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4.4(2)_切线的判定与性质

发布时间:2013-11-29 11:35:11  

青岛版九年级上册

4.4(2)直线和圆的位置关系

直线与圆的 位置关系

相交
O r d A B l

相切
O r d A

相离
O r d l





l

公共点个数
公共点名称

直线名称 圆心到直线距 离d与半径r的 关系

2个 交点 割线

1个 切点 切线

没有

d<r

d=r

d>r

在直线与圆的三种位 在直线与圆的三种 置关系中,相切最为重要, 位置关系中,相切最为重 本节学习切线的判定和性 要,本节学习切线的判定 质。

和性质。

图中直线l满足什么条件时是⊙O的切

线?
方法1:直线与圆有唯一公共点 方法2:圆心到直线的距离等于半径
注意:实际证明过程中,通常不采用第一 种方法;方法2从“量化”的角度说明圆的切线 的判定方法。

O
d

l

换个角度:当直线与圆的位置怎样时,直线也是的切线呢?

请在⊙O上任意取一点A,连接OA,

过点A作直线l⊥OA。思考:
(1) 圆心O到直线l的距离和圆的半径有什 么数量关系? (2) 二者位置有什么关系?为什么?

O
A

l

(3) 由此你发现了什么?

(1)直线l经过半径OA的外端点A; (2)直线l垂直于半径0A.
相 则:直线l与⊙O相切

O l A

这样我们就得到了从“位置”的角度圆

的切线的判定方法——切线的判定定理.
这个定理是d=r→直线与⊙相切,直接得出来的,是为了便于应用,写成这种 形式,因此定理不用证明。

切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直这条半 径的直线是圆的切线。

对定理的理解:
l (1)切线必须同时满足两条:①经过半径外端;
②垂直于这条半径.

O A

(2)这个定理是d=r→直线与⊙相切,直接得出来的,是为

了便于应用,写成这种形式,因此定理不用证明。

定理的数学语言表达: ∵ OA是半径, l ⊥OA于A ∴ l是⊙O的切线
O r

l
A

1、判断: (1)过半径的外端的直线是圆的切线(×) (2)与半径垂直的的直线是圆的切线(×)

(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的 切线(×)
O l r A O r l O l r

A

A

判定直线与圆相切有哪些方法?
切线的判定方法有三种: ?①直线与圆有唯一公共点; ?②直线到圆心的距离等于该圆的半径; ?③切线的判定定理.即 经过半径的外端并且垂直这条半径的 直线是圆的切线.

例1 如图,已知:直线AB经过⊙O上的点C, 并且OA=OB,CA=CB。 求证:直线AB是⊙O的切线。 A O

C 分析:由于AB过⊙O上的点C,所以连接OC, 只要证明AB⊥OC即可。

B

例2 如图,已知:O为∠BAC平分线上一 点,OD⊥AB于D,以O为圆心,OD为半径作

⊙O。
求证:⊙O与AC相切。
D
A E O C B

例1与例2的证法有何不同?
D O A C B A O B

E

C

(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆

心,得到辅助半径,再证所作半径与这直

线垂直.
简记为:有交点,连半径,证垂直.

(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,
则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半

径长.简记为:无交点,作垂直,证半径.

2、如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O,

OE⊥AC于E,以O为圆心,OE为半径作⊙O.
求证:AB是⊙O的切线.
F B O

A E
C

3、如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线 上,BD=OB,点C在⊙O上, ∠CAB=30°.

求证:DC是⊙O的切线.
C A O B D

如图,如果直线l是⊙O的切线,切点为A, 那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢?

∵ l是⊙O的切线,切点为A

O
l A

∴ l ⊥OA

切线的性质定理:圆的 切线垂直于过切点的半径。
O l
A

切线判定定理:
①过半径外端; ②垂直于这条半径.

O

切线
A

l

切线性质定理:
①圆的切线;

②过切点的半径.

切线垂直于半径

1、如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O

的半径多少?
B

注:已知切线、切

点,则连接半径,应用
切线的性质定理得到垂 直关系,从而应用勾股 定理计算。

O

A

P

2、如图,AB、AC分别切⊙O于B、C,若 ∠A=600,点P是圆上异于B、C的一动点,则

∠BPC的度数是(
A、600


B
O C

B、1200
C、600或1200 D、1400或600
P

A

1、知识:切线的判定定理.着重分析了定理成立 的条件,在应用定理时,注重两个条件缺一不 可. 2、方法:判定一条直线是圆的切线的三种方法: (1) 根据切线定义判定.即与圆有唯一公共点的 直线是圆的切线. (2)根据圆心到直线的距离来判定,即与圆心的 距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (3)根据切线的判定定理来判定. 其中(2)和(3)本质相同,只是表达形式不 同.解题时,灵活选用其中之一.

切线的性质定理:圆的 切线垂直于过切点的半径。
O l
A


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