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八年级上册三角形全等的判定

发布时间:2013-09-20 09:42:15  

三角形全等的判定(3)学案

教学目标

1.熟练应用“边边边”公理.

2.会综合应用三角形的四种判定方法,会根据具体问题选取恰当的判定公理或定理. 教材分析

教学重点:熟练应用“边边边”公理.

教学难点:综合应用三角形的四种判定方法判定三角形全等.

教学过程

1.AAS不存在

如图3.7(1) 在△ABC和△ABD中,已知AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,显然它们不全等.

D B C

图3.7(1)

例1.已知:如图3.7(2)AB=CD,BC=DA,E、F是AC上的两点,且AE=CF. 求证:BF=DE

D C A

B 图3.7(2)

证明:在△ABC和△CDA中,

?AB?CD??BC?DA

?CA?AC?

∴△ABC≌△CDA(SSS)

∴∠BCF=∠DAE

在△BCF和△DAE中,

?BC?DA???BCE??DAE

?CF?AE?

∴△BCF≌△DAE(SAS)

∴BF=DE

例2.已知:如图3.7(3),AB=DC,AE=DF,CE=FB.

求证:AF=DE。

分析:要证AF=DE,可证△AFB与△DEC全等,但还缺少相关角相等的条件,所以先证△AEB与△DFC全等。

1

证明:∵CE=FB

∴CE+EF=FB+EF,即:CF=BE

在△AEB和△DFC中: A

F

E

C

3.7(3) B?AB?CD??AE?DF ?BE?CF?∴△AEB ≌△DFC(SSS) ∴∠B= ∠C 在△AFB和△DEC中: D

?AB?CD???B??C

?BF?CE?

∴△AFB ≌△DEC(SAS)

∴AF=DE

(本例是一个通过两次全等才能得到结论的题目,第一次全等的证明为第二次全等的证明创造必要的条件。)

例3.已知:如图3.7(4),AB=DE,BC=EF,CD=FA,∠A= ∠D.

求证:∠B= ∠E。

分析:要证∠B=∠E,通常的思路是要证△ABC ≌△DEF,但如果连结AC、DE就会破坏∠A=∠D的条件。因此应当另想他法。观察后不难发现:△ABF≌△DEC,于是可证∠ABF= ∠DEC,进一步即可证明∠ABC= ∠DEF

证明:连结BF、CF、CE

在△ABF和△DEC中

?AB?DE???A??D

?FA?CD?

∴△ABF ≌△DEC(SAS)

∴∠1= ∠2,BF=EC

在△BFC和△ECF中 图3.7(4)

?BF?EC??BC?EF

?CF?FC?

∴△BFC ≌△ECF(SSS)

∴∠3= ∠4

∴∠1+∠3= ∠2+∠4,即:∠ABC= ∠DEF

课堂小结

1.证明三角形全等的方法有SAS,ASA,AAS,SSS.

2.如果直接证明线段或角相等比较困难时,可以将线段、角扩大(或缩小)或将线段、角分解为几部分,再分别证明扩大(或缩小)的量相等;或证明被分成的几部分对应相等,这 2

是证明线段、角相等的一个常用手段。

课堂检测

1. 已知:如图3.7(5),在△ABC中,∠ACB=90°,延长BC到D,使CD=CA,E是AC上

一点,若CE=CB。 求证:DE⊥AB

F E

B D C 图3.7(5)

2.如图3.7(6),△ABC中,AD是∠A的平分线,E、F分别为AB、AC上的点,且∠EDF+∠BAF=180°.

求证:DE=DF A

EF

BCD 图3.7(6)

答案

1.证明:∵∠2=90°,∠1+∠2=180°

∴∠1=∠2=90°

∴∠A+∠B=90°

在△DEC和△ABC中

?CD?CA???1??2

?CE?CB?

△DEC≌△ABC(SAS)

∴∠D=∠A

∴∠D+∠B=90°

∴∠DFB=90°

∴DE⊥AB

2.证明:作DG⊥AB于G,DH⊥AC于H

∵AD平分∠A,DG⊥AB,DH⊥AC

∴DG=DH

∠EGD=∠FHD=90°

∴∠1+∠2+∠3+∠ADH=180° 即:∠BAF+∠GDH=180°

又∵∠EDF+∠BAF=180°

∴∠EDF=∠GDH 3

A

G

EF

3H

BDC

∴∠EDF-∠GDF=∠GDH-∠GDF,即:∠EDG=∠FDH 在△DGE和△DHF中

???EGD??FHD

?DE?DF

???EDG??FDH

∴△DGE≌△DHF(ASA)

∴DE=DH 4

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