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一元二次方程的解法--配方法

发布时间:2013-11-28 09:25:42  

4.2 一元二次方程的解法(2)

回顾与思考
1.利用直接开平方法解下列方程 (1) (2) x -6=0 (x+3) =5
2 2

2.能利用直接开平方法求解的一 元二次方程具有什么特征?

议一议
如何解方程: x +6x+4=0?
2

(1)观察 (x+3)2=5与这个方程有什么关

系?
(2)你能将方程转化成(x+h)2=k(k ≥ 0)的 形式吗?

因式分解的完全平方公式

a a

2

? 2ab ? b ? (a ?b) ;
2 2

2

完全平方式

? 2ab ? b ? (a ?b) .
2 2

填一填

1 (1) x ? 2 x ? _____? ( x ? ___) 1
2
2

2

4 (2) x ? 8 x ? _____? ( x ? ___) 4 5 5 2 2 (3) y ? 5 y ?(2) ? ( y ? ___) _____ 2 2 2 1 1 1 (4) y ? y ? ____ ? ( y ? ___) ( ) 4 4 2
2
2

2

2

2

它们之间有什么关系?

总结归律:

x ?
2

p 2 p ( ) 2 px ? ____ ? ( x ? ____) 2 2
2

对于x +px,再添上一次项系数一 半的平方,就能配出一个含未知数的 一次式的完全平方式.

体现了从特殊到一般的数学思想方法

体 现 了 转 化 的 数 学 思 想

x ? 6x ? 4 ? 0
2

x ? 6 x ? ?4
2
2 2

移项

x ? 6 x ? 3 ? ?4 ? 3

两边加上32,使左边配 成完全平方式
2

( x ? 3) ? 5
2

左边写成完全平方的形式
变成了(x+h)2=k 的形式

开平方

x?3? ? 5
得 : x1 ? ?3 ? 5 , x2 ? ?3 ? 5

把一元二次方程的左边配成一 个完全平方式,然后用直接开平方法 求解,这种解一元二次方程的方法叫 做配方法.

配方时, 等式两边同时加上的是一次项 系数一半的平方.

例1:用配方法解下列方程
2 - 3x (1)x

= -2
+2(x+1)=8

(2)(x+1) 2

用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一 半的平方,将方程左边配成完全平方式 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.

课堂反馈:
2+10x+20=0 (1)x
2-x=1 (2)x 2 (3)x

+4x +3 =0 2 +3x =1 (4)x

练习1:用配方法解下列方程

1 (1) x ? x ? 2 ? 0 3
2

2-10(x+1)+9=0 (2)(x+1)

整体思想

(4)x2+2mx=(n-m)(n+m)

2.用配方法说明:不论k取何实 数,多项式k2-3k+5的值必定 大于零.

小结:解一元二次方程的基 本思路
二次方程 一次方程
把原方程变为(x+h)2=k的形式 (其中h、k是常数)。 当k≥0时,两边同时开平方,这 样原方程就转化为两个一元一次方程。 当k<0时,原方程的解又如何? 2 例:

x ? 2x ? 4 ? 0

拓展:
2-3x+p=0配方得到 把方程x

1 (x+m)2= 2 (1)求常数p,m的值;
(2)求方程的解。


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