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一次函数知识点总结

发布时间:2013-11-28 13:26:34  

一次函数知识点总结

一 变量:

自变量:自己变化的量;在一个变化的过程中,我们称数值变化的量是自变量.

常量:有些量的数值是始终不变的量叫常量.

函数:被变量是自变量的函数.

函数值:当自变量确定一个值,被变量随之确定的一个值.

因变量:自变量的变化引起另一个量的变化,另一个量是因变量.

二 一次函数和正比例函数的概念

1.概念: 若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量),特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.

(1)一次函数的自变量的取值范围是一切实数,但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.

(2)一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同,即自变量x的次数为1,一次项系数k必须是不为零的常数,b可为任意常数.

★判断一个等式是否是一次函数先要化简

(3)当b=0,k≠0时,y= kx仍是一次函数.(正比例函数)

(4)当b=0,k=0时,它不是一次函数.

2. 函数的表示方法: 1)解析法,2)列表法,3)图象法.

列表法直观但不完全

解析法准确完全但不直观

图象法直观形象但不够准确也不太完全

图象的画法:一列表、二描点、三连线(顺次用平滑的曲线)

解析式的列法:一)实际问题,确定自变量的取值 二)符合题意

三 函数的图象

把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.画函数图象一般分为三步:列表、描点、连线.

一次函数的图象

由于一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象是一条直线,所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.

由于两点确定一条直线,描出适合关系式的两点,再连成直线,一般选取两个特殊点:直线与y轴的交点(0,b),直线与x轴的交点(-

只要描出点(0,0),(1,k)即可.

四 一次函数性质

1. 一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的性质

(1)k的正、负决定直线的倾斜方向;

①k>0时,y的值随x值的增大而增大;

1 b,0).画正比例函数y=kx的图象时,k

②k﹤O时,y的值随x值的增大而减小.

(2)|k|大小决定直线的倾斜程度,即|k|越大,直线与x轴相交的锐角度数越大(直线陡),|k|越小,直线与x轴相交的锐角度数越小(直线缓);

(3)b的正、负决定直线与y轴交点的位置;

①当b>0时,直线与y轴交于正半轴上;

②当b<0时,直线与y轴交于负半轴上;

③当b=0时,直线经过原点,是正比例函数.

(5)由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小,k相同,说明这两个锐角的大小相等,且它们是同位角,因此,它们是平行的.另外,从平移的角度也可以分析,例如:直线y=x+1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的.

2. 正比例函数y=kx(k≠0)的性质

(1)正比例函数y=kx的图象必经过原点;

(2)当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;

(3)当k<0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.

点P(x0,y0)与直线y=kx+b的图象的关系

(1)如果点P(x0,y0)在直线y=kx+b的图象上,那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b;

(2)如果x0,y0是满足函数解析式的一对对应值,那么以x0,y0为坐标的点P(1,2)必在函数的图象上.

例如:点P(1,2)满足直线y=x+1,即x=1时,y=2,则点P(1,2)在直线y=x+l的图象上;点P′(2,1)不满足解析式y=x+1,因为当x=2时,y=3,所以点P′(2,1)不在直线y=x+l的图象上.

2

确定正比例函数及一次函数表达式的条件

(1)由于正比例函数y=kx(k≠0)中只有一个待定系数k,故只需一个条件(如一对x,y的值或一个点)就可求得k的值.

(2)由于一次函数y=kx+b(k≠0)中有两个待定系数k,b,需要两个独立的条件确定两个关于k,b的方程,求得k,b的值,这两个条件通常是两个点或两对x,y的值.

五 一次函数与方程

1. 一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系

一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系,函数y=ax+b(a≠0,a,b为常数)中,函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0(a≠0)的解,所对应的坐标(-b,0)是直线y=ax+b与x轴的交点坐标,反过来也成立;?直线a

y=ax+b在x轴的上方,也就是函数的值大于零,x的值是不等式ax+b>0(a≠0)的解;在x轴的下方也就是函数的值小于零,x的值是不等式ax+b<0(a≠0)的解.

2. 坐标轴的函数表达式

函数关系式x=0的图像是y轴,反之,y轴可以用函数关系式x=0表示;?函数关系式y=0的图像是x轴,反之,x轴可以用函数关系式y=0表示.

3. 一次函数与二元一次方程组的关系

一般地,每个二元一次方程组,都对应着两个一次函数,于是也就是对应着两条直线,从“数”的角度看,解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等,以及这两函数值是何值;从形的角度考虑,解方程组相当于确定两条直线的交点坐标,所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系.

4. 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解

?y?k1x?b1 (1)二元一次方程组?有唯一的解?直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 y?kx?b?22

?k1≠k2.

(2)二元一次方程组?

b1≠b2. ?y?k1x?b1无解?直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2 ?k1=k2,?y?k2x?b2

?y?k1x?b1 (3)二元一次方程组?有无数多个解?直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合y?kx?b?22

?k1=k2,b1=b2.

5. 待定系数法

先设待求函数关系式(其中含有未知常数系数),再根据条件列出方程(或方程组),求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法.其中未知系数也叫待定系数.例如:函数y=kx+b中,k,b就是待定系数.

用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤:一设,二代,三解,四代入

(1)设函数表达式为y=kx+b;

(2)将已知点的坐标代入函数表达式,解方程(组);

(3)求出k与b的值;

3

(4)将k、b的之带入y=kx+b,得到函数表达式。

例如:已知一次函数的图象经过点(2,1)和(-1,-3)求此一次函数的关系式. 解:设一次函数的关系式为y=kx+b(k≠0),

由题意可知,

?4

??1?2k?b,?k?,

k?b, 解?

??3???3 ∴此函数的关系式为y=45

?3x?3.

??b??5

3.

六 知识规律小结

1.常数k,b对直线y=kx+b(k≠0)位置的影响.

①当b>0时,直线与y轴的正半轴相交;

当b=0时,直线经过原点;

当b﹤0时,直线与y轴的负半轴相交.

②当k,b异号时,即-b

k>0时,直线与x轴正半轴相交;

当b=0时,即-b

k=0时,直线经过原点;

当k,b同号时,即-b

k﹤0时,直线与x轴负半轴相交.

③当k>O,b>O时,图象经过第一、二、三象限;

当k>0,b=0时,图象经过第一、三象限;

当b>O,b<O时,图象经过第一、三、四象限;

当k﹤O,b>0时,图象经过第一、二、四象限;

当k﹤O,b=0时,图象经过第二、四象限;

当k<O,b<O时,图象经过第二、三、四象限.

2.直线y=kx+b(k≠0)与直线y=kx(k≠0)的位置关系.

直线y=kx+b(k≠0)平行于直线y=kx(k≠0)

当b>0时,把直线y=kx向上平移b个单位,可得直线y=kx+b;

当b﹤O时,把直线y=kx向下平移|b|个单位,可得直线y=kx+b.

3. 直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2(k1≠0 ,k2≠0)的位置关系.

①k1≠k2?y1与y2相交;

②??k1?k2

?b?y1与y2相交于y轴上同一点(0,b1)或(0,b2);

1?b2

③??k1?k2,

?b?y?k1?k2,

1与y2平行; ④??

1?b2?b1?by1与y2重合.

2

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