

(二)复习导入:1.复习学过的数可分为几类

2.集合的特征

引入:让学生阅读章头故事后,每个人随手写出五个数,教师适时指出写出的五个数就是一个数列,由此展开新课。

推进新课,提出问题:(1)阅读课本上的6个实例,按顺序分别写出6个实例中的数字,得到的这六列数各是多少?

(2)怎样理解数列?数列预计和有什么不同?什么事数列的项?怎样表示数列。

(3)你能举出身边的那些数列?

(4)怎样对数列分类?什么是有穷数列?

学生对6个问题进行练习,教师将这6列数用多媒体演示出来,引导学生观察他们的共同特征,适时点拨:数列就是按照一定顺序排列的一列数。

引导学生阅读课本并弄清楚有穷数列,无穷数列的概念,之后提出问题:相同的一组数按照不同的顺序排列时,是否为同一数列?一个竖列中的数可以重复吗?

通过探究得出数列?an?的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫作这个数列的通项公式。讨论结果:一般的,按一定的次序排列的一列数叫作数列。数列中的每一个数叫作这个数列的项。数列一般形式可以写成a1、a2?an?简记为数列?an?

?三?应用迁移:

例1.根据下面的通项公式分别写出数列的前五项。

nn?n;?2?an=??1?cos?让学生独立完成?n?24

2345例2.写出1?的通项公式,并判断它的增减性。471013

n解:数列的通项公式为an=n?3

n?1n?2?an?1?an????0。即an?1?an3n?1?23n?23n?13n?2?1?an=

这说明每相邻的两项中,后项小于前项,由此可得数列为递减数列。

(四)回顾总结

反思:回顾本节课的探究过程

总结:本节课所学的数列的概念

反思本节课的实际教学情况。

总结:数列的一般的性质,通项公式的相关概念。

六.板书设计

1.2数列的函数特征

一.教学目标:1.知识与技能:通过对本节学习理解数列是一种特殊的函数,理解数列的图像表示,了解数列的增减性。

2.情感与态度:理解数列与函数的关系,会用函数的方法处理数列内容。

3.过程与方法:通过对日常生活实例的探究、思考、交流、分析等教学方式,充分发挥学生的主体作用,培养学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度。

二.重难点

重点:数列的函数特征,数列的图像表示,数列的增减性。

难点:数列的图像表示。

三.课时安排:1课时

四.教学方法:类比,比较探究

五.教学工具:多媒体课件

六.教学过程设计:(一)课前知识准备:函数的定义及函数的图像表示。

(二)复习引入:(1)复习:函数的定义及函数的图像表示。

引入:上节课我们探究了数列的通项公式,让学生写出2、4、6、8?的一个通项公式。学生写出通项公式an=2n-2后进一步启发,an=2n-2与函数f?x?=2x-2有什么关系?你能用函数图像直观的表示这个数列吗?由此展开新课。

推进新课:提出问题(1)怎样认识数列是一种特殊的函数?它的定义域是什么?值域是什么?你能说出它与函数的区别和联系吗?

(2)怎样用图像表示数列?其图像特点是什么?

(3)根据数列的图像表示,联想数列的性质,你能说出数列的增减性吗?

过程,引导学生思考数列中的各项与序号之间的对应关系,类比函数的概念,数列可以看成是一种特殊的函数。其定义域为正整数集或者它的有限子集。值域是当自变量从小到大依次取值时的对应值。探究数列的图像表示,数列的图像是一系列孤立的点,其图像之所以是一些离散的点,原因在于数列自变量的取值是一些离散的点。

函数与数列的比较(由学生完成此表)

定义域

解析式

图像 函数 数列

实例分析:新中国成立之后,我国1952—1994年间的部分年份进出口贸易总额(亿美元)数排成一列数。

观察书上的实图得出一般性结论。

我们可以把一个数列用图像来表示:

图2是上节数列?1?3、4、5、6、7、8、9的图像。

111 图3是上节数列?5?1的图像。357

图4是上节数列1100、1100、?1100的图像。

x

从图中可以看出数列(1)的函数图像上升,称这样的数列为递增数列。数列(5)的函数图像下降,称这样的数列为递减数列。数列(6)称为常数列。 归纳总结:一般的,一个数列?an?如果从第二项起,每一项都大于它前面的一项,即an?1?an。那么这个数列就叫作递增数列。

类比以上定理由学生定义出递减,常数列的概念。

(三)应用迁移:

例1.判断下列数列的增减性。

1、0、-1?3-n??1?2、

?2?123n???由定义让学生自己做?234n?1

n 1111?1?例2.作出数列--??-??的图像,并分析数列的增减性。24816?2?

