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14.3.1提取公因式法

发布时间:2013-11-28 13:26:36  

14.3.1提公因式法

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想一想

993-99能被100整除吗? 解法一:993-99=970299-99 =970200

解法二:993-99=99(992-1) =99(99+1)(99-1) =100×99×98
哪种解法简单?

整式的乘法
计算下列各式:

x(x+1)= x2 + x ; (x+1)(x-1)= x2-1.
根据上面的运算,你能把下列

多项式写成整式的乘积的形式:
(1)x2+x=___________; x(x+1)

(2)x2 – 1=__________ . (x+1)(x-1)

知识要 点1
把一个多项式化成了几个整式的 积的形式,像这样的式子变形叫做把 这个多项式因式分解,也叫做把这个 多项式分解因式.

判断下列变形中,哪些是 因式分解?

(1) x ? 3x ? x( x ? 3)
2

(2) x ? 2 x ? 1 ? x( x ? 2) ? 1
2

(3) x y ? y ? y ( x ? y ) 2 (4)( x ? 2)( x ? 2) ? x ? 4
2 2 2

因式分解与整式乘法的关系:
因式分解

x2-1

(x+1)(x-1)

整式乘法

因式分解与整式乘法是互逆过程
下面我们来研究因式分解的其中一种方法:提取公因式法

多项式ma+mb+mc,它的各项有什么 特点?你能将 它因式分解吗?

am+bm+cm =m(a+b+c)
公共的因式

m 多项式ma+mb+mc,它的各项都含有一个公共 的因式m,我们把因式m叫这个多项式各项的 公因式。

知识要 点2
由m(a+b+c) = ma+mb+mc可得: ma+mb+mc =m(a+b+c)这样就把ma+mb+mc 分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式 是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是 ma+mb+mc除以 m所得的商,像这种分解因 式的方法叫做 提公因式法 . 思考:如何找公因式?

8a3b2-12ab3c 的公因式是什么? 公因 式

4
最大公约数

a
相同字母

b2
最低指数

观察 方向 一看系数

二看字母

三看指数

知识要 点3
确定公因式的方法:
(1)公因式的系数是多项式各项系数的 最大公约数; (2)字母取多项式各项中都含有的相同 的字母; (3)相同字母的指数取各项中最小的一 个,即最低次幂.

指出下列各多项式中各项的公因式: 多项式 ①ax+ay+a ②3mx-6nx2 ③4a2b+10ab2 公因式 a 3x 2ab x3y3 3x2y

④x4y3+x3y3
⑤12x2yz-9x3y2

例1 把12a4b3+16a2b3c2分解因式. 公因式: 4a2b3 解:12a4b3+16a2b3c2 =4a2b3· 2+ 4a2b3 · 2 3a 4c = 4a2b3 (3a2 + 4c2)

注 意

提公因式后,另一个因式: ①项数应与原多项式的项数一样; ②不再含有公因式.

把下列各式分解因式: 1.2a-4b; 2.ax2+ax-4a; 3.3ab2-3a2b; 4.2x3+2x2-6x; 5.7x2+7x+14; 6.xy-x2y2-x3y3;

例2 把-x3+x2-x分解因式.
解:原式=-(x3-x2+x) =-x(x2-x+1)

注 意
多项式的第一项是系数为负数的项,一 般地,应提出负系数的公因式.但应注意, 这时留在括号内的每一项的符号都要改变, 且最后一项“-x”提出时,应留有一项“+ 1”,而不能错解为-x(x2-x).

分解因式 (1)- 7ab-14abx+49aby

? ?(7ab ? 14abx ?

49aby)
? ?7ab(1 ? 2 x ? 7 y)

首项为负, 先提负

课堂小结
2.确定公因式的方法?

1.分解因式?

一看系数 二看字母 三看指数 3、提公因式法分解因式步骤(分三步): 第一步,找出公因式; 第二步,提公因式; 第三步,将多项式化成两个因式乘积的形式。 4、用提公因式法分解因式应注意的问题:
1、公因式提取要彻底,2、首项为负先提负, 3、提取公因式莫漏1.


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