haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中数学初中数学

27.2.1相似三角形的判定(1)

发布时间:2013-11-29 08:30:37  

问题1:如图,l1∥l2∥l3 , 若AB = BC,请同学们猜想 DE与EF的大小关系。 DE = EF

A B C

D E F

l1

l2
l3

问题2:你能证明吗?请试一试。

问题3:如图,l1∥l2∥l3 , 若AB = 2BC,试猜想DE与EF 的大小关系。 DE = 2EF 问题4:如图,l1∥l2∥l3 , 猜想:若AB = 5BC, DE与 EF的大小关系如何?若AB = nBC呢?

A

D

l1

B C

E
F

l2 l3

结论:三条平行线截两条直线,所得的对 应线段的比相等。

平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比 相等. D A 符号语言:

l1

∵ l1∥l2∥l3
B

E



l2

C

F

l3

思考1:若右图中的点A和 点D重合,原来的结论还成 立吗? 思考2:若点B和点E重合呢?

A

D

l1

B

E

l2 l3 l1

C A
l1 E A B F C D

F

B

l2 l3

C

F

l2

l3

平行线分线段成比例定理的推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两 边的延长线),所得的对应线段的比相等. l l? l? l A D l E l
1

1

D B

E C

l2

A B

l2

l3

C

l3

【例1】如图,已知AB∥EF∥CD,若AB=6 cm,CD=9 cm.求EF.

回忆:
问题1:三角形全等的定义与判定方法?

三角形全等的定义:
三组对应角相等,三组对应边相等。 判定方法:SSS、SAS、ASA、AAS、 HL(适合于直角三角形) 问题2:我们如何判定两个三角形相似?

相似多边形的定义: 若两个多边形满足对应角相等,对 它们是相似三角形吗?为什么? 应边的比相等,则这两个多边形相似。
A
5
B 40°
80°

A′
3
C 10
80°

60°

6

6 6

B′

40°

60°
12 C′

相似的记法
A

A′

B

C

B′

C′

“∽”为相似符号,读作“相似于”。 若△ABC与△A`B`C`相似 则记为△ABC∽△A`B`C`

读作“ △ABC相似于△A`B`C` ”

相似比
A

A′

B

C

B′

C′

AB : A’B’ = BC : B ’ C ’ = CD : C ’ D ’ = k 时, 则△ABC 与△A ’ B ’ C ’ 的相似比为 k . 或△A ’ B ’ C ’ 与△ABC

思考:当两个三角形的相似比为k=1时,这两 个三角形有什么关系?

1 的相似比为 k

.

已知:DE//BC,且D是边AB的中点,DE交 AC于E . 猜想:△ADE与△ABC有什么关系?并证明。
A 1 2 D B

相似。 证明: ∵ DE // BC
E
C

∴∠1 =∠B,∠2 =∠C

且 ∠A= ∠A ∴ △ADE与△ABC的对应角相 等

过E作EF//AB交BC于F 又∵ DE // BC ∴ 四边形DBFE是平行四边形 ∴ DE=BF , DB= EF 又∵ AD = DB 2 ∴ AD = EF D E ∵ ∠A =∠3, =∠C ∠2 3 ∴ △ADE≌△EFC B F C ∴ DE = FC =BF, AE=EC AE 1 DE 1 AD AE DE 1 ? ∴ ? ? ? ? ∴ AC 2 BC 2 AB AC BC 2 ∴ △ADE与△ABC的对应边成比例 ∴ △ADE ∽ △ABC 1 三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似,相似比 。 A

2

当点D在AB上任意一点时,上面的结论还成立吗?

已知:DE//BC,△ADE与△ABC有什么关系? 猜想:△ADE与△ABC有什么关系?
A
1 2

相似。

D B

E F C

你能证明

吗?

知识要点
平行于三角形一边的定理 A型 平行于三角形一边的直线和其他两边 相交,所构成的三角形与原三角形相似。
你还能画出其 他图形吗?
D B A

即: 在△ABC中, E 如果DE∥BC, 那么△ADE∽△ABC
C

延伸

X型

平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边 的延长线)相交,所构成的三角形与三角形相似。
D

E

A

即: 如果DE∥BC, 那么△ADE∽△ABC
C

B

你能证明吗?