通过本例让学生加深对数列增减性的认识,体会到数列的直观性。

知能训练:课本本节练习1、2

四.回顾,总结,反思

回顾,总结1.由学生自己总结数列与函数的关系,总结数列的图像及币哦是数列的增减性概念。

2,进一步强调数列是函数,是一类特殊的函数,其图像是一些离散的点,通过例题及课后习题,深刻理解函数几何这一主线的作用,为后续内容的学习打下坚实的基础。

五.布置作业。

课本本节习题1-1A组6.7

六.板书设计

§2等差数列

2.1等差数列

一.教学目标:

1.知识与技能:通过实例理解等差数列的概念,通过生活中的实例抽象出等差数列的模型,让学生认识到这一类数列是现实世界中大量存在的数列模型,同时经历由发现几个具体的数列的等差关系,归纳出等差数列的定义的过程。

2.过程与方法:探究并掌握等差数列的通项公式,由等差数列的概念通过归纳或者迭代的方法探索等差数列的通项公式。通过与一次函数的图像类比,探索等差数列的通项公式的图像特征与一次函数之间的联系。

3.情感与态度:通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,渗透特殊与一般的唯物主义观点,加强理论联系实际,激发学生的学习兴趣。

二.重难点

重点:等差数列的概念,等差数列的通项公式,等差中项及性质,会用公式解决一些简单的问题。

难点:概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法,以及从函数,方程的观点看通项公式,并解决一些相关的问题。

三.课时安排:两课时

四.教学方法:归纳推理

五.教学工具:多媒体课件

六.教学过程设计

(一)课前知识准备:数列通项公式的概念,单调性等相关的概念。

(二)复习引入:复习数列通项公式的概念,单调性等相关的概念。

引入:引导学生先复习上节课学过的数列的概念以及通项公式,可有意识的在课件中出示几个数列。

如数列1、2、3?

数列0、0、0、0

数列0、2、4、6?等

然后直接引导学生阅读教材中的三个实例。

推进课堂新课

提出问题:(1)回忆数列的概念,数列的几种表示方法。

(2)阅读教科书上的三个背景实例,熟悉生活中的常见现象,并写出3个实例所得到的数列。

(3)观察三个数列有什么共同特点?

(4)根据三个数列的特征,每人能再举出2个与其特征相同的数列吗?

(5)什么是等差数列?怎样理解等差数列?其中的关键字词是什么?

(6)这三个数列存在通项公式吗?如果存在,分别是什么?

(7)怎样推到等差数列的通项公式?

引导学生回忆上节课所学过的数列的概念,通项公式以及数列的函数特征,然后引导学生阅读教材中的实例模型。

通过归纳总结出等差数列的定义:一般的,如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差是同一个常数,我们称这样的数列为等差数列,称这个常数为等差数列的公差,通常用字母d表示。

根据等差数列的定义:

a2-a1=d

a3-a2=d

a4-a3=d

??

?a2=a1+d

a3=a2+d

??

猜想出等差数列的通项公式:an=a1+?n?1?d

此为猜想出的式子,严格的证明要用到后面的其他知识。

迁移运用

例1.

5、2?的第20项。?1?求等差数列8、

-9、-13?的项?如果是,是第几项??2?-401是不是等差数列-5、

例2.判断下列数列是否为等差数列?

?1?an=2n-1

n?2?an???1?

例3.已知等差数列?

an?,a1=1,d?求通项an。

知能训练:课本本节练习1、2、3

回顾,总结,反思

回顾总结:

1. 先由学生自己总结回顾这节课都学习了哪些知识?要注意什么?都用了哪些数学思想

方法?

2. 教师进一步集中强调本节课学习的重点内容是等差数列的定义及其通项公式,等差数列

的基本性质是等差,这是我们研究有关等差数列的主要出发点,是判断,证明一个数列是否为等差数列和解决其他问题的一种基本方法。要注意这里的等差是相对任意相邻两项来说的。

反思本课时的实际教学效果。

布置作业:课本习题1、2 A组5、6、7

板书设计

第二课时

教学过程设计

(一) 课前知识准备:等差数列的定义,等差数列的通项公式,等差中项

复习:等差数列的定义,通项公式,等差中项

引入:上一节课中我们研究了数列中的一个重要的概念——等差数列的定义,让学生回忆这个定义,并举出几个等差数列的例子,按着老师引导学生探究自己所举等差数列例子中项与项之间的关系有什么新的发现。类比一次函数,通项与n之间的关系有什么发现? 推进新课:

由an=f?n??a1??n?1?d?dn??a1?d?;

an是n的一次函数?d?0?或者常函数?d?0?

