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圆的切线长定理

发布时间:2013-11-29 09:26:08  

在经过圆外一点的切线上,这一点和切点之间的 线段的长叫做这点到圆的切线长
A

O ·

P

思考: 切线和切线长这两个概念有何区别?

观察与思考: PA、PB有怎样的数量关系? PO与∠APB又有怎样的关系?
A

O

·

P

B

① PA=PB ② PO平分∠APB

连结OA、OB、 ∵PA、PB与⊙O相切,点A、 B是切点

∴OA⊥AP,OB⊥BP
A

∴∠OAP=∠OBP=90° ∵OA=OB,OP=OP

O

·

1 2

∴Rt△AOP≌Rt△BOP
P

∴PA=PB ∠1 =∠2

B

切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 这一点和圆心的连线平分两条切线 的夹角。

符号表示
A

O

·

1 2

B

PA = PB PA、PB分别切⊙O于A、B

∠1=∠2

切线长定理的基本图形的研究
PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切 点,直线OP交于⊙O于点D、E,交 E AB于C。 (1)写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA,OB ⊥PB,AB ⊥OP (2)写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC (3)写出图中所有的全等三角形
(4)写出图中相等的圆弧 (5)写出图中所有的等腰三角形 △ABP, △AOB (6)若PA=4、PD=2,求半径OA

A O
C D B

P

△AOP≌ △BOP, △AOC≌ △BOC, △ACP≌ △BCP

反思:在解决有关圆 的切线长的问题时, 往往需要我们构建基 本图形。 O

A


P B

(1)分别连结圆心和切点 (2)连结两切点 (3)连结圆心和圆外一点

切线长定理为证明线 段相等,角相等,弧相 等,垂直关系提供了理 论依据。必须掌握并能 灵活应用。

典型例题
例、已知:P为⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线, A、B为切点,BC是直径。 A 求证:AC∥OP C O
D

P

B

练习 如图,从⊙O外一点P作⊙O的两条切线,分别 切⊙O于A 、B,在AB上任取一点C作⊙O的切线分别 交PA 、PB于D 、E

4 (1)若PA=2,则△PDE的周长为____;若PA=a,则 2a △PDE的周长为_____。
70 ° (2)连结OD 、OE,若∠P=40 °,则∠DOE=_____;
(180 ? k) 2 若∠P=k,∠DOE=___________

度。

A

D
P C E B O

思考:
如图是一张三角形的铁皮,如何在它上面 截下一块圆形的用料,并且使圆的面积尽 可能大呢?
A
D. A

.F
.
E

B

C

B

C

问题:如图△ABC,要求画△ABC的内 切圆,如何画? 已知:△ABC 求作:和△ABC的各边都相切的圆
作法:1、作∠B、∠C的平分线BM、 CN,交点为I 2、过点I作ID⊥BC,垂足为D N 3、以I为圆心,ID为半径作⊙I ⊙I就是所求的圆

A
M I D C

B

与三角形各边都相切的圆
叫做三角形的内切圆
三角形内切圆的圆心叫做三角形的 内心 这个三角形叫做圆的外切三角形 A D I B ┐ E F 三角形的内心就是三角形的三个内角角 平分线的交点 三角形的内心到三角形的三边的距离 相等

C

归纳
三角形的内切圆可以作出一个,因为三角形 三个内角的平分线交于一点,

这点即为圆心,这 点到三角形三边的距离相等,这个距离为半径, 圆心和半径都确定的圆只有一个.并且只能作出 一个,这个圆叫做三角形的内切圆(inscribed circle of triangle). 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点, 叫做三角形的内心(incenter).

读一读P119 10

四边形与圆的位置关系
? 如果四边形的四条边都与一个圆相 切,这圆叫做四边形的内切圆.这个 四边形叫做圆的外切四边形.
B A D


O C

我们可以证明圆外切四边的一个重要性质: ?1.圆外切四边形两组对边的和相等.
?

(2)如图,Δ ABC的内切圆分别和BC,AC,AB切于D,E,F;如 11 果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= cm,AC= AB= 6cm 9cm A

F

2

E

4 C

B D (3)如图,PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C,DE分别交PA,PB 于D、E,已知P到⊙O的切线长为8CM,则Δ PDE的周长为( ) A A 16cm B 14cm A C12cm D C B E P D 8cm

7

定理证明

求证:三角形三条角平分线的交点是内切圆的 圆心. A D F O B E C

证明:∵O在∠B的角平分线上, ∴OD=OE, (角平分线的性质定理) 又∵O在∠C的平分线上, ∴OD=OF, ∴OD=OE=OF. ∴D、E、F在同一个圆上 O即为内切圆的圆心.

已知:△ABC中,∠ABC=50o ,∠ACB=70o ,点 O是内心,求∠BOC的度数。 A

O B C

例2、圆的外切四边形ABCD,四边与圆的切点分别为E、F、G、H D H · O A E (1)图中有哪些相等的线段 (2)猜想四边形的两组对边怎样的关系 B G C F

反思:圆的外切四边形的两组对边的和相等

6. △ABC的内切圆半径为 r , △ABC的 周长为 l ,求△ABC的面积. (提示:设内心为 O,连接OA、OB、OC.) 解:连接OA、OB、OC,则
1 1 S= AB × r + AC × r + 2 2

1 BC × r 2

A

= =

1 (AB 2 1l r 2

+AC+BC) × r

r

rr O r

B

C

1、四边形ABCD外切于⊙O (1)若AB:BC:CD:DA=2:3:n:4 则n=____ B · O D 2、 A B · O C D C A B A

(2)若AB:BC:CD=5:4:7,周长为48 C 则最长的边为_____

· O
D

圆内接平行四边形是矩形

圆外切平行四边形是_______

3、

圆内接梯形为等腰梯形
4、(1)已知圆外切等腰梯形的中位线长 为3cm,则腰长为____ A E B D F C

反思:圆外切等腰梯形的腰长 等于中位线长

练习一、已知:两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线,PC、PD是 小圆的两条切线,A、B、C、D为切点。 求证:AC=BD A C
O· D B P

如图:用两根带有刻度的木条做一个夹角为60°的 工具尺,你能用它量出一个圆的半径吗? 若量出角的顶点到切点的距离为10cm,试求这个圆 半径的近似值。

三角形的外接圆:
A

三角形的内切圆:
A

O B C B

I

D

C

幻灯片 15
练习四 已知:△ABC是⊙O外切三角形,切点为D,E,F。若BC= 14 cm ,AC=9cm,AB=13cm。求AF,BD,CE。 ? A x x 解:设

AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则 AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zc m x+y=13 依题意得方程组 E O z 解得: X=4 Y=9 Z=5 y+z=14 x+z=9

F
y B y x+y=13 y+z=14 x+z=9

D z

C

? AF、BD、CE的长分别是 cm、cm、 。 4 9 5cm

思考:
?C ? 90? 已知△ABC中, ,内切圆O和边BC、CA、AB
切于点D、E、F。若BC=a ,AC= b,AB=c

a?b?c 求证:内切圆 O的半径 r ? 2
A E C F O D B

幻灯片 17


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