判定三角形相似定理:
平行于三角形一边的直线与其它两边 (或两边延长线)相交,所得的三角形与原三角形 相似。

“A”型
A D E
(图1)

“X”型
D
A E

B

C
B (图2) C

练习

1、下列各图都满足DE∥BC,

是否都有△ADE∽△ABC?

相似

相似

相似

相似

2、 (2008天津)如图,在△ABC中, DG∥EH∥FI∥BC,如果AD=1,DB=3, 1:4 那么DG:BC= _____ 。
A
D E F B G H I C

3、如图,已知 DE∥BC,AE=40cm,EC=20cm, BC=48cm,∠A=450,∠C=400. (1)求∠ 1 和 ∠ 2 的大小; (2)求DE的长.
∵DE//BC

∴△ADE∽△ABC
AE DE ∴ ? AC BC
E
40cm 1

20cm

C

400

40 DE ? 60 48

400 450 950 2

48cm

∴ DE=32cm

A

D

B

?不经历风雨,怎么见彩虹 ?没有人能随随便便成功!

探究1
任画一个三角形,再画一个三角形,使 它的各边长都是原来三角形各边长的k倍(任确 定一个倍数),度量两个三角形的对应角,它 们相等吗?这样的两个三角形相似吗? 相似
例如:画一个三角形使边长为:1cm、2cm、2.5cm , 相似三角形判定定理: 再画一个三角形,使它的各边长都是这个三角形各边长的 2或3倍。 如果两个三角形的三组对应边的比相等,

请观察两个三角形的三组对应边有什么特点? 那么这两个三角形相似。

已知:如图△ABC和△A`B`C`中 求证:△ABC∽△A`B`C`
分析:在线段A`B`上截取A`D=AB过点 B D作DE∥ B`C` ,交A`C`于点E. △A`DE∽△A`B`C`
A' D DE A' E ? ' ' ? ' ' ' ' AB BC AC AB BC AC ∵ A' B ' ? B 'C ' ? A'C ' A`D=AB

AB BC AC ? ' ' ? ' ' ' ' AB BC AC

A

C

A`

D

E



A' E AC ? ' ' ' ' AC AC

A`E=AC 同理:DE=BC B` △A`DE≌△ABC

△ABC∽△A`B`C` C`

A

A`

B

C

B`

C`

相似三角形判定定理:如果两个三角形 的三组对应边的比相等,那么这两个

三角形相似。

几何语言描述: A B C B`

A`

C`

AB AC BC ∵ ? ? ? A`B` A`C ` B`C `

∴△ABC∽△A`B`C`

反馈练习 1、试判定△ABC与A′B′C′是否相似,并说明理由. 在△ABC和△A′B′C′中,已知: (1)AB=6 cm, BC=8 cm,AC=10 cm, A′B′=18 cm,B′C′=24 cm,A′C′=30 cm.

相似,因为对应边的比相等.

反馈练习 试判定△ABC与A′B′C′是否相似,并说明理由. 在△ABC和△A′B′C′中,已知: (2) AB=12cm, BC=15cm, AC=24cm A′B′=16cm,B′C′=20cm,A′C′=30cm

不相似,因为对应边的比不相等.

2、(2008咸宁)

AB BC AC 如图已知 ? ? , AD DE AE 求证:∠1=∠2
证明: ∵

AB BC AC ? ? AD DE AE ∴ △ABC∽△ADE

A
1 3 2

E

∴ ∠BAC=∠DAE

又∵ ∠3是公共角
B

D

C

∴ ∠BAC- ∠3 =∠DAE-∠3 ∴ ∠1 =∠2

小结:
判定三角形相似定理:
平行于三角形一边的直线与其它两边 (或两边延长线)相交,所得的三角形与原三角形 相似。

“A”型
A D E
(图1)

“X”型
D
A E

B

C
B (图2) C

A`

A
D B E

C

B`

C`

相似三角形判定定理:如果两个三角形 的三组对应边的比相等,那么这两个

三角形相似。

作业:
课本:P55习题27.2 2(1)、3(1)、5 选做题:练习册相应练习


网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com