点?n,an?在一条直线上,可知其函数图像是直线y?dx??a1?d?上的一些间断的点。

这些点的横坐标是正整数,其中公差是该直线的斜率,即自变量每增加1,函数值增加d。知探究:借助课件,引导学生先回忆等差数列的定义。

当d<0时,??an?为增数列。?图1?1???

当d>0时,??an?为减数列。?图1?2???

当d=0时,??an?为常数列。?图1?3???

三个图像

有等差数列的定义可求A,使得三个数a、A、b成等差数列。

由等差数列的定义可得A-a=b-A即A=

反之,若A=a?b。2a?b,则A-a=b-A。 2

a?b由此可得A=?a、A、b成等差数列。2

由此我们得出等差中项的概念:若a、A、b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项。猜想,在等差数列?an?中,若m、n、p、q?N+且m+n=p+q,那么am?an=ap+aq验证:设数列的首项为a1,则

am?an=a1+?m?1?d?a1+?n?1?d?2a1+?m?n?2?d

ap+aq?a1+?p?1?d?a1+?q?1?d?2a1+?p?q?2?d

因为m+n=p+q,所以上面两个式子相等。即am?an=ap+aq

迁移运用:

例1.在等差数列?an?中,若a1+a6=9,a4=7,求a3,a9.

例2.在-1与7之间顺次插入三个数,a、b、c,使得这五个数成等差数列,求此数列。智能训练:课本本节练习1、2、3、4

回顾总结,反思:

回顾总结:1.现有学生自己总结回顾这节课都学习了哪些知识,要注意的是什么,都用到了什么数学思想方法?你是如何通过旧知识获取新知识的,这节课你最大的收获是什么。 2,进一步画龙点睛,本节课我们进一步探究了等差数列的一些性质。

反思实际效果

2.2等差数列的前n项和

整体设计:本节等差数列求和共分为2课时。

第1课时是在学习了等差数列的概念和性质的基础上使学生掌握等差数列求和公式,并能利用它解决数列求和的相关问题。

第2课时的主要内容是让学生进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式,进一步了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题。

本节通过等差数列概念的归纳总结,培养学生观察,分析问题的能力和积极思维,追求新颖的创新意识。

一.教学目标

知识与技能:通过经历等差数列求和公式的发现,探究过程,掌握等差数列前n项和公式的推导及其应用,会利用等差数列的通项公式和前n项和公式研究求和公式的最值。 过程与方法:学会常用的数学方法和体现出的数学思想,促进学生的思维水平的发展。通过例题及变式例题的训练进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式。 情感与态度:通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受到数学来源于生活,又服务于生活的实用性。引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并用数学知识解决问题。

二.重难点

重点:掌握等差数列的前n项和公式;会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题,能用多种方法发解决数列求和问题。

难点:对等差数列求和公示的深入理解及其灵活运用。

三.教学方法:发现、猜想、探究

四.教学工具:多媒体课件

五.课时安排:2课时

六.教学过程设计

第1课时

教学过程设计

(一) 课前知识准备:数列的概念

复习:等差数列的表达式与前n项和。

引入:关于“加薪的学问”选择第二种方案,以上材料的正确解答恰是我们要研究的数列求和问题,由此导入新课。

推进新课:

回顾,总结,反思

回顾,总结(1)本节的小结由学生完成,完成回顾总结本节都学习了那些数学内容。

通过等差数列的前n项和公式的推导,你都从中学到了那些思想方法?(数列倒叙相加法)对你今后的学习有什么启发指导。

(2)你是怎样从方程的角度来理解等差数列的求和公式的?又是怎样从等差数列的性质来理解等差数列的求和公式的?上节学习的等差数列的通项公式与本节学习的等差数列的求和公式有什么联系?本节的重要题型是什么?

布置作业:课本习题1、2 A组11、12、13 B组3

第2课时

教学过程设计

(一) 课前知识准备:(1)等差数列的相关性质。

(2)等差数列的前n项和的计算公式。

(二)复习,引入

复习(1)等差数列的相关性质

(2)等差数列的前n项和的计算公式

引入:上一节课我们从几个日常生活中的实例探究了等差数列的很重要的公式,我们也知道等差数列有着十分有趣的本质。本节课我们将进一步探究公式的应用,由此展开新课。

n?a1+an?n?n?1?,sn=na1+d。在公式中涉及五个量,a1、d、n、an、sn中知三可求二。22

n?n?1?d2?d?其中a1、d是基本的两个量。我们成为基本元素。由公式sn=na1+d=n+?a1??n222?? 可以看出d?0时,数列的图像是抛物线图像上的一群孤立点,探究:sn=

这样我们可以借助二次函数来研究前n项和问题。若则。

因此我们可以得出这样的结论:数列为等差数列的充要条件是:数列的前n